Revue Technica, année 1943, numéro 38 - Histoire de l'École ...

Ecole Centrale de LyonBibliothèque Michel SerresAssociation des Centraliens de LyonINTEGRATION. — Soient G t (x, t) et G 2 (x, t) deux solutions particulièresde l'ensemble des équations (16), (17) et (18) et H (x, t) une fonction pouvantprendre sur les deux fractions de la poutre des valeurs différentes H t et H 2et qui, ajoutée à G x et à G 2 donne les solutions générales J x (x, t) et J 2(x, t) de (16), (17) et (18). En écrivant que G x et G 2 , d'une part, et queJi(x,-t) =Hf(x/t)+G 1 (x,t)J 2 (x, t) = H 2 (x, t) + G 2 (x, t)d'autre part, satisfont ces mêmes trois équations, il est facile de voir que Hjet H 2 sont les solutions de ces équations dans lesquelles on a préalablementsupposé F = o. Ce résultat est identique à celui que l'on démontre dans lathéorie des équations différentielles linéaires pour lesquelles l'intégrale générales'obtient en ajoutant à l'intégrale générale de l'équation sans secondmembre [qui correspond ici à F = o dans (17)], une intégrale particulière dél'équation complète.Malheureusement, comme nous l'avons déjà signalé, il n'existe pas de méthodepour trouver la forme de l'intégrale générale de l'équation (16), H (x, t),qu'il faudrait ensuite porter dans (17) et (18) s'il était nécessaire de lui donnerdeux formes différentes sur les deux fractions de la poutre. On en est doncréduit à trouver par une méthode particulière la solution de l'ensemble deséquations (16), (17) et (18) susceptible de remplir toutes les conditions initialeset aux limites. Si nous y parvenons, cette solution sera aussi celle duproblème, en vertu du postulat constamment admis en Physique mathématiqueet qui peut s'énoncer ainsi :Tout phénomène naturel ebt parfaitement déterminé par ses conditions, desorte que, si on trouve, par quelque voie que ce soit, une loi qui satisfasse cesconditions, elle est la loi du phénomène étudié puisqu'il ne peut y en avoirqu'une.Or, nous montrerons que, lorsque la force F est une fonction sinusoïdale dutemps, il eLt possible de trouver une fonction G (x, t) sinusoïdale du temps,de même période que F et prenant sur les deux fractions de la poutre deuxvaleurs différentes G x et G 2 , qui soient des solutions particulières de (16), (17)et (18).Nous montrerons aussi qu'on peut former une fonction H (x, t), .prenant,si c'est nécessaire, deux valeurs différentes H x et H 2 sur les deux fractionsde la poutre, qui soit solution du même système dans lequel on a fait F = oet qui, ajoutée à G ( ou à G 2 , suivant la fraction considérée, donne deux fonctionsJ x (x, t.) et J 2 (x, t) définies par les deux équations ci-dessus et, d'unefaçon générale, par :13J (x, t) = H (x, t) + G (x, t) (22)qui puissent remplir toutes les conditions initiales et aux limites du problèmeEn vertu de ce qui précède, la fonction J, prenant, suivant la fraction depoutre considérée, la valeur J x ou J 2 , représentera l'ordonnée y de la poutreen un point quelconque d'abscisse x et à un instant quelconque t.Avant de rechercher les fonctions G et H précisons leurs significations :Quand F = o, la poutre n'est soumise à aucune force appliquée. Si ellevibre, ce ne peut être que sous l'action d'une cause accidentelle et passagère :déformation suivie de l'abandon à elle-même avec ou sans vitesse initiale,ébranlement par choc, etc. On obtient, dans ces divers cas, ce qu'on appelleles « vibrations propres » de la poutre qui sont, par suite, représentées par lahttp://histoire.ec-lyon.frhttp://bibli.ec-lyon.frhttp://www.centraliens-lyon.net