Le mod`ele de régression multiple

Cette hypothèse signifie que le modèle est correctement écrit : il n’y a pas de
redondance dans la liste des variables explicatives. Si ce n’est pas le cas, on
parledecolinéarité (entre deux variables) ou de multicolinéarité (entre plus
de deux variables), nous reverrons cela àlafinduchapitre.
X
• lim ′ X
n→∞ = V
n X où V X est une matrice définie positive, donc régulière.
Ainsi, la matrice de variance-covariance empirique des variables explicatives
converge vers une matrice finie et définie positive. Lorsque le modèle comprend
une constante, cette hypothèse signifie que les moyennes, les variances et les
covariances des variables explicatives tendent vers des limites finies quand
n → ∞. L’idée important formalisée ici est que les variables explicatives
conservent toujours une certaine variance quand n →∞.
• E(ε i ) = 0 (comme dans le modèlederégression simple)
• var(ε i )=σ 2 (comme dans le modèle de régression simple)
• cov(ε i ,ε j )=0pouri ≠ j (comme dans le modèlederégression simple)
Ces deux dernières hypothèses s’écrivent, sous forme matricielle :
E(εε ′ )=σ 2 I n
où I n est la matrice identité d’ordre n (constituée de 1 sur la diagonale et de 0
sinon). En effet, toutes les variances sont égales à σ 2 (éléments de la diagonale
de V ), et les covariances sont nulles (les éléments en dehors de la diagonale).
• ε i suit une loi Normale N (0,σ 2 ).
• cov(ε i ,X ′ i)=0 6
Ainsi, on en déduit que E(y) =Xβ et V (y) =V (ε) =σ 2 I.
6 Il est habituel de supposer que les régresseurs sont non stochastiques, c’est-à-dire que l’analyste
choisit la valeur des régresseurs puis observe y; lesrégresseurs sont exogènes et la variable explicative
est endogène. Par exemple, on cherche à expliquer le rendement d’une parcelle de terre àpartir
de l’engrais et de la pluie; ou alors l’effet d’une politique budgétaire ou monétaire sur le PIB.
Cette hypothèse est surtout plus pratique, elle permet d’utiliser les résultats standards de statistiques.
Les variables x j sont des constantes connues.
Une autre possibilité est de supposer que les observations sur x j sont fixées dans des échantillons
répétés, de telle manière qu’on travaille conditionnellement àl’échantilon qu’on a observé. Ainsi,
on suppose que la régression et les hypothèses s’appliquent àl’échantillon qu’on a observé. On
modélise y conditionnellement aux réalisations X i ′ observées dans l’échantillon.
Mais on a aussi des modèles où lesrégresseurs ont le même statut que la variable à expliquer :
dans la fonction de consommation keynésienne, pourquoi aurait-on des hypothèses différentes sur
le revenu et sur la consommation?
Dans ce cas, on fait les hypothèses suivantes et la plupart des résultats que l’on énoncera plus
tard sont maintenus :
• la distribution de chaque variable explicative est indépendante des vrais paramètres du modèle.
• la distribution des variables explicatives est distribuée indépendamment des erreurs du modèle.
Cette dernière hypothèse implique que X i ′ et ε i sont indépendants. Cette hypothèse est fondamentale
: elle conduit à des estimateurs sans biais. Cela signifie que l’approximation constituée
par le modèle est acceptable si les perturbations sont indépendantes des déterminants de y i qui
ont été retenus dans la liste de variables explicatives.
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