Le mod`ele de régression multiple

L’hypothèse de normalité estnécessaire pour mener une inférence, c’est–à–dire
des tests sur les paramètres estimés. On devra vérifier, sur la base des résidus
estimés, que cette hypothèse est acceptable.
Conséquences des hypothèses :
Puisque les erreurs sont de moyenne nulle et que x i est une variable non aléatoire
(E(x i )=x i ), alors E(y i )=a+bx i .Ainsi,lemodèle théorique est vérifié en moyenne,
même si pour chaque individu, il y a une erreur.
Puisque les erreurs sont de même variance, alors var(y i )=var(u i )=σ 2 ∀i =
1,...,n. Ainsi, les données sont telles que la variance est constante (on ne peut
pas avoir des observations de variance très différente, par exemple des petites et
des grandes entreprises dans le même échantillon, il faudra dans ce cas adapter la
méthode d’estimation. Voir chapitre 4).
Puisque les erreurs ne sont pas corrélées, cov(y i ,y j )=cov(u i ,u j )=0pouri ≠ j.
Ainsi, si les observations sont temporelles, cela signifie que la valeur prise par y à
une date ne dépend pas de la valeur prise par y àladated’avantparexemple. Ce
qui est très peu probable avec des données temporelles, et il faudra donc adapter la
méthode d’estimation. Voir chapitre 4.
On peut déduire de ces différentes hypothèse que chaque y i est supposé suivre
une loi normale de moyenne a + bx i et de variance σ 2 .
A partir de ce modèle et des hypothèses formulées, on peut développer la méthode
d’estimation. Nous présenterons deux méthodes d’estimation : la méthode du maximum
de vraisemblance et la méthode des MCO (qui donnent exactement les mêmes
résultats dans ce cadre).
2 Méthodes d’estimation
Le but de l’économètre est de déterminer la valeur des paramètresinconnus(a et
b ici) le mieux possible. Il s’agit de trouver l’estimateur de ces paramètres qui soit
sans biais et le plus précis possible.
2.1 La méthode des MCO
Le problème est de déterminer les paramètres estimés (â et ˆb) de telle sorte que
l’ajustement, ŷ i = â + ˆbx i soit aussi proche que possible de l’observation y i ,ou
autrement dit, que l’erreur (estimée) û i = y i − ŷ i = y i − â − ˆbx i soit aussi proche
que possible de 0 et cela pour chaque i. Lamesuredelaproximité que l’on retient
constitue le critère d’ajustement. On retient le critère des moindres carrés ordinaires,
c’est–à–dire qu’on retient les valeurs â et ˆb qui minimisent la somme des carrés des
résidus :
(â, ˆb) =argmin
a,b
n∑
i=1
∑
u 2 i =argmin (yi − a − bx i ) 2
a,b
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