Le mod`ele de régression multiple

4 Les tests d’hypothèse
Dans le cadre de ce chapitre, nous présentons l’idée des tests d’hypothèses, ainsi que
l’application au test de student. Dans le chapitre suivant de régression multiple,
nous présenterons les autres tests.
4.1 Généralités sur les tests
On va chercher à tester la validité d’hypothèses concernant les (vrais) paramètres
du modèle.
On se donne une hypothèse nulle, notée H 0 que l’on teste, et une hypothèse
alternative, notée H 1 .
La procédure est basée sur la construction d’une statistique, calculée sur l’échantillon
aléatoire afin de décider, avec un niveau de confiance raisonnable, si on peut supposer
que les données de l’échantillon suivent l’hypothèse nulle (c’est-à-dire si on
peut supposer que l’hypothèse nulle est acceptable).
La statistique retenue dépend de l’hypothèse que l’on teste (une statistique de
Student quand on ne teste qu’une contrainte, une statistique de Fisher quand on
teste plusieurs contraintes).
On se donne ensuite une règle de décision pour savoir si l’hypothèse nulle
doit être acceptée ou rejetée. Plus précisément, on se donne une zone de rejet de
l’hypothèse nulle.
Par exemple, si l’on veut tester si un paramètre est égal à une certaine valeur,
la règle de décision sera qu’on rejette H 0 si le paramètre estimé est trop loin de la
valeur testée. Il reste àdéfinir la notion de “trop loin”.
Puisque l’échantillon est aléatoire, et que la statistique est calculée sur la base
de l’échantillon, alors la statistique de test est elle aussi aléatoire. Ainsi, la même
procédure de test peut conduire à des conclusions différentes sur des échantillons
différents.
Enfait,ilyadeuxmanières pour que la procédure de test fasse une erreur :
• On parle d’erreur de première espèce quand la procédure conduit à rejeter
H 0 quand H 0 est vraie
• On parle d’erreur de seconde espèce quand la procédure conduit ànepas
rejeter H 0 alors que H 0 est fausse
Il y a une probabilité non nulle pour que l’estimation du paramètre soit assez
éloignée de la valeur testée, même si l’hypothèse nulle est vraie. Cette situation
conduit à une erreur de première espèce. La probabilité d’une erreur de première
espèce est la taille du test, notée α. Elle est aussi appelée seuil d’erreur (ou niveau
de significativité, significance level).
Ce seuil est choisi par l’économètre, il peut être changé enmodifiantlarègle de
décision. Ainsi, on peut réduire l’erreur de première espèce en rendant la région de
rejet de H 0 très petite, mais on sera alors conduit à ne jamais rejeter H 0 ,même si
elle est fausse, c’est-à-dire à augmenter l’erreur de seconde espèce! Il y a un arbitrage
entre les deux, et ce qu’on veut, c’est que les deux soient suffisamment petites.
L’erreur de seconde espèce dépend bien sûr de l’hypothèse alternative, et donc
de la valeur du paramètre. Ainsi, ce que l’on veut, c’est que sachant le seuil d’erreur
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