Exercices 2011 - STAT

Exercice 97 Deux statisticiens, Alain et Bernard, veulent estimer un certain paramètre θ inconnu (θ >
0). Alain veut estimer le paramètre θ d’une distribution Gamma (3,θ) de densité
f(y) = 1 2 θe−θy (θy) 2 y > 0.
Il observe pour cela un échantillon y 1 , ..., y n . Bernard veut estimer le paramètre θ d’une distribution de
Poisson (2θ). Il observe pour cela un échantillon z 1 , ..., z m .
a) Déterminer les estimateurs du maximum de vraisemblance de θ, de Alain et Bernanrd.
b) On suppose n = m. Pour quelles valeurs de y 1 , ....y n et z 1 , ..., z n les estimations de Alain et Bernard
sont-elles identiques
Exercice 98 Dans la population des ménages d’un pays lointain on considère la hauteur des économies
mensuelles X (exprimées en milliers de maravedis) qui possède la distribution de densité
f(x) := k 2 xe −kx 1 [0,+∞] (x) x ∈ R,
où le paramètre k est inconnu. On prélève un échantillon de 400 ménages et on a calculé la moyenne
¯x = 2.
a) Estimer k en utilisant la méthode de maximum de vraisemblance.
b) Quel est le pourcentage des familles qui économisent moins de 1000 maravedis par mois (on oublie
l’erreur d’estimation de k)
Exercice 99 Considérons un disque D de centre O connu et de rayon R inconnu.
a) On choisit un point x uniformément dans D. Ceci signifie que si A est un sous-ensemble de D de
surface s(A), alors: P {x ∈ A} = s(A)
πR
. Soit ρ la distance de x à O. Pour r ≥ 0, que vaut la
2
probabilité P {ρ ≤ r} En déduire que la variable aléatoire ρ a une densité que l’on explicitera.
b) On choisit maintenant n points indépendamment et uniformément dans D, en notant ρ 1 , ρ 2 , ..., ρ n
leurs distances au centre O. Donner l’estimateur du maximum de vraisemblance de R comme
fonction de ρ 1 , ρ 2 , ..., ρ n , que l’on notera ˆR(ρ 1 , ρ 2 , ..., ρ n ). Calculer le biais de ˆR et donner ensuite
un estimateur sans biais ˜R de R.
Exercice 100 On considère un échantillon i.i.d. X 1 , X 2 , ..., X n de variables de Bernoulli de paramètre
p ∈ [0, 1].
a) Montrer qu’il n’y a pas d’estimateur sans biais de
p
1−p .
b) On cherche maintenant à estimer la variance p(1 − p) à partir de X 1 , X 2 , ..., X n .
X n étant la moyenne empirique de l’échantillon, on propose l’estimateur: T = X n (1 − X n ).
Vérifier que T n’est pas sans biais et donner un estimateur sans biais de p(1−p) qui soit un multiple
de T.
Exercice 101 Soit U a,b une loi uniforme sur [a, b]; on observe (X 1 , ..., X n ), n-échantillon de U a,b pour
estimer la moyenne a+b
2
de cette loi.
a) Quelle est l’erreur quadratique E(X − a+b
2 )2 de la moyenne empirique
b) Soit
Calculer E(T) et
T := 1 {
}
sup (X i ) − inf
2
(X i)
1≤i≤n 1≤i≤n
E ( ) 2.
T − a+b
2
Exercice 102 a) Un parc contient L lions et T tigres. Un employé du parc est chargé de silloner le
parc. Chaque fois qu’il voit un lion ou un tigre, il note sur un calepin le type d’animal (lion ou
tigre) qu’il a vu. Il s’arrête une fois qu’il a vu n animaux pour faire un rapport à son chef. Quelle
est la loi du nombre de lions notés dans le rapport Donner la probabilité que k lions aient été
notés.
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