Exercices 2011 - STAT

Exercice 13 Démontrer que la construction du triangle de Pascal est correcte, c’est-à-dire que
C k n = C k−1
n−1 + Ck n−1
Exercice 14 n personnes dont A et B se mettent au hasard dans une rangée. Combien des manières
y-a-t-il d’avoir k personnes entre A et B
Exercice 15 Un dé est jeté jusqu’a ce qu’un 6 sorte, ce qui marque la fin de l’expérience. Quel est
l’ensemble fondamental pour cette expérience Notons par E n l’événement “l’expérience s’arrête au n eme
jet”. Quels points de l’ensemble fondamental sont contenus dans E n Décrire (∪ ∞ 1 E n ) c .
Exercice 16 On jette deux dés. On note par E l’evénement “la somme des dés est impaire”, par F
l’evénement “au moins l’un des dés montre 1”, et par G “la somme des dés est 5”. Décrire E ∩F, E ∪F,
F ∩ G, E ∩ F c et E ∩ F ∩ G.
Exercice 17 Trois joueurs, A, B et C, jettent une pièce à tour de rôle: A joue d’abord, puis B, puis C,
puis A etc. Le premier qui obtient pile a gagné. L’ensemble fondamental Ω de cette expérience peut être
décrit comme suit:
{
1, 01, 001, 0001, . . .,
S =
0000 · · ·
a) Donner une interprétation des points de S.
b) Décrire les événements suivants en termes de ces points:
premier événement: A=”A gagne”;
deuxième événement: B =”B gagne”;
troisième événement: (A ∪ B) c .
Exercice 18 n personnes, dont A et B, se mettent au hasard dans une rangée.
a) Décrire l’ensemble fondamental associé à cette expérience, et en donner le nombre d’éléments.
b) Quelle est la probabilité qu’il y ait k personnes entre A et B (0 ≤ k ≤ n − 2)
c) Vérifier votre résultat pour n = 3 en explicitant tous les cas possibles.
Exercice 19 Quelle est la probabilité de tirer au moins un 6 lorsqu’on jette un dé quatre fois
Exercice 20 On répète n fois le lancer de deux dés. Calculer la probabilité que le six apparaisse au
moins une fois. Quelle valeur donner à n pour que cette probabilité atteigne 1/2
Exercice 21 Combien de personnes faut-il pour que la probabilité qu’au moins deux d’entre elles aient
leur anniversaire le même mois soit au moins 1/2 Admettre que tous les mois sont équiprobables.
Exercice 22 Un récepteur se bloque si la durée entre les instants de réception de deux signaux est
inférieure au temp mort θ. On sait que les deux signaux atteignent le récepteur dans l’intervalle de temps
(0, t), et arrivent indépendamment l’un de l’autre et au “hasard”.
a) Décrire l’ensemble fondamental Ω associé à cette experience stochastique.
b) Quelle est la probabilité que le récepteur se bloque
c) Simplifier votre résultat en admettant que θ ≪ t.
Exercice 23 Désignons par f n le nombre de manières de jeter une pièce n fois sans que deux piles
successifs n’apparaissent. Montrer que
f n = f n−1 + f n−2 n ≥ 2
où f 0 = 1, f 1 = 2. Si P n désigne la probabilité que des piles successifs n’apparaissent jamais lors de n jets,
trouver P n (en fonction de f n ) lorsqu’on admet que toutes les séquences de n jets sont équiprobables.
a) Calculer P 10 .
b) Montrer que lim n→∞ P n = 0.
c) Soit Q n la probabilité que la suite PFPPPFFP n’apparaisse jamais lors de n jets. Montrer que
lim n→∞ Q n = 0.
Indication: La probabilité Q n que la suite PFPPPFFP n’apparaisse jamais lors de n jets est plus
petite que la probabilité R n que la même suite n’apparaisse jamais entre le jet numéro 8i et le jet
numéro 8(i + 1) − 1 où i est un entier plus petit ou égal à n/8 − 8.
2