Le mod`ele de régression multiple

de l’écart-type σ par son estimation S, calculée sur l’échantillon, et on peut alors
calculer l’intervalle de confiance du paramètre µ inconnu, ou de manière équivalente,
la précision de l’estimation effectuée sur l’échantillon. Cependant, dans ce cas,
¯X−µ
S/ √ suit, non pas une loi normale centrée réduite, mais une loi de Student (que
n
l’on présente ci-après). Disons juste que pour n suffisamment grand, les valeurs t α
correspondant à une loi normale et à une loi de Student sont les mêmes.
Par exemple, 15000 personnes ont passé un concours, 600 premières copies prises
au hasard sont déjà corrigées et on a trouvé une moyenne de 11.3 et un écart-type de
2.1. On veut estimer la moyenne générale avec un risque de 5% d’erreur (ou à 95%
de confiance). On obtient l’intervalle de confiance [11.3 − 1.96 × 2.1/ √ 600; 11.3 +
1.96 × 2.1/ √ 600], soit [11.13; 11.47].
Attention: on retiendra que l’estimation par intervalle de confiance donne une
réponse en terme de précision (par l’intervalle proposé), mais aussi de risque (par la
valeur du seuil d’erreur, contraire du seuil de confiance). Ainsi, un statisticien qui
fait par exemple des estimations au risque de 10% dans des conditions correctes doit
s’attendre à obtenir une fourchette erronée, c’est-à-dire ne contenant pas la vraie
valeur, environ une fois sur 10.
4 Quelques lois dérivées de la loi normale
4.1 Loi du chi-deux
La somme du carré den variables aléatoires indépendantes distribuées selon des lois
normales centrées réduites (moyenne 0 et variance 1) est distribuée selon une loi du
chi-deux à n degrés de liberté, notée χ 2 n.
La distribution du chi-deux est toujours positive, et est disymétrique.
Si on calcule la variance empirique S 2 de n observations tirées d’une distribution normale de
variance σ 2 ,alors(n − 1)S 2 /σ 2 sera distribué selon un chi-deux à n − 1degrés de liberté.
4.2 Loi de Student
Si X est distribuée selon une loi normale centrée réduite, et que Z est distribuée
selon un chi-deux à n degrés de liberté, et si X et Z sont indépendantes, alors
X/ √ Z/n est distribuée selon une loi de student à n degrés de liberté.
La loi de student ressemble àlaloinormaleenétend plus aplatie (elle devient
normale pour des échantillons de grande taille).
¯X−µ
σ/ √ n
Si X est normale, est aussi normale de moyenne nulle et de variance égale à1. Maissi
σ 2 est inconnue, on doit la remplacer par la variance empirique s 2 . Puisque (n − 1)s 2 /σ 2 suit un
chi-deux et que est N (0, 1), alors
¯X−µ
σ/ √ n
( ¯X − µ)/(σ/ √ n)
√
(n − 1)s2 /σ 2 √
n − 1=
( ¯X − µ)
s/ √ n
suit une distribution de student à n − 1degrés de liberté.
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