Le mod`ele de régression multiple

Comment faire en présence de multicolinéarité?
Il n’y a pas de solution miracle! Quand cela est possible, il faut reformuler le
modèle, une possibilité estbiensûr d’enlever une des variables qui pose problème,
mais attention, cela peut causer des biais si cette variable est explicative.
7.2 Spécification du modèle – Choix de variables explicatives
Tout ce qu’on a fait précédemment repose sur l’hypothèse que le bon modèle est
connu et qu’il est donné par: y = Xβ + ε. Mais il se peut qu’on ait oublié des
variables explicatives ou qu’il y ait des variables non pertinentes.
a) Omission de variables pertinentes
Supposons que le vrai modèle soit :
y = X 1 β 1 + X 2 β 2 + ε
mais que l’économètre a oublié X 2 et qu’il régresse seulement y sur X 1 ,ilobtient:
ˆβ 1 =(X 1 ′ X 1) −1 X 1 ′ y = β 1 +(X 1 ′ X 1) −1 X 1 ′ X 2β 2 +(X 1 ′ X 1) −1 X 1 ′ ε
En prenant l’espérance, on voit que l’estimateur est biaisé (sauf si X ′ 1 X 2 =0ou
β 2 =0).
La variance de l’estimateur est :
var( ˆβ 1 )=σ 2 (X ′ 1 X 1) −1
S’il avait fait la bonne régression en incluant X 2 ,lavariancedeβ 1 aurait été
celle de l’élément en haut àgauchedelamatriceσ 2 (X ′ X) −1 ,soit:
var( ˆβ 1,2 )=σ 2 (X ′ 1 M 2X 1 ) −1 = σ 2 [X ′ 1 X 1 − X ′ 1 X 2(X ′ 2 X 2) −1 X ′ 2 X 1] −1
Pour comparer les deux variances, il est plus pratique de prendre leur inverse :
var( ˆβ 1 ) −1 − var( ˆβ 1,2 ) −1 =(1/σ 2 )X ′ 1 X 2(X ′ 2 X 2) −1 X ′ 2 X 1
qui est non négative. Ainsi, même si ˆβ1 est biaisé, il a une variance plus faible
(puisque la variance de l’inverse est plus grande).
On peut remarquer que l’estimateur de σ 2 sera biaisé aussi car :
Donc
ˆε 1 = M 1 y = M 1 (X 1 β 1 + X 2 β 2 + ε) =M 1 X 2 β 2 + M 1 ε
E[ˆε ′ 1ˆε 1 ]=β ′ 2X ′ 2M 1 X 2 β 2 + σ 2 tr(M 1 )=β ′ 2X ′ 2M 1 X 2 β 2 + σ 2 (n − K 1 )
Cetestimateurrestebiaisémême si X ′ 1X 2 =0(régresseur orthogonal qui permet
de ne pas avoir un coefficient ˆβ 1 biaisé).
Ainsi, oublier une variable explicative pertinente conduit à des estimateurs biaisés
pour les autres paramètres, et à des variances estimées de ces paramètres
erronées. Faut-il alors préférer mettre beaucoup de variables explicatives quitte à
ce qu’elles ne soient pas pertinentes?
46