Le mod`ele de rÃ©gression multiple

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Prendre en compte un changement temporel : Introduire la variable D t =1sit
Prendre en compte des effets saisonniers : Introduire les variables T jt =1sit correspond au jème trimestre et 0 sinon pour j =1,...,4dansunmodèle où les observations sont trimestrielles permet d’étudier la présence d’effets saisonniers. Supposons que l’on dispose de données trimestrielles, qui semblent comporter un effet saisonnier. Afin de tester cet effet, et de l’enlever s’il est présent, on introduit les 4 variables saisonnières T 1t ,T 2t ,T 3t ,T 4t .Lemodèle est alors : y t = δ 0 + δ 1 T 1,t + δ 2 T 2,t + δ 3 T 3,t + δ 4 T 4,t + ε t =⇒ y = Xδ + ε Cependant, la matrice X de régresseurs ne sera plus de plein rang colonne puisque la somme des 4 dernières colonnes est égale à la constante. En effet, on a : ⎛ ⎞ 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 X = 1 0 0 0 1 ⎜ 1 1 0 0 0 ⎟ ⎝ . . . . . ⎠ 1 . . . . Comme on préfère en général garder la constante dans le modèle, il faut réécrire différemment le modèle. On peut par exemple centrer l’effet saisonnier, c’est-à-dire imposer une contrainte de telle sorte que l’espérance de la variable soit la même avec l’effet saisonnier que sans. Cela signifie que : ou autrement dit, que : E[δ 0 + δ 1 T 1t + δ 2 T 2t + δ 3 T 3t + δ 4 T 4t ]=δ 0 4∑ δ j =0=⇒ δ 4 = −(δ 1 + δ 2 + δ 3 ) j=1 Le modèle se réécrit alors : y t = δ 0 + δ 1 (T 1,t − T 4,t )+δ 2 (T 2,t − T 4,t )+δ 3 (T 3,t − T 4,t )+ε t =⇒ y = Xδ + ε où la nouvelle matrice des régresseurs est donnée par : ⎛ ⎞ 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 X = 1 −1 −1 −1 ⎜ 1 1 0 0 ⎟ ⎝ . . . . ⎠ 1 . . . Tester l’absence d’un effet saisonnier revient àtester: H 0 : δ 1 = δ 2 = δ 3 =0 41
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