Le mod`ele de régression multiple

Chapitre 2 :
Le modèle de régression simple
L’analyse de la régression est l’outil le plus utilisé enéconométrie. L’idée est de
décrire et d’évaluer la relation entre une variable (dite variable à expliquer ou variable
dépendante) souvent notée y, et une (ou plusieurs) variable(s), dite(s) variable(s)
explicative(s) ou indépendante(s), à partir d’un échantillon de taille n, valeursde
ces variables pour n observations (individus ou pays ou dates).
Nous allons tout d’abord supposer qu’il n’y a qu’une seule variable explicative,
notée x. On cherche alors àétudier la relation entre 2 variables, y et x, ouplus
précisément l’influence de x sur y. On parle de régression simple. On étendra
ensuite les résultats au cas de la régression multiple, c’est-à-dire lorsqu’il y a plusieurs
variables explicatives (chapitre 3).
Pour étudier le lien entre les variables y et x, on doit tout d’abord se donner une
relation (ou forme fonctionnelle) entre les deux. On retient une relation linéaire 3 :
y = a + bx
Puisque la relation qu’on étudie est une simplification de la réalité, que l’on a
forcément oublié des facteurs explicatifs de y, on introduit un terme aléatoire (une
perturbation, appelé encorerésidu) noté u à cette relation déterministe. Ainsi le
modèle que l’on étudie est le suivant :
y = a + bx + u
avec y la variable à expliquer, x la variable explicative, u le terme d’erreur, qui est
supposé être une variable aléatoire (inobservable, mais dont on suppose que l’on
connaît la loi).
a et b sont les paramètres inconnus, appelés coefficients de régression, que l’on
cherche àdéterminer (à estimer).
On suppose que l’on dispose d’un échantillon de n observations pour y et x, soit
{(y 1 ,x 1 ),...,(y n ,x n )}.
Ainsi, pour chaque observation i, onpeutécrire :
y i = a + bx i + u i
L’objectif est de déterminer des valeurs pour les paramètres a et b à partir
des n observations sur les variables x et y. Graphiquement, il s’agit de trouver les
paramètres de la droite de régression, qui passe au milieu du nuage de points dessiné
dans le plan (x, y).
On remarque que les paramètres a et b sont les mêmes pour toutes les observations,
autrement dit que l’influence de x sur y est la même pour toutes les observations.
3 Hypothèse peu restrictive, voir discussion plus loin.
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