Le mod`ele de régression multiple

Dans ce cours, nousétudions le modèle de régression linéaire, qui explique
le phénomène y (toutes variables quantitatives que l’on cherche à caractériser : la
consommation des ménages, les ventes d’une entreprise, le salaire des gens, etc)
par un modèle linéaire en fonction de K variables explicatives (quantitatives ou
qualitatives) x 1 ,x 2 ,...,x K :
y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + ...+ β K x Ki + ε i
i =1,...,n
On dit que y est la variable à expliquer et que les x j , j =1,...,K sont les K
variables explicatives. Ces variables sont observées sur i =1,...,nobservations.
ε est une perturbation aléatoire.
Le modèle est qualifié de linéaire car y est une fonction linéaire des paramètres
(β 0 ,β 1 ,...,β K ). L’hypothèse de linéarité nécessite que le terme d’erreur soit introduit
de manière additive et que la forme fonctionnelle soit linéaire dans les
paramètres. Cette hypothèse n’est pas si restrictive puisqu’un grand nombre de
formes fonctionnelles sont linéaires ou quasi-linéaires (linéaire après transformation),
par exemple Y = AL α K β est linéaire après transformation logarithmique :
y = a + αl + βk avec y =lnY,l =lnL, k =lnK, a =lnA.
Autres exemples de modèles quasi-linéaires : y = Ax α e ε ; y = α+β cos(x)+ε; y =
α + β/x + ε; y = α + β ln x + ε.
La transformation la plus utilisée reste la transformation logarithmique. Celleci
permet, outre le fait de linéariser certains modèles, d’interpréter les paramètres
du modèle comme des élasticités, puisque, si le modèle explique ln y en fonction de
ln x k , alors le coefficient associé àlnx k est l’élasticité dey par rapport à x k :
β k = d ln y
d ln x k
=
dy/y
dx k /x k
=
( )( ∂y xk
∂x k y
alors que l’élasticité danslemodèle linéaire sans logarithme, où y est expliqué par
x k , n’est pas constante : ( )( ) ∂y xk
= β kx k
∂x k y y
L’intérêt d’un modèlederégression, relativement au calcul des simples corrélations
entre variables, est qu’il permet d’étudier la proposition chère aux économistes :
“toute chose égale par ailleurs”. En effet, une corrélation entre deux variables
peut être élevée, parce que ces deux variables sont toutes deux influencées par une
troisième. Le coefficient de corrélation ne nous permet pas de mesurer la relation
entre ces deux variables uniquement, indépendamment de l’influence de la troisième
variable. En revanche, le modèle de régression permet de déterminer l’effet d’une
variable sur une autre, les autres variables explicatives étant supposées inchangées
(coefficient de régression dans une régression comportant plusieurs variables explicatives).
Par exemple, un modèlederégression expliquant le salaire des individus en
fonction par exemple du niveau d’étude et de l’âge, va nous permettre d’étudier
l’influence du niveau d’étude sur le salaire des gens, àâge donné. On sait en effet
que l’âge a un effet sur le salaire et sur le niveau d’étude. Si on souhaite comparer le
salaire de deux individus ayant le même âge pour des niveaux d’étude différents, il
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