Exercices 2011 - STAT

Corrigé 37 Soit S n l’événement “le n eme jour est ensoleillé” et N n l’événement “le nème jour est
nuageux”. Alors,
s n = P(S n ) = P(S n |S n−1 )P(S n−1 ) + P(S n |N n−1 )P(N n−1 )
= ps n−1 + q(1 − s n−1 )
= (p − q)s n−1 + q
On démontre que s n = 1 2 (1 + (p − q)n ), n ≥ 0 par induction sur n. Si n = 0 c’est clairement vrai.
Supposons maintenant que cette formule est valide pour n ≤ m. Alors,
s m+1 = (p − q)s m + q
( 1
= (p − q)
2 + 1 )
2 (p − q)m + q
= 1 2 (1 + (p − q)m )
Corrigé 38 X n ne peut prendre que les valeurs 0 et 1. En effet, il ne peut y avoir plus d’une machine
en panne au début d’une journée. On a
P(X n+1 = 0|X n = 0) = p 2 + p(1 − p) + (1 − p)p = p(2 − p)
(soit ni l’une ni l’autre ne tombe en panne,
soit l’une tombe en panne et est réparée,
soit l’autre tombe en panne et est réparée)
P(X n+1 = 0|X n = 1) = p
P(X n+1 = 1|X n = 0) = (1 − p) 2
P(X n+1 = 1|X n = 1) = 1 − p .
Corrigé 39 1. P(A|B) = 0.9 et P(A|B) = 0.8.
2. Les 4 pièces sont acceptées, donc le contrôle des 3 bonnes pièces est sans erreur et il y a erreur dans
le contrôle de la pièce défectueuse . La probabilité d’un tel événement est:
P(A|B) 3 · P(A|B) = (0, 9) 3 · 0, 2 ≃ 0.146.
3. Soit l’événement E =“il y a erreur dans le contrôle d’une pièce”.
P(E) = P(A|B) · P(B) + P(A|B) · P(B). D’où, puisque P(B) = 0, 2,
4. P(B|A) =
P(A|B) · P(B)
P(A)
P(E) = 0, 1 · 0, 8 + 0, 2 · 0, 2 = 0, 12.
P(A|B) · P(B)
=
≃ 0, 053.
P(A|B) · P(B) + P(A|B) · P(B)
Corrigé 40 Soient RR, NN et RN respectivement les événements, “la carte choisie est entièrement
rouge”, “entièrement noire” et “bicolore”. Soit encore R l’événement, “la face apparente de la carte tirée
est rouge”. On aura
P(RN|R) =
=
P(R|RN)P(RN)
P(R|RR)P(RR) + P(R|RN)P(RN) + P(R|NN)P(NN)
1 · 1
1 1
2 3
3 + 1 1
2
3 + 0 · 1
3
= 1 3
Corrigé 41 L’ensemble fondamental de cette expérience est Ω = {(E 1 , E 2 ) où E 1 est le sexe du premier
enfant et E 2 est le sexe du deuxième}. L’événement “les deux enfants sont des filles” est A = {(F, F)},
et “l’aînée en est une” est B = {(F, F), (F, G)}. La probabilité recherchée est
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
= P(A)
P(B) = 1/4
1/2 = 1 2
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