Le mod`ele de régression multiple

significatives dans l’ensemble. Une fois ce test effectué, il est nécessaire d’aller étudier
la significativité de chaque variable prise séparément par un test de student.
Remarque : on peut tester la significativité d’une seule variable par un test de
Fisher. Dans ce cas, F = t 2 et cela revient donc à faire un test de student.
Application b) Test de constance des paramètres ou de l’absence de
rupture
On veut étudier si les paramètres sont différents avant et après une certaine date,
ou alors s’ils diffèrent pour deux groupes de population distincts. Il s’agit d’un test
de changement de structure.
Pour cela, on doit au préalable s’assurer que la variance de l’erreur est constante,
c’est-à-dire que la variance du premier sous-échantillon (notée σ1 2 )estlamême que
la variance du second sous-échantillon (notée σ2), 2 sinon on ne serait plus sous les
hypothèses permettant d’appliquer les MCO (on parle de test d’égalité des variances,
on verra cela dans le chapitre suivant).
Sous l’hypothèse que σ1 2 = σ2 2 ,onpeutfaireletest de Fisher d’égalité des
paramètres entre les deux sous-échantillons. Il s’agit de tester :
⎧
⎪⎨
H 0 :
⎪⎩
β (1)
0 = β (2)
0
β (1)
1 = β (2)
1
.
β (1)
K
= β(2) K
dans le modèle :
{
y i =
β (1)
0 + β (1)
1 x 1i + ...+ β (1)
K x Ki + ε i i ∈ population (1)
β (2)
0 + β (2)
1 x 1i + ...+ β (2)
K x Ki + ε i i ∈ population (2)
La statistique de Fisher est alors :
Or, sous H 0 ,lemodèle est :
F = (SCR 0 − SCR 1 )/(K 1 − K 0 )
SCR 1 /(n − K 1 − 1)
y i = β 0 + β 1 x 1i + ...+ β K x Ki + ε i
Donc SCR 0 est la somme des carrés des résidus dans ce modèle et K 0 = K +1.
Pour le modèle sous H 1 ,onaSCR 1 = ∑ i∈(1) ˆε2 i + ∑ i∈(2) ˆε2 i . On peut donc
estimer la régression sur chaque sous-population et calculer chaque SCR, leur somme
donnant SCR 1 . K 1 =(K +1)+(K +1).
Ainsi,
F = (SCR 0 − SCR 1 )/K
SCR 1 /(n − 2K − 2)
38