Rapport de stage - Master 2 SAR ATIAM - Base des articles ...

Rapport de stage - Master 2 SAR ATIAMThomas Hézardthomas.hezard@ircam.fr, 01 44 78 43 0230 juin 2010Sujet :Etudiant :Ondes découplées et ondes progressivesdans les tubes acoustiques à section variablepour la représentation en guides d’ondes.Thomas HézardMaster 2 Informatique - spécialité SAR - parcours ATIAMthomas.hezard@ircam.fr, 06 67 06 43 03Laboratoire d’accueil : IRCAM - CNRS UMR 9912Equipe Analyse-Synthèse1, place Igor Stravinsky,75004 ParisEncadrant :Co-encadrant :Enseignant référent :Dr. Thomas Hélie, CR1 CNRS à l’IRCAMthomas.helie@ircam.fr, 01 44 78 48 24Dr. Rémi Mignot, Post-doctorantInstitut Langevin, ESPCI ParisTech10 rue de Vauquelin, 75005 Parisremi.mignot@espci.frEmmanuel Saint-Jamesemmanuel.saint-james@lip6.fr

version 1.3, mars 2011

Table des matièresIntroduction 4Contexte et état de l’art 4Problème posé 5I Études préliminaires 71 Cas des tubes droits sans pertes 81.1 Ondes découplées dans les tubes droits sans pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Transposition de la méthode pour le cas des tubes courbes . . . . . . . . . . . . . 102 Modèle considéré dans les tubes à section variable 102.1 Définitions de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Modèle de Webster-Lokshin à abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Ondes découplées dans les tubes courbes avec le modèle de Webster-Lokshinà abscisse curviligne et apparition des instabilités 12II Changement de variables en ondes découplées informées par la géométrie154 Adimensionnement, convention axiale et convention “tronçon” 164.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.1 Variables spatiales et fonctions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.2 Variables temporelles et fonctions acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.3 Modèle de Webster-Lokshin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Convention axiale et convention “tronçon” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Considérations géométriques 185.1 Paramétrisation du rayon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Profils physiquement réalistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Résolution du modèle et diagonalisation de la matrice de transfert acoustique 216.1 Résolution du modèle de Webster-Lokshin à abscisse curviligne . . . . . . . . . . 216.2 Recherche d’ondes découplées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2.1 Démarche adoptée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2.2 Recherche des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2.3 Paramétrisation des espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3 Etudes et interprétation des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Conclusion et perspectives 462

Table des figures1 Propagation d’ondes découplées dans un tube droit . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Fonctions φ 1 et φ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Fonctions Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Tronçon à profil convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Tube à rayon négatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Convention axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Convention tronçon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Fonctions S l et S r pour Υ < 0 (en haut), Υ = 0 (au milieu) et Υ > 0 (en bas) . . 209 Décomposition en quadripôles de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510 3 types de tubes évasés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711 Catégorisation des différentes géométries de tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2812 Diagramme des Bode des opérateurs de propagation, tube concave (à gauche) ettube conique (à droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913 Diagramme des Bode des opérateurs de propagation, géométrie de type S (àgauche) et géométrie de type exponentiel (à droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014 Diagramme des Bode des opérateurs de propagation, géométrie de type C . . . . 3115 Evolution des diagrammes de Bode des valeurs propres en fonction de Υ . . . . . 453

IntroductionContexte et état de l’artLa modélisation physique des instruments de musique a un intérêt majeur en synthèse sonore.En effet, elle permet de reproduire le comportement complet de l’instrument, incluant parexemple les transitoires d’attaque, de façon naturelle. Si la modélisation physique n’est pas uneidée nouvelle, les avancées récentes dans ce domaine ont montré l’importance et l’intérêt de cetoutil de modélisation comme en témoigne le nombre croissant de logiciels musicaux utilisant cetype de simulation.Nous nous intéressons ici à la modélisation physique des tubes acoustiques pour la simulationréaliste des instruments à vent, et plus précisément des cuivres. Deux hypothèses historiquesprécèdent l’ensemble des travaux présentés ici : l’influence de l’enroulement de l’instrument estnégligé et les tubes déroulés sont considérés comme axisymétriques. Ainsi un tube acoustique estentièrement décrit par son profil (aussi appelé “perce”) : le relevé du rayon du tube le long deson axe de symétrie.Des travaux réalisés à l’IRCAM ont permis d’aboutir à des modèles réalistes et efficaces depropagation dans les instruments à vent basés le modèle de Webster-Lokshin à abscisse curviligne[1]. Contrairement aux modèles précédents, ces modèles introduisent la prise en compte de lacourbure du rayon des tubes et des pertes visco-thermiques à la paroi interne du tube. Souscertaines contraintes, ce modèle a été résolu sous la forme d’une matrice de transfert acoustiqueliant le couple pression/débit à la sortie du tube au couple pression/débit à l’entrée du tube.Les guides d’onde [2, 3, 4] sont des structures bien adaptées à la synthèse temsp-réel et despremiers résultats aboutissant à des structures de Kelly-Lochbaum pour les tubes courbes ontété trouvés [5, 6]. Une étude plus récente a permis de mettre en oeuvre des structures en guidesd’onde bien adaptées à la synthèse sonore temps-réel [6]. Ces modèles sont basés sur une décompositionen quadripôles de transfert des matrices de transfert acoustique solutions du modèle deWebster-Lokshin à abscisse curviligne.L’étude présentée ici se place, entre autres, dans le cadre d’un travail sur des outils informatiquespour la lutherie. En effet, des travaux récents ont permis de mettre en oeuvre des premiersoutils permettant l’estimation d’un modèle géométrique d’un profil d’instrument quelconque permettantla résolution du modèle de Webster-Lokshin [7] (joint à la fin de ce document). Ainsi, ilest aujourd’hui possible, à partir du relevé de la perce d’un instrument existant ou bien du tracéde la perce d’un instrument avant sa première fabrication, de calculer des paramètres acoustiquestels que impédance et transmittance ou d’obtenir une version simulable en temps-réel del’instrument.4

Première partieÉtudes préliminairesDans un premier temps, nous reprenons le cas simple des ondes planes se propageant dans untube droit sans pertes. Nous rappelons deux méthodes qui permettent d’aboutir à la définitiondes ondes planes progressives. Nous donnons alors quelques interprétations sur le sens acoustiquedes quantités mises en jeu dans ces méthodes.Dans un second temps, nous considérons le changement d’état “standard” utilisé pour définirles ondes progressives sur le modèle de Webster-Lokshin. Enfin, nous donnons de premièresinterprétations des instabilités qui apparaissent dans la décomposition en guides d’ondes à lalumière des informations apportées par la première étude sur les ondes planes.7

1 Cas des tubes droits sans pertes1.1 Ondes découplées dans les tubes droits sans pertesConsidérons en premier lieu un problème de propagation acoustique linéaire d’ondes planesdans un tube droit sans pertes. Les équations d’Euler et de la conservation de la masse sontdonnées par ⎧⎨∂ t⃗1 V + gradP ⃗ = 0,ρ 0⎩∂ t P +ρ 0 c 2 0 divV ⃗ (1)= 0,et peuvent s’écrire sous la forme∂ x X p +M p ∂ t X p = 0, (2)où x est la variable spatiale qui décrit l’axe de symétrie du tube et où le vecteur d’état acoustiqueX p et la matrice M p sont donnés par les expressionsX p =M p =[ ] P, (3)V⎡ ⎤0 ρ 0⎣ 1 ⎦ , (4)0ρ 0 c 2 0où ρ 0 est la densité de l’air, c 0 la célérité du son dans le milieu, P la pression acoustique et V lavitesse.Ondes progressives : Métode 1 Pour trouver des ondes découplées localement (i.e. en toutpoint du volume), il suffit de diagonaliser la matrice M p . Les valeurs propres calculées sontλ + = 1 c 0et λ − = − 1 c 0. (6)Nous avons deux valeurs propres de multiplicité 1 donc la matrice de passage possède deux degrésde liberté. Un choix classique permet d’obtenir la matrice de passage⎡P p = ⎣ 2 2⎤2− 2 ⎦ (7)ρ 0 c 0 ρ 0 c 0et son inverseP p −1 =On peut donc mettre l’équation (2) sous la forme(5)[ ] 1 ρ0 c 0. (8)1 −ρ 0 c 0[ 1]∂ x Y p +c 000 − 1 ∂ t Y p = 0. (9)c 0où Y p = P −1 p X p est le vecteur des ondes progressives découplées se propageant dans le tube.On retrouve les ondes classiques[ ] [ ] p+ P +Z0 VY p =p − =(10)P −Z 0 V8

où Z 0 = ρ 0 c 0 définit l’impédance caractéristique du milieu de propagation.On note s la variable de Laplace dans le plan complexe. Le transformée de Laplace (pourlaquelle un multiplication par s correspond à une dérivation temporelle et une division par scorrespond à une intégration temporelle) de (9) s’écrit[ 1]∂ x Y p +sc 000 − 1 Y p = 0. (11)c 0Ondes progressives : Métode 2 Un seconde manière de retrouver (9) consiste à factoriserl’opérateur d’Alembertien, dans le domaine de Laplace, sous la forme∆− 1c 02 s2 = ( ∂ x −λ + s )( ∂ x +λ − s ) (12)Les opérateurs qui “propagent” les variables d’ondes (appelés “opérateurs de propagation”) dansun tube droit entre les abscisses a et b sont alorsT + p (L,s) = e −sLc 0 , p + (b,s) = T + p (L,s)p + (a,s),T − p (L,s) = e sLc 0 , p − (b,s) = T − p (L,s)p − (a,s),L = b−a.(13)On remarque que T − p (L,s) = T + p (L,s) −1 . On notera donc plus volontiersp + (b,s) = T p (L,s)p + (a,s),p − (a,s) = T p (L,s)p − (b,s),T p (L,s) = T + p (L,s). (14)ce qui met est évidence la structure en guides d’ondes présentée en figure 1.p + (a)p + (b)e −sL c 0e − sc 0p − (a)p − (b)Figure 1 – Propagation d’ondes découplées dans un tube droite −sLc 0étant le retard pur induit par la propagation dans un tube de longueur L, on définitalors “l’opérateur de dispersion” D p (s,L) :T p (s,L) = e −sLc 0 D p (s,L). (15)Dans le cas des ondes planes que nous étudions ici, D p (s,L) = 1, ce qui signifie que les ondesp + et p − sont retardées mais ne sont pas modifiées lorsqu’elles se propagent dans un tube droitsans pertes9

1.2 Transposition de la méthode pour le cas des tubes courbesDans le cas des tubes à section variable, nous nous plaçons sous les hypothèses du modèle deWebster-Lokshin à abscisse curviligne que nous présenterons en section 2. L’objectif de la partieII est de trouver des ondes découplées dans les tubes courbes, à l’instar des ondes planes dans lestubes droits. La méthode mise en oeuvre diffère quelque peu de celle présentée ci-dessus. En effet,la diagonalisation sera effectuée sur la matrice de transfert obtenue par résolution du modèle etnon sur les équations du modèle lui-même. De plus, des conditions de réalisme physique du tubeétudié seront injectées dans la matrice de transfert avant diagonalisation.Ainsi, nous pourrons étudier les opérateurs de propagation et de dispersion trouvé dans lestubes à section variable avec le modèle de Webster-Lokshin à abscisse curviligne.2 Modèle considéré dans les tubes à section variable2.1 Définitions de fonctionsComme nous allons le voir par la suite, plusieurs fonctions jouent un rôle prépondérant dansle problème et apparaissent à de nombreuses reprises, tant dans les formules liées à la géométrieque dans celles liées à l’acoustique et à la propagation des ondes dans le tube.φ 1 : x ↦→ ∑ k≥0x k(2k)!et φ 2 : x ↦→ ∑ k≥0x k(2k +1)!(16)sont analytiques surCdoncC ∞ (R) et développables en série entière avec un rayon de convergenceinfini. Elles sont présentées en figure 2 sur l’axe réel. Ces deux figures font apparaître deux valeursφ1(z)454035302520151050−5−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20zφ2(z)109876543210−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20zFigure 2 – Fonctions φ 1 et φ 2limites clés que nous retrouveront tout au long de l’étude :– −π 2 est la valeur pour laquelle φ 2 (z) s’annule et φ 1 (z) atteint son minimum– −π 2 /4 est la valeur pour laquelle φ 1 (z) s’annuleOn définit de plus la fonction Φ, qui apparaîtra régulièrement dans la suite, parΦ : x ↦→ φ 1(x)φ 2 (x) . (17)Cette fonction est présentée en figure 3 sur l’axe réel. On retrouve ici la valeur −π 2 d’annulation10

2015105Φ(z)0−5−10−15−20−15 −10 −5 0 5 10 15zFigure 3 – Fonctions Φde φ 2 qui devient une singularité de Φ et la valeur −π 2 /4 pour laquelle Φ s’annule.Remarque : ces fonctions peuvent s’écrire (indépendemment du choix de √ . )φ 1 (x) = cosh (√ x ) ,⎧⎨ sinh( √ x)√ si x ≠ 0φ 2 (x) = x⎩1 si x = 0√ xΦ(x) =tanh( √ x).2.2 Modèle de Webster-Lokshin à abscisse curviligneLe premier modèle de tube acoustique à dépendance mono-spatiale fut établi par Lagrange [13]et Bernoulli [14]. Cette équation est dite “de Webster” [15] et a été abondamment étudiée [16].Pour les pertes, les premières études ont été initiées par Kirchhoff [17]. On pourra retrouver l’ensemblede ces éléments bibliographique dans [18] et aussi dans [7] (joint à la fin de ce document).Les effets de courbure et de pertes sont finalement regroupés dans le modèle dit “de Webster-Lokshin” à dependance en l’abscisse curviligne [1, 19].Soit un profil de tube z ↦→ r(z). Le passage en abscisse curviligne s’écrit en mesurant lalongueur de la paroi depuis z = 0, L(z) = ∫ z√ 0 1+r ′ (w) 2 dw. On note l’abscisse curvilignel = L(z) et on a alorsR ( L(z) ) = r(z) et R(l) = r ( L −1 (l) ) . (18)En notant P(l,t) la pression dans le tube à l’abscisse l et à l’instant t, l’équation de Webster-Lokshin, établit dans [1], s’écrit()∂l 2 (l)+2R′ R(l) ∂ l − 1c 2 ∂2 t − 2ε(l) ∂ 3 2t P(l,t) = 0 (19)0√1−Roù c 0 est la vitesse du son et ε(l) = κ ′ (l) 20 R(l)quantifie les effets visco-thermiques (κ 0 ≈3×10 −4 m 1/2 dans l’air). Cette équation est appelée équation de Webster en raison de la présencedu terme 2 R′ (l)R(l) ∂ l et équation de Lokshin en raison de la présence du terme 2ε(l)c 032∂ 3 2t .113c 0 2

oùDans le domaine de Laplace, le modèle de Webster-Lokshin complet s’écrit(∂ 2 l − Γ(s)2) [R(l)P(l,s)] = 0 (20)ρ 0 s U(l,s)S(l)+ ∂ l P(l,s) = 0 (21)Γ(s) 2 = 1c2 s2 + 2ε(l)3s 3 2 +Υ(l) (22)0 c 0 2avec Υ(l) = R′′ (l)R(l) , S(l) = πR(l)2 et U(l,t) = S(l)V(l,t) définit un débit acoustique.Remarque : la fonction Γ est définie comme une racine complexe. L’analyse complexe et notammentles racines complexes posent plusieurs problèmes théoriques que nous n’aborderont pasici. Nous considérerons dans ce document que les fonctions définies avec des racines complexesne posent aucun problème de définition sur C + 0 (le demi-plan droit de Laplace).L’énergie acoustique s’écrite ac (l,t) = πR(l,t) 2 ( ρ2 V(l,t)2 + 12ρc 2P(l,t)2 ). (23)et on montre que le modèle sans pertes (ε = 0) est conservatif. Pour la cas avec pertes, il fautmener l’étude en utilisant les énergies acoustiques étendues [20, 21].3 Ondes découplées dans les tubes courbes avec le modèle deWebster-Lokshin à abscisse curviligne et apparition des instabilitésLe modèle (20-21) peut être résolu analytiquement dans le cas où les paramètres Υ(l) et ε(l)sont constants. On définit alors un “tronçon”, portion de tube pour lequel Υ(l) est constant. Dansun tronçon, ε(l) est approximé par par sa valeur moyenne ε(l) ≈ ε = 1 ∫ LL 0ε(l)dl et le modèlede Webster-Lokshin peut être résolu.Considérons un tronçon à Υ constant de longueur L (on suppose que le tronçon est définientre les abscisses −L/2 et L/2), on note R l et R r les rayons du tronçon à gauche et à droite.Une résolution du modèle (20-21) pour la propagation entre les abscisses −L/2 et L/2 est donnéepar la matrice de transfert acoustique Q(s) (détaillée en partie 6.1)⎡[ (PL2 ,s)]U ( ⎢L2 ,s) = ⎣L0R r0πR rρ 0 s⎤⎡⎥ ⎢⎦Q(s) ⎣R lL0⎤[ (0 ⎥ P −L2ρ 0 s ⎦,s)]U ( − L 2πR ,s) . (24)lUne représentation guides d’ondes sous la forme d’une succession de quadripôles de transfert estdonnée dans [6]. Cette dernière représentation est tout à fait adaptée à la simulation temps-réel(le travail d’implémentation a d’ailleurs déjà été en partie mis en oeuvre [22]). Cependant, ellepose des problèmes de stabilité dans le cas où le paramètre Υ devient négatif. Nous allons tenterici d’expliquer pourquoi en nous basant sur un interprétation physique de la décomposition enquadripôles présentée dans [6].12

Profil avec Υ = 4, R l = 0.1 et R r = 0.20.20.15R1(l) et −R1(l)0.10.050−0.05−0.1−0.15−0.2−0.5 0 0.5lFigure 4 – Tronçon à profil convexePrenons le cas d’un tronçon de tube à section variable de longueur 1 avec Υ = 2, R l = 0.05et R r = 0.2 (nous verrons en section 5 que ces trois paramètres suffisent à décrire entièrement letronçon); ce tronçon est tracé en figure 4.La décomposition en quadripôles proposée dans [6] fait apparaître les réflexions internes dutube semi-infini ayant le même paramètre Υ mais se continuant à l’infini à gauche et à droite. Eneffet, l’expression de la fonction de reflexion interne du tube aux abscisses −L/2 et L/2 nécessitede fixer des conditions frontières aux extrémités du tronçon (ces fonctions de reflexions internesseront modifiées lors de la concaténation du tronçon avec une impédance de rayonnement ou unautre tronçon). Les conditions frontières choisies dans [6] sont celles d’un tube semi-infini quiprolonge le tronçon existant avec le même paramètre Υ.Autrement dit, la réflexion interne vue depuis l’intérieur du tube du côté droit est celle dutube décrit par le rayon R 1 (l) ∀l ∈ [0, ∞] et la réflexion interne vu depuis l’intérieur du tubedu côté gauche est celle du tube décrit par le rayon R 1 (l) ∀l ∈ [−∞, L].Ceci ne pose pas de problème tant que Υ est positif car le rayon tend vers ∞ en ±∞. Enrevanche, lorsque Υ devient négatif, comme le montre les équations (39-41) le rayon ne s’exprimeplus à l’aide des fonctions cosh et sinh mais à l’aide des fonctions cos et sin. Ceci implique quele rayon peut s’annuler lorsque la longueur devient trop grande ou que Υ devient trop négatifcomme l’illustre la figure 5. On définit alors la longueur critique d’un tronçon de tube pour unΥ donné (ou un Υ critique pour une longueur donnée) au-delà de laquelle le rayon s’annule àl’intérieur de son ensemble de définition. Cette valeur est précisément L crit = √ π . |Υ|Dans le cas Υ < 0, les tubes semi-infinis ont un rayon présentant une périodicité spatiale etétant alternativement positif et négatif. Un rayon négatif n’a évidemment aucun sens physiqueet on ne peut pas s’attendre à des comportements naturels avec de telles considérations.Une précédente étude [6] a montré que, quand Υ est négatif, les passage par 0 successifsdu rayon jusqu’à l’infini provoquent l’apparition d’un continuum de pôles sur la partie positivede l’axe réel pour les fonctions de réflexion internes dans la décomposition en quadripôles detransfert. Ceci explique donc l’apparition des instabilités dans cette décomposition.13

Υ = −40.30.2R(l) et −R(l)0.10−0.1−0.2−0.30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Figure 5 – Tube à rayon négatiflIl est toutefois possible de donner une autre interprétation des instabilités qui apparaissentdans la décomposition en quadripôles. En effet, Γ(s) étant un opérateur uniquement temporel (ilne fait pas apparaître de dérivée selon l) on peut écrire une sorte de d’Alembertien étendu pourle modèle de Webster-Lokshin :∂ 2 l −Γ(s)2 = ( ∂ l −Γ(s) )( ∂ l +Γ(s) ) (25)L’opérateur de dispersion pour le modèle de Webster-Lokshin est alorsD(s) = e s−Γ(s) . (26)D’après ce que l’on a dit précédemment, on peut interpréter ce résultat comme le fait que l’onramène des réflexions liées à des tubes semi-infinis à l’intérieur même de l’opérateur de dispersiond’où les instabilités dans le cas Υ < 0. De plus, d’un point de vue plus “traitement de signal”,nous verrons plus tard que l’opérateur de dispersion D(s) est un filtre instable dans le cas Υ < 0.La condition sur la géométrie du profil à injecter dans la matrice de transfert est donc toutetrouvée, il s’agit de la positivité du rayon.14

Deuxième partieChangement de variables en ondes découpléesinformées par la géométrieL’objectif de cette partie est de définir de nouvelles ondes découplées, se propageant dans lestubes et permettant d’obtenir une structure guides d’ondes stable. Ce travail ce divise en deuxgrandes étapes. La première consiste à trouver des conditions sur les paramètres géométriquesqui assurent que le profil de tube sur lequel nous travaillons est physiquement réaliste (la positivitédu rayon). Ensuite, nous souhaitons injecter ces conditions dans la matrice de transfertacoustique solution du modèle de Webster-Lokshin avant de diagonaliser cette dernière. Ainsi,nous espérons trouver de nouvelles définitions d’ondes progressives découplées à l’intérieur d’untube à section variable dans lesquelles sont “inscrites” les conditions physiques de réalisme dutube. Nous devrions de cette façon éviter les problèmes d’instabilité présentés en partie I.Une étape préliminaire consiste à définir des quantités adimensionnées invariantes par changementd’orientation du tronçon (invariante par inversion entrée/sortie). Les formules de passageprincipales entre les variables dimensionnées et les variables adimensionnées sont données ensection 4, des formules plus détaillées sont fournies en annexe.15

4 Adimensionnement, convention axiale et convention “tronçon”4.1 NotationsA l’exception de quelques variables qui possèdent un nom différent en version dimensionnéeet en version adimensionnée, les notation suivantes sont respectées dans le reste du document :– les variables et les paramètres dimensionnés sont notées avec un˜,– les variables et les paramètres adimensionnés sont notées sans˜,– les variables dépendant de la variable spatiale sont notées, en convention axiale, A(l) ouA(x),– les variables dépendant de la variable spatiale sont notées, en convention tronçon, A l ouA r (l pour left, r pout right).4.2 AdimensionnementL’adimensionnement des variables nous permet de faire disparaître toutes les constantes physiques(c 0 ,ρ 0 etc.) des équations du modèle et ainsi de garder uniquement les quantités essentiellesà la compréhension physique des phénomènes mis en jeu. L’adimensionnement touche tous lestypes de variables du problèmes : variables géométriques, variables de Kirchhoff, fonctions d’ondesetc. Comme nous le verrons tout au long de cette section, la valeur clé pour l’adimensionnementest la longueur L du tube considéré. Ainsi, l’adimensionnement est propre à un tronçon et lorsde la connexion de tronçons les uns aux autres, il faudra prendre soin de redimensionner lesvariables.4.2.1 Variables spatiales et fonctions géométriquesSoit un tronçon de tube de longueur L décrit par sa perce R(l), l ∈ [a, b] (on a L = b−a).La variable spatiale indépendante adimensionnée est notée x et l’adimensionnement se résume àla transformation[l ∈ [a,b] ↦−→ x ∈ − 1 2 , 1 ]. (27)2Les formules de passage entre la variable x et la variable l s’écrivent alorsa+bl−2x = X(l) = ,L(28)l = L(x) = Lx+ a+b .2(29)Dans le cas a = − L 2 ,b = L 2, les formules de passage deviennent simplementLe rayon ˜R(l) est adimensionné de la façon suivantex = X(l) = l L , (30)l = L(x) = Lx. (31)R(x) = 1 L ˜R ( L(x) ) ,˜R(l) = LR ( X(l) ) .(32)et on aΥ = L 2 ˜Υ,˜Υ = 1 L 2 Υ. (33)16

4.2.2 Variables temporelles et fonctions acoustiquesL’adimensionnement dans le domaine temporel (et dans le domaine de Laplace) est effectuépar rapport au temps de propagation d’une onde sonore dans un tube de longueur L :t = c 0L˜t, s = L c 0˜s,˜t = L c 0t, ˜s = c 0L s. (34)On en déduit l’adimensionnement du paramètre ˜ε et de la fonction ˜Γ(˜s)ε = √ L˜ε, ˜ε = 1 √Lε, (35)( c0) √Γ(s) = L˜ΓL s = s 2 +Υ+2εs 3 2 ,√˜Γ(˜s) = 1 ( ) ( ) L ˜s 2 ( )3(36)L Γ = +c 0˜sc ˜Υ+2ε ˜s 2.0 c 0Les variables de Kirchhoff sont adimensionnées respectivement par rapport à la pression deréférence ρ 0 c 2 20 et au débit de référence c 0˜S(l) (où ˜S(l) = π˜R(l) )P(x,t) = 1 (ρ 0 c ˜P L(x), L )(1t U(x,t) =2 0 c 0 c 0 S ( L(x) ) Ũ L(x), L )tc(0˜P(l,t) = ρc 2 0 P X(l), c )0L t Ũ(l,t) = c 0 L 2˜S( ) (X(l) U X(l), c ) (37)0L tL’adimensionnement des différentes variables d’ondes définies dans [6] est explicité en annexe.4.2.3 Modèle de Webster-LokshinEn variables adimensionnées et dans le domaine de Laplace, le modèle de Webster-Lokshins’écrit { [ ]( )s 2 +Υ+2εs 3 2 −∂x2 R(x)P(x,s) = 0sU(x,s)+∂ x P(x,s) = 0Nous avons bien réussi à faire disparaître toutes les constantes physiques du problème. Nousallons donc pouvoir nous concentrer sur la compréhension physique des phénomènes et la recherched’ondes découplées informées par la géométrie. Cependant, nous devons d’abord aborderce que nous avons appelé la “convention tronçon”.4.3 Convention axiale et convention “tronçon”La convention axiale est en fait celle qui est implicitement utilisée dans la partie I. Considérerun tronçon de tube en convention axiale consiste à définir une extrémité comme étant l’entréeet l’autre comme étant la sortie et à considérer les différentes variables et fonctions le long dutube. On écrit par exemple P(x,t) ou σ(x) pour x ∈ [−1/2,1/2]. L’inconvénient de ce paradigmeest que les expressions des variables et des matrices de transfert acoustiques se voient modifiéeslorsque l’on retourne le tube (l’entrée devient la sortie et vice-versa, transformation que l’on peutsymboliser par la symétrie x ↦→ −x) alors que le tube est le même. Pour s’en convaincre, il suffitde prendre l’exemple du débit acoustique : si l’on retourne le tube et que l’on garde la mêmeconvention alors U(x) devient à −U(−x) et non U(−x).17

La convention appelée “convention tronçon” permet de définir des variables et des matricesde transfert acoustiques qui ne sont pas modifiées par la symétrie x ↦→ −x. Pour cela, nousne considérons plus les variables et les fonctions pour x ∈ [−1/2,1/2] mais uniquement auxextrémités du tronçon car ce sont ces dernières qui nous intéressent pour établir les matricesde transfert. Les variables au point x = −1/2 sont notées avec un indice . l (pour left) et lesvariables au point x = 1/2 sont notées avec un indice . r (pour right). En convention tronçon,la symétrie x ↦→ −x revient alors simplement à inverser les indices . l et . r dans les différentesfonctions, variables et matrices de passage.La convention tronçon repose sur un principe simple : les quantités dirigées sont orientéesvers l’intérieur du tube. Ainsi le débit à l’extrémité gauche du tube n’est pas modifié entre laconvention axiale et la convention tronçon, U l = U(−1/2), mais le débit à l’extrémité droite dutube se transforme en son opposée, U r = −U(1/2). De même pour les pentes normalisées σ l etσ r . Les variables d’ondes ne sont plus notées φ + ou φ − mais φ in ou φ out .Les figures 6 et 7 illustrent comment les variables de Kirchhoff et les variables d’ondes sphériquesprésentées en partie I sont modifiées entre la convention axiale et la convention tronçon.Les formules de passage en convention axiale et en convention tronçon sont indiquées ci-après.φ +( − 1 2 ,s)φ +( 1U ( − 1 )2 ,s)2U ( )12φ −( − 1 2 ,s) φ −( 12 ,s)U lφ inl(s)φ outl(s)φ outr (s)φ inr (s)U rFigure 6 – Convention axialeFigure 7 – Convention tronçonσ(l) = R′ (l)R(l)σ l = R′ (− 1 2 )R(− 1 2 ) , σ r = − R′ ( 1 2 )R( 1 2 )[ ] φ+φ − = R [ ][ 1 1 P2 1 −1 U[ ] P= 1 [ 1 1U R 1 −1][ φ+φ − ]] [φinl/rφ outl/r[Pl/r]U l/r]= R l/r2[ 1 11 −1= 1R l/r[ 1 11 −1][Pl/rU l/r]] [ φ inl/rφ outl/r]5 Considérations géométriques5.1 Paramétrisation du rayonComme nous l’avons dit, le modèle (20-21) peut être résolu analytiquement dans le cas où lesparamètres ˜Υ(l) et ˜ε(l) sont constants. Pour le paramètre ˜ε, on fait le choix ˜ε(l) ≈ 1 ∫ LL 0 ˜ε(l)dl.La constance du paramètre ˜Υ(l) induit l’équation˜R ′′ (l)− ˜Υ˜R(l) = 0. (38)18

Cette équation se résout de façon classique selon la valeur de ˜Υ(√ ) (√ )˜Υ < 0 : ˜R(l) = Ãcos −˜Υl + ˜Bsin −˜Υlavec (Ã, ˜B) ∈ R 2 , (39)˜Υ = 0 : ˜R(l) = Ã+ ˜Bl avec (Ã, ˜B) ∈ R 2 , (40))˜Υ > 0 : ˜R(l) = Ãcosh(√˜Υl + ˜Bsinh) (√˜Υl avec (Ã, ˜B) ∈ R 2 . (41)Cependant, on a montré dans [22] que ces écritures peuvent être unifiées à l’aide des fonctionsC et S{ C : (l,Υ) ↦→ φ1(Υl2 )S : (l,Υ) ↦→ lφ 2(Υl2 ) , (42)˜R(l) = ÃC(l, ˜Υ) + ˜BS(l, ˜Υ). (43)Par définition, les fonctions C et S sont C ∞ en Υ et en l, ce qui nous assure la continuité dumodèle géométrique en Υ.Ceci définit une famille de tronçons paramétrés pour lesquels le modèle de Webster-Lokshinà abscisse curviligne peut être résolu analytiquement. Un tronçon est entièrement définit par lesparamètres (Ã, ˜B, ˜Υ). De plus, si on considère des tronçons de tube de longueur L sur l’intervallel ∈ [− L 2 , L 2], alors les fonctions C et S définissent une base orthogonale de l’espace des solutionsde (38).Ce paramétrage présente toutefois un inconvénient : si le paramètre Υ définit la “courbure”du tube, il est bien difficile de donner un sens aux paramètres A et B. De plus l’écriture de lapositivé du rayon avec ce paramétrage est possible mais compliqué.Les fonctions√Υ ( )sinh( )l−LS l 2: (l,Υ) ↦→ − (sinh L √ )Υ√Υ ( )sinh( )l+LS r 2: (l,Υ) ↦→ (sinh L √ )Υ(44)définissent elles-aussi une base de l’espace des solutions de (38). De plus, comme S l( −2) l = 1,S l( l2)= 0, Sr ( − l )2 = 0 et Sr ( l2)= 1, le rayon peut s’écrire˜R(l) = ˜R l S l (l, ˜Υ)+ ˜R r S r (l, ˜Υ) (45)où ˜R l est le rayon à l’extrémité gauche du tube et ˜R r le rayon à l’extrémité droite. Ce paramétrage,qui fait apparaître les rayons aux extrémités du profil, a un sens bien plus évident quantà la géométrie du profil. La figure 8 présente l’influence de Υ sur les fonctions S l et S r . Unecourbure positive correspond donc à des tubes convexes, une courbure nulle à des tubes droitsou coniques et une courbure négative à des tubes concaves. Avec ce paramétrage, un tronçon estentièrement défini par les paramètres (˜R l , ˜R r , ˜Υ).19

1.5Υ < 010.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51Υ = 0S l/r (l,Υ)0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5S l (l,Υ)S r (l,Υ)1Υ > 00.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5l/LFigure 8 – Fonctions S l et S r pour Υ < 0 (en haut), Υ = 0 (au milieu) et Υ > 0 (en bas)Enfin, on définit les quantités suivantes afin de séparer les informations concernant la géométrieproprement dite et les informations concernant l’orientation du profil.( )Rrθ = ln(46)R lρ = √ R r R l (47)(48)Les paramètres R r et R l s’écrivent alorsR r = ρe θ 2 ,R l = ρe −θ 2 .(49)L’adimensionnement de ces différents paramétrages est donné en annexe.5.2 Profils physiquement réalistesConsidérons le tube défini, en variables adimensionnées, par le rayon R(x) = R l S l Υ (x) +R r S r Υ (x).L’étude des fonctions S l Υ et Sr Υ lorsque fait apparaître une singularité lorsque Υ = −π2 .Cette valeur est en fait la valeur critique évoquée en section 3 en variables adimensionnées (cequi revient à considérer L = 1). Pour cette valeur, les fonctions S l et S r tendent vers l’infini surl’intervalle [−1/2,1/2]. On en déduit le théorème suivantThéorème 5.1 (Valeur limite de Υ)[R(l) est définit ∀x ∈ − 1 2 , 1 ]⇒ Υ > Υ crit avec Υ crit = −π 2 (50)220

La suite de l’étude suppose cette condition respectée.Nous l’avons déjà évoqué, la première condition pour que le tube soit physiquement réalisteest la positivité stricte du rayon.Théorème 5.2 (Positivité du rayon)R(x) > 0 ∀x ∈[− 1 2 , 1 ] {Rl > 0⇔2 R r > 0(51)Preuve 5.1 (Positivité du rayon)[R(x) > 0 ∀x ∈ − 1 2 , 1 ] { (R −1⇒2)> 02 R ( )1⇒2 > 0{Rl > 0R r > 0 ⇒ R(x) = R lS − (x) + R r S + (x) > 0 ∀x ∈[car S − (x) > 0 et S + (x) > 0 ∀x ∈ − 1 2 , 1 ]2{Rl > 0R r > 0[− 1 2 , 1 ]2La description de la perce en abscisse curviligne fait apparaître des propriétés inhabituelles.En effet, une pente verticale correspond à R ′ (l) = 1, on a donc la condition suivante :∣ R ′ (l) ∣ ∣ ≤ 1 (52)Cette inégalité ne nous a pas encore mené à des conditions convaincantes et n’est pas exploitéepour l’instant.6 Résolution du modèle et diagonalisation de la matrice de transfertacoustique6.1 Résolution du modèle de Webster-Lokshin à abscisse curviligneLa résolution de (20-21) sous forme de matrice de transfert est donnée dans [1] et peut s’écriresous la formeoù[˜Pr (˜s)Ũ r (˜s)]=⎡⎢⎣L˜R r00 − π˜R rρ˜s⎤⎡⎥⎦ ˜Q r,l (˜s) ⎢⎣˜R lL0⎤[ ]0⎥ ˜Pl (˜s)ρ˜s ⎦ Ũ l (˜s)π˜R l[][1, σ l ]∆(˜s) [0,−1]∆(˜s)˜Q(˜s) =[−(σ l +σ r ), −σ r σ l −L 2˜Γ(˜s) 2 ] ∆(˜s) [1, σ r ]∆(˜s)⎡avec ∆(˜s) = ⎣ φ 1(L 2˜Γ(˜s) 2 ) ⎤(φ 2 L 2˜Γ(˜s) 2 ) ⎦En variables adimensionnées, la matrice de transfert devient⎡ ⎤[ ] 1Pr (s)0 [⎢= ⎣R rU r (s)0 − 1⎥ Rl 0⎦Q(s)0 R l sR r s21][Pl (s)U l (s)](53)(54)(55)

oùQ(s) =[][[1, σ l ]∆(s) [0,−1]∆(s)−(σ l +σ r ), −σ r σ l −Γ(s) 2] ∆(s) [1, σ r ]∆(s)[ (φ1 Γ(s)2 ) ] (56)avec ∆(s) = (φ 2 Γ(s)2 )Les paramètres σ l , σ r et Υ sont liés. En effet, en écrivant la définition de σ l et de σ r , onmontre queσ r +σ l = −(σ r σ l +Υ) φ 2(Υ)φ 1 (Υ) . (57)On peut donc réécrire la matrice Q(s) afin de séparer les effets des paramètres σ l et σ r :Q(s) = Q 0 (s) + σ l Q l (s) + σ r Q r (s),[][1, 0]∆(s) [0, −1]∆(s)Q 0 (s) =[0, Υ−Γ(s) 2] ,∆(s) [1, 0]∆(s)[ ][0, 1]∆(s) 0Q l (s) =,[−1, Φ(Υ)]∆(s) 0[]0 0Q r (s) =.[−1, Φ(Υ)]∆(s) [0, 1]∆(s)(58)6.2 Recherche d’ondes découpléesDans cette section, la dépendance en la variable de Laplace s est omise afin d’alléger lesnotations.6.2.1 Démarche adoptéeComme nous l’avons dit en introduction de cette partie, le but est ici de trouver des ondesprogressives découplées informées par la géométrie. Pour cela, il nous faut injecter la condition(51) dans (58) avant la diagonalisation.Ceci est fait via le paramètre de dissymétrie θ. En effet, la condition (51) implique la réalité decette quantité. De plus, ce rapport nous permet de distinguer les informations liée à la géométrieet celles liées à l’orientation : le signe de θ nous indique l’orientation du tube alors que |θ| (ou θ 2 )nous donne une information sur le “taux de dissymétrie”, invariant par changement d’orientation.Pour bien comprendre cette étape, il est nécessaire de se demander à quoi correspond physiquementla diagonalisation de la matrice Q. Comme l’indique (55), la matrice Q est la matrice detransfert acoustique entre les états acoustiques aux extrémités du tubes. Cet état acoustique estun vecteur contenant la pression normalisée par la longueur du tronçon et la dérivée temporelled’une quantité de mouvement.Par définition, la diagonalisation d’une matrice M revient à trouver les valeurs propres λpour lesquels∃X ≠ 0 / MX = λX.Dans notre cas, diagonaliser Q revient donc à chercher une “proportion” de P et de U qui sepréserve lorsqu’elle parcourt le tronçon de tube :( ( 1X = λX −2)1 )222

6.2.2 Recherche des valeurs propresOn posePar définition,F(θ,Υ) = φ 1(θ 2 )−φ 1 (Υ)φ 2 (Υ)⎧⎪ ⎨⎪ ⎩σ l = √ Υσ r = √ Υ( √Υ )R r −R l cosh( √Υ ) ,R l sinh( √Υ )R l −R r cosh( √Υ ) .R r sinh(59)(60)On en déduit ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩σ l =σ r =e θsinh(θ)−Φ(Υ) = F(θ,Υ)+φ 2 (Υ) φ 2 (Υ) ,e −θ(61)sinh(θ)−Φ(Υ) = F(θ,Υ)−φ 2 (Υ) φ 2 (Υ) .En injectant (61) dans (58), on obtient une nouvelle expression de la matrice Q(s), uniquementen fonction des paramètres θ et Υ.(Q 1,1 = φ 1 Γ2 ) (+ F(θ,Υ)+ sinh(θ) )(φ 2 Γ2 )( φ 2 (Υ)Q 1,2 = −φ 2 Γ2 )(Q 2,1 = −2F(θ,Υ)φ 1 Γ2 ) ( (sinh(θ) ) )2+ −F(θ,Υ) 2 −Γ 2 (φ 2 Γ2 )φ 2 (Υ)(Q 2,2 = φ 1 Γ2 ) (+ F(θ,Υ)− sinh(θ)φ 2 (Υ)On vérifie bien que l’on a encoreLe polynôme caractéristique associé à cette matrice est)φ 2(Γ2 ) (62)det(Q) = 1 (63)P(λ) = λ 2 −2b ′ λ+1 (64)avec b ′ = φ 1(Γ2 ) +F(θ,Υ)φ 2(Γ2 ) (65)et les valeurs propres de la matrice de transfert acoustique s’écrivent⎛ √ ⎞λ r = b ′ b⎝1−′2 −1⎠b ′ 2et⎛ √ ⎞λ l = b ′ b⎝1+′2 −1⎠b ′ 2.(66)Comme detQ = 1, on sait que λ l = λ −1 r . On notera par la suite λ = λ r . Il existe un matrice depassage P telle que[ ] λ 0Q = P0 λ −1 P −1 . (67)23

Ces valeurs propres et la matrice de passage qui leur est associée définissent un nouveau typed’ondes progressives découplées qui se propagent à l’intérieur d’un tube acoustique à Υ constantavec prise en compte des pertes visco-thermique.La diagonalisation de la matrice de transfert acoustique s’écrit donc :⎡]⎢= ⎣U r[Pr1R r00 − 1R r s⎤⎥⎦P6.2.3 Paramétrisation des espaces propres[ ] [ λ 00 λ −1 P −1 Rl 00 R l s][PlU l](68)Pour trouver les vecteurs propres associés à chaque valeur propre, on résout[ ] [ ]ul/r ul/rQ = λv l/rl/r v l/r(69)Comme la diagonalisation fait apparaître deux valeurs propres de multiplicité 1, la matrice depassage possède deux degrés de liberté que l’on note α et β. En définissant√b′K = (φ ) b ′2 −12 Γ2b ′ 2et (70)a = sinh(θ)φ 2 (Υ) , (71)on obtient la matrice de passageP =[α βα(a−K) β(a+K)](72)et son inverse⎡P −1 = 1 ⎣2αβK(K +a)β −β(K −a)α α⎤⎦ . (73)Nous avons donc trouvé un paramétrage de la matrice de passage liée aux valeurs propresdéfinies ci-dessus.Maintenant que nous connaissons l’expression des matrices de passage, l’équation de transfert(68) peut être mise sous la forme d’une succession de quadripôles. Cette décomposition estprésentée en figure 9 (à gauche) en convention admittance (pression en entrée, débit en sortie).Nous souhaitons obtenir une struture symétrique. Remarquons tout d’abord que lorsque l’onchange l’orientation, a devient −a, on note donc a l = a et a r = −a. Comme le changementd’orientation doit se traduire uniquement par l’inversion des indices . l et . r , il apparaît unecondition sur les degrés de libertés de notre décomposition : α et β. En effet, on observe que lasymétrie est retrouvée dans le cas où le changement d’orientation change α en β et inversement.En notant α l = α et α r = β, on retrouve bien un structure entièrement symétrique (9 à droite).Un travail reste à faire sur le choix des quantités α l et α r . Nous pouvons citer comme possibilitésde choix respectant la symétrie :– α l = α r– α l = R l et α r = R r– α l = R r et α r = R l24

PlUlRl1/RlsPlUlPlUl1/αa−K −β/α2βKRlαa−Ks − β α2βKRlsRlαlal−K− αrsαl2αrKRlsλλλλλλ−2αK−α/β a+K1/β2αKRrs− α β−a−KsRrβ2αlKRrs− α lαrar−KsRrαrUrPrUrPr1/Rr−RrsUrPrFigure 9 – Décomposition en quadripôles de transfert. Rappelons que le but de l’étude est,entre autres, de retrouver des fonctions stables dans la boucle interne. Les trois représentationssont équivalentes avec a l = a, a r = a, α l = α et β r = β.25

6.3 Etudes et interprétation des valeurs propresL’expression (68) fait apparaître les nouveaux opérateurs de propagation (voir aussi la figure9), il s’agit simplement de la valeur propre λ. Etudions quelques propriétés de ce “nouvelopérateur” de propagation.Cas des tubes droits Etudions en premier lieu le cas Υ = 0 et θ = 0 (tube droit). Dans cecas, on trouveb ′ = φ 1(Γ2 ) (74)λ = φ 1(Γ2 ) −Γφ 2(Γ2 ) = e −Γ (75)On retrouve bien les mêmes opérateurs de propagation et de dispersion qu’en section 1 (enprenant ε = 0, on obtient Γ(s) = √ s 2 qui vaut s sur C + 0 en choisissant la fonction racine coupéesur R − ).Première étude la fonction F D’après (64-66), on montre aisément que l’on retrouve l’opérateurde propagation e −Γ si F(θ,Υ) = 0. De plus, notons que la valeur de F(θ,Υ) ne dépendpas du signe de θ mais uniquement de θ 2 . On se place donc maintenant dans le cas θ ≥ 0 (lechoix du signe de θ revient simplement à un choix d’orientation du tronçon). Ceci nous permetde faire une première cartographie des différentes géométries selon les valeurs de θ 2 et Υ.Υ −π 2 0 +∞θ 2 < Υ X X Géométrie de type Cθ 2 = Υ X Tube droit Géométrie de type exponentielθ 2 > Υ Tube convexe Tube conique Géométrie de type STable 1 – Catégorisation géométrique en fonction de θ et ΥLes différentes géométries des tubes évasés (ou tubes convexes, i.e. Υ > 0) sont présentéesen figure 10. Les 3 tubes représentés sont définis entre 0 et L = 1 mais les rayons sont tracésau-delà de ces valeurs afin d’illustrer les propriétés de chaque type géométrique.La géométrie de type C correspond au cas θ 2 < Υ. Ces profils peuvent s’écrire sous la formeCcosh(al+b) (le calcul n’est pas détaillé ici). On constate sur la figure 10 l’abscence de passagepar 0 du rayon dans ce cas. La géométrie de type S correspond au cas θ 2 > Υ. Ces profils peuvents’écrire sous la forme Ssinh(al+b) (le calcul n’est pas détaillé ici). On constate sur la figure 10un changement de signe du rayon (en l 0 < 0). Enfin, la géométrie de type exponentiel correspondau cas θ 2 = Υ. On montre dans ce cas que le profil peut s’écrire sous la forme Ee al+b (le calculn’est pas détaillé ici).Cette première catégorisation de profil peut être tracée dans le plan ayant pour axes Υ et θ 2 ,voir figure 11.Etudions les évolutions des diagrammes de Bode du nouvel opérateur de propagation enfonction des paramètres Υ et θ. Les figures 12 à 14 présentent les diagrammes de Bode del’opérateur de propagation pour un tube concave, un tube cônique, un tube à géométrie de typeS, un tube à géométrie de type exponentiel et un tube à géométrie de type C.Nous pouvons retrouver de nombreuses informations intéressantes dans ces courbes. Premièrement,on constate l’apparition de “modes en creux” ou “modes non transportés” dans lemodule de l’opérateur de propagation. Ces modes, propres au tronçon, sont à vrai dire plus des“germes de modes” que des modes proprement dits. En effet, l’effet général de ces modes seraprofondément modifié lorsque le tronçon sera connecté à un autre tronçon ou à une impédance26

Exemple de géométrie de type CR(l) et −R(l)R(l) et −R(l)R(l) et −R(l)10−1−1 −0.5 0 0.5 1 1.550−540200−20lExemple de géométrie de type exponentiel−1 −0.5 0 0.5 1 1.5lExemple de géométrie de type S−40−1 −0.5 0 0.5 1 1.5Figure 10 – 3 types de tubes évaséslde rayonnement par exemple. Autre exemple, si on connecte de façon C 1 ce tronçon à un autretronçon ayant le même paramètre Υ et la même longueur, on obtient un tronçon ayant commelongueur la somme des deux longueurs originales et le même paramètre Υ. On devrait doncretrouver le même diagramme de Bode avec un mode sur deux (cela n’a pas encore été vérifié).Nous reparleront de ces modes un peu plus loin.Par ailleurs, on remarque que, dans le cas des géométries de type exponentiel, les modes encreux présents dans le module de l’opérateur de propagation disparaissent, on retrouve λ = e Γ(qui est stable car Υ > 0).27

ΥTubes symétriquesGéométrie de type exponentielGéométrie de type CTubes droitsGéométrie de type STubes côniques− π24Tubes concavesθ 2Tubes concaves−π 2Figure 11 – Catégorisation des différentes géométries de tubeCommentaires généraux sur les tubes à section variable Nous avons étudié les valeurspropres et les opérateurs de propagation qui ont été trouvés dans cette étude. Afin de présenterles opérateurs de dispersion, les pages suivantes présentent une série de courbes qui permettentde comparer l’opérateur de dispersion D(s) (26) précédemment utilisé avec le nouvel opérateurde dispersion déduit des valeurs propres que nous avons trouvé :D n (s) = e s λ(s). (76)Les pages suivantes présentent le tracé du rayon, les modules et phases de D(s) dans ledomaine de Laplace et les modules et phases de D n (s) dans le domaine de Laplace pour plusieursjeux de paramètres Υ, θ et ε.Sur chaque double page, les figures sont présentés comme suit– De gauche à droite : Υ = 10, 1, 0, −1, −5.– De haut en bas : rayon du tronçon, module de D(s), phase de D(s), module de D n (s),phase de D n (s).Les doubles pages sont présentées dans cet ordre :– ε = 0, Rr/Rl = 1,– ε = 0, Rr/Rl = 2,– ε = 0, Rr/Rl = 10,– ε = 0.1, Rr/Rl = 1,– ε = 0.1, Rr/Rl = 2,– ε = 0.1, Rr/Rl = 10.Les codes couleurs sont les suivants :– Pour les modules, l’échelle va de 0 à 2, du bleu foncé au rouge. Tout ce qui est supérieurà 2 est rouge foncé. Cette coloration ne permet pas de différencier les pics d’amplitude28

Υ = −4, θ = 1, R l = 0.1, ε = 0 Υ = 0, θ = 1, R l = 0.1, ε = 00.450.30.40.280.260.350.24R(l)0.30.25R(l)0.220.20.180.20.160.140.150.120.1−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50l0.1−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50l−1−1−2−2−3−3|λ(iω)|−4−5|λ(iω)|−4−5−6−6−7−7−8−8−9ω−15 −10 −5 0 5 10 15−9ω−15 −10 −5 0 5 10 15443322arg(λ(iω))10−1arg(λ(iω))10−1−2−2−3−3−4ω−15 −10 −5 0 5 10 15−4ω−15 −10 −5 0 5 10 15Figure 12 – Diagramme des Bode des opérateurs de propagation, tube concave (à gauche) ettube conique (à droite)supérieur à 2 mais en revanche, elle est très adaptée pour repérer le passage au-dessus ouen-dessous de 1.– Pour les phases, l’échelle est circulaire : les couleurs correspondantes à −π et π sont rouges.Les couleurs se déroulent ensuite en passant par le bleu clair pour une phase nulle.29

Υ = 2, θ = 2, R l = 0.1, ε = 0 Υ = 4, θ = 2, R l = 0.1, ε = 00.80.80.70.70.60.6R(l)0.50.4R(l)0.50.40.30.30.20.20.1−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50l0.1−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50l−2−2−4−4−6−6|λ(iω)|−8−10|λ(iω)|−8−10−12−12−14−14−16−16−18ω−15 −10 −5 0 5 10 15−18ω−15 −10 −5 0 5 10 15443322arg(λ(iω))10−1arg(λ(iω))10−1−2−2−3−3−4ω−15 −10 −5 0 5 10 15−4ω−15 −10 −5 0 5 10 15Figure 13 – Diagramme des Bode des opérateurs de propagation, géométrie de type S (à gauche)et géométrie de type exponentiel (à droite)30

Υ = 4, θ = 1, R l = 0.1, ε = 00.280.260.240.22R(l)0.20.180.160.140.120.10.08−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50l−1−2−3|λ(iω)|−4−5−6−7−8−9ω−15 −10 −5 0 5 10 15432arg(λ(iω))10−1−2−3−4ω−15 −10 −5 0 5 10 15Figure 14 – Diagramme des Bode des opérateurs de propagation, géométrie de type C31

(θ = 0,ε = 0) Υ = 10 Υ = 1 Υ = 00.250.250.250.20.20.20.150.150.150.10.10.10.050.050.050−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 332

Υ = −1Υ = −50.250.250.20.20.150.150.10.10.050.050−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 333

(θ = ln(2),ε = 0) Υ = 10 Υ = 1 Υ = 00.350.350.350.30.30.30.250.250.250.20.20.20.150.150.150.10.10.10.050.050.050−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 334

Υ = −1Υ = −50.350.350.30.30.250.250.20.20.150.150.10.10.050.050−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 335

(θ = ln(10),ε = 0) Υ = 10 Υ = 1 Υ = 01.41.41.41.21.21.21110.80.80.80.60.60.60.40.40.40.20.20.20−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 336

Υ = −1Υ = −51.41.41.21.2110.80.80.60.60.40.40.20.20−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 337

(θ = 0,ε = 0.1) Υ = 10 Υ = 1 Υ = 00.250.250.250.20.20.20.150.150.150.10.10.10.050.050.050−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 338

Υ = −1Υ = −50.250.250.20.20.150.150.10.10.050.050−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 339

(θ = ln(2),ε = 0.1) Υ = 10 Υ = 1 Υ = 00.350.350.350.30.30.30.250.250.250.20.20.20.150.150.150.10.10.10.050.050.050−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 340

Υ = −1Υ = −50.350.350.30.30.250.250.20.20.150.150.10.10.050.050−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 341

(θ = ln(10),ε = 0.1) Υ = 10 Υ = 1 Υ = 01.41.41.41.21.21.21110.80.80.80.60.60.60.40.40.40.20.20.20−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151515101010555000−5−5−5−10−10−10−15−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 342

Υ = −1Υ = −51.41.41.21.2110.80.80.60.60.40.40.20.20−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 3151510105500−5−5−10−10−15−15−3 −2 −1 0 1 2 3−3 −2 −1 0 1 2 343

Ces nombreuses figures nous donnent de précieux renseignements sur l’intérêt des propagateursque nous avons trouvé. Rappelons qu’en raison de la présence de racine complexe, nousnous bornons pour l’instant à considérer les fonctions sur le demi-plan droit de Laplace. Uneétude plus approfondie permettrait de tirer de nombreuses informations de la partie des courbessur C − 0 .En premier lieu, il est bon de souligner que, dans le cas des tubes droits (avec ou sans pertes),nous retrouvons l’opérateur de dissipation unitaire définit en section 1.Ensuite, ces figures nous prouvent qu’il n’est pas absurde de définir comme opérateur dedispersion D n (s) = e s λ(s). En effet, l’absence de déroulement de phase sur la partie droite destracé de phase de D n (s) prouvent que ces opérateurs de contiennent pas de retard. On en concluedonc que λ(s) contient un retard e −s , il s’agit bien d’un opérateur de propagation, au sens ou ilest constitué d’un retard et d’un opérateur de dispersion (sans retard).Plus important, nous pouvons remarquer que les nouveaux opérateurs de dispersion (ou depropagation) ont, dans tous les cas, l’heureuse propriété d’avoir un module inférieur à 1. Ainsi, lespropagateurs en eux-mêmes sont stables, contrairement aux propagateurs initiaux qui présententun pôle très important dans C + 0 . On remarque aussi que les coupures sur la partie positive del’axe réel dans les diagrammes de phase de e s−Γ(s) dûes aux changements de signe successif durayon quand Υ < 0 ont bien été éliminées avec les nouveaux opérateurs. Ce résultat en soit estdéjà un très grand progrès dans la décomposition en ondes découplées, il nous assure la stabilitélors du transport. De plus, nous pouvons observer sur la figure 9 que le gain de la boucle interneest égal à λ 2 . La boucle interne est donc elle aussi stable.Enfin, on remarque une structure de modes non transportés (module plus petit que 1), notammentpour les valeurs de |Υ| grandes. Ces modes, dûs probablement à la finitude du tronçonnous assurent que l’information géométrique (finitude du tronçon et positivité du rayon) a bienété transmise dans la matrice de transfert acoustique.Les figures 15 présentent l’évolution des diagrammes de Bode (module à gauche, phase àdroite, même code couleur que précédemment) de λ(s) en fonction de la valeur de Υ. Sur uneimage, chaque ligne correspond à un diagramme de Bode (avec la pulsation ω en abscisse) et laposition en ordonnée indique la valeur du paramètre Υ.Etudions d’abord le premier cas : θ 2 =0, géométrie parfaitement symétrique. Le cas Υ=θ 2 =0correspond au tube droit donc le propagateur est un retard pur, le module vaut 1. Au dessous,(courbure négative), le module est plus petit que 1 et finit par être complètement nul quandon atteint le cas limite Υ = −π 2 . Cela s’interprète de la façon suivante. Quand Υ = 0, noussommes dans le cas d’un tube droit, tout se propage. Quand Υ=−π 2 , le tube concave devientfermé et rien ne se propage, tout est mode, les propagateurs sont nuls. Tout est mode parce que,précisément, Υ=−π 2 est le seul cas (limite) où on a des vrais conditions frontière : il correspondà un tronçon fermé. On retrouve cette dernière propriété sur l’autre figure qui correspond àun tube dissymétrique. Pour un tube dissymétrique, les basses fréquences ne se propagent pas,même dans le cas des tubes exponentiels (cas Υ=θ 2 ). Pour un tube dissymétrique qui n’est pasexponentiel, des modes sont retenus, pour Υ>0 et Υ

60|λ(s)|60arg ( λ(s) )505040403030ΥΥ202010100060ω−3 −2 −1 0 1 2 3|λ(s)|60ωarg ( λ(s) )−3 −2 −1 0 1 2 3505040403030ΥΥ2020101000ω−3 −2 −1 0 1 2 3ω−3 −2 −1 0 1 2 3Figure 15 – Ces figures présentent l’évolution du diagramme de Bode (module à gauche, phaseà droite, même code couleur que précédemment) de λ(s) en fonction du paramètre Υ. Dans tousles cas, ε = 0. Dans la première ligne, la ligne rouge représente la valeur Υ = θ 2 = 0, dans ladeuxième ligne, la ligne rouge représente la valeur Υ = θ 2 = 16.45

Conclusion et perspectivesNous avons réussi pendant ce stage à mettre à jour un nouveau type d’ondes découplées.Ces ondes intègrent une condition géométrique de réalisabilité du tube : la positivité stricte durayon. Ainsi, nous pensons pouvoir supprimer le problème existant précédemment lié à des changementsde signe virtuels du tube dans les fonctions de réflexions internes. Un premier résultatnous confirme que les propagateurs trouvés sont intéressants car, contrairement aux propagateursprécédents, ils sont stables quelques soient les valeurs des paramètres θ et Υ.Il reste cependant de nombreux points à approfondir.Premièrement, l’interprétation des nouveaux propagateurs n’est pas encore très claire et unerecherche approfondie dans ce sens sera nécessaire pour continuer le processus de compréhensiondes phénomènes physiques mis en jeu.Au delà de la compréhension physique, l’étude est loin d’être finie. Nous avons mis en oeuvreune famille de matrices de transfert paramétrées par deux degrés de liberté et il sera nécessaired’étudier ces paramètres afin de retrouver, d’une part, une expression de matrice de transfertsymétrique par changement d’orientation du tube, et d’autre part, d’étudier la stabilité et lapassivité des fonctions de réflexions internes [23, 24]. Car la stabilité des propagateurs n’impliquepas forcément la stabilité des fonctions de réflexions internes.Une fois la stabilité et la passivité des fonctions de réflexions internes assurées, il resteraplusieurs étapes avant d’arriver à une véritable structure guides d’ondes stables et simulable àfaible coût.La première consiste en l’approximation des différentes fonctions de transfert qui contiennentdes coupures (continuum de pôles) en fonctions contenant un ensemble fini de pôles (représentationsintégrales) comme cela a déjà été fait dans [1, 6]. La deuxième consiste en la discrétisationdu système complet nécessaire pour la simulation temps-réel.Plusieurs de ces étapes faisaient partie de mes objectifs initiaux pour ce stage et je n’ai malheureusementpas encore eu la possibilité de mener ces études à terme. J’ai passé du temps surune première étude de la paramétrisation des fonctions de réflexions internes définies initialementqui n’a malheureusement pas abouti et je me suis finalement dirigé vers la solution de ladiagonalisation de la matrice Q. Les premiers résultats trouvés sur les propagateurs sont plutôtencourageants et j’ai bon espoir que ces travaux servent de point de départ à une rechercheapprofondie qui permettra enfin de trouver une solution de simulation stable à faible coût destubes acoustiques basée sur le modèle de Webster-Lokshin à abscisse curviligne quelque soit lagéométrie du tube à simuler.46

Références[1] Thomas Hélie. Modélisation physique d’instruments de musique en systèmes dynamiques etinversion. Thèse de doctorat, Université de Paris XI - Orsay, Paris, 2002.[2] J. O. Smith. Physical modeling synthesis update. Computer Music Journal, 20(2) :44–56,1996. MIT Press.[3] J.L. Kelly and Lochbaum C.C. Speech synthesis. In Proc. 4th Int. Cong. Acoust., pages1–4, 1962.[4] G. P. Scavone. An Acoustic Analysis of Single-Reed Woodwind Instruments with an Emphasison Design and Performance Issues and Digital Waveguide Modeling Techniques. PhD thesis,Music Dept., Stanford University, 1997.[5] Th. Hélie, R. Mignot, and D. Matignon. Waveguide modeling of lossy flared acoustic pipes :Derivation of a Kelly-Lochbaum structure for real-time simulations. In IEEE WASPAA,pages 267–270, Mohonk, USA, 2007.[6] Rémi Mignot. Réalisation en guides d’ondes numériques stables d’un modèle acoustiqueréaliste pour la simulation en temps-réel d’instruments à vent. Thèse de doctorat, Edite deParis - Telecom ParisTech, Paris, 2009.[7] Thomas Hélie, Thomas Hézard, and Rémi Mignot. Représentation géométrique optimale dela perce de cuivres pour la calcul d’impédance d’entrée et de transmittance, et pour l’aideà la lutherie. In Actes du 10ème Congrès Français d’Acoustique, 2010.[8] D. P. Berners. Acoustics and signal processing techniques for physical modeling of brassinstruments. PhD thesis, Standford University, 1999.[9] E. Ducasse. Modélisation et simulation dans le domaine temporel d’instruments à vent àanche simple en situation de jeu : méthodes et modès. PhD thesis, Université du Maine,2001.[10] E. Ducasse. An alternative to the traveling-wave approach for use in two-port descriptionsof acoustic bores. J. Acoust. Soc. Am., 112 :3031–3041, 2002.[11] J. Gilbert, J. Kergomard, and J. D. Polack. On the reflection functions associated withdiscontinuities in conical bores. J. Acoust. Soc. Am., 04, 1990.[12] Rémi Mignot, Thomas Hélie, and Denis Matignon. Stable realization of a delay system modelinga convergent acoustic cone. In Mediterranean Conference on Control and Automation,pages 1574–1579, Ajaccio, France, 2008.[13] J. L. Lagrange. Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son. Misc. Taurinensia(Mélanges Phil. Math., Soc. Roy. Turin), 1760-1761.[14] D. Bernoulli. Sur le son et sur les tons des tuyaux d’orgues différemment construits. Mém.Acad. Sci. (Paris), 1764.[15] A. G. Webster. Acoustical impedance, and the theory of horns and of the phonograph. Proc.Nat. Acad. Sci. U.S., 5 :275–282, 1919. Errata, ibid. 6, p.320 (1920).[16] E. Eisner. Complete solutions of the Webster horn equation. J. Acoust. Soc. Amer.,41(4) :1126–1146, 1967.[17] G. Kirchhoff. Ueber die einfluss der wärmeleitung in einem gase auf die schallbewegung. Annalender Physik Leipzig, 134, 1868. (English version : R. B. Lindsay, ed., PhysicalAcoustics,Dowden, Hutchinson and Ross, Stroudsburg, 1974).[18] A. Chaigne and J. Kergomard. Acoustique des instruments de musique. Belin, 2008.[19] T. Hélie. Unidimensional models of acoustic propagation in axisymmetric waveguides. J.Acoust. Soc. Am., 114 :2633–2647, 2003.47

[20] H. Haddar, Th. Hélie, and D. Matignon. A webster-lokshin model for waves with viscothermallosses and impedance boundary conditions : strong solutions. pages 66–71, 2003.[21] D. Matignon. Asymptotic stability of the Webster-Lokshin model. In Mathematical Theoryof Networks and Systems (MTNS), pages 11 p. CD–Rom, Kyoto, Japan, jul 2006. (invitedsession).[22] Thomas Hézard. Construction de famille d’instruments à vent virtuels. Projet de fin d’étudesd’ingénieur, Ecole Nationale Supérieure de l’Electronique et de ses Applications, Cergy-Pontoise, 2009.[23] S. Bilbao. Waves and Scattering Methods for Numerical Simulation. John Wiley and Sons,2004.[24] Alfred Fettweis. Wave digital filters : Theory and practice. In Proc. of the IEEE, volume 74,pages 270 – 327, 1986.48

AnnexeSont présentés ici les nombreux calculs effectués pendant ce travail de stage à partir destravaux présentés dans la thèse de Rémi Mignot. Ces différentes expressions ont été obtenues dansle cadre de plusieurs pistes explorées pour la résolution du problème posé. Un grand nombre deces pistes ont été infructueuses et n’ont pas été présentées dans le présent document. Néanmoins,nous tenons à intégrer ces expressions dans ce document car elles pourront être utilisées dans lacontinuité de ces travaux.1 Algèbre généraleX + 1 (s)T + (s)X + 2 (s)R l (s)R r (s)X − 1 (s)T − (s)X − 2 (s)Figure 1–Quadripôle[ X−1X + 2]=[A11 A 12A 21 A 22][ X+1X − 2],[ X+2X − 2]=[B11 B 12B 21 B 22][ X+1X − 1]A 11 = R l , A 12 = T − , A 21 = T + , A 22 = R rB 11 = T + T − − R l R rT − , B 12 = RrT − , B 21 = − RlT − , B 22 = 1T −A 11 = − B 21, A 12 = 1 , A 21 = B 11B 22 − B 12 B 21, A 22 = B 12B 22 B 22 B 22 B 22B 11 = A 12A 21 − A 11 A 22, B 12 = A 22, B 21 = − A 11, B 22 = 1A 12 A 12 A 12 A 12

2 Adimensionnementl ∈ [a, b] ↦−→ x ∈L = b − a[− 1 2 , 1 ]2On donnera une version simplifiée des formules de passage avec a = − L 2 et b = L 2 .Les paramètres dimensionnés sont notés avec un ˜.2.1 Paramètres géométriques dépendant de la translation2.1.1 Cas général⎡V = ⎣ φ 1A = V T ⎛⎜⎝1L0( L 0à = V T 0 − a + b2( ( ˜Υ a+b) 2)2) ) 2φ 2(˜Υ( a+b2⎤ ⎡⎦ = ⎣ φ 1x = X (l) = l − a+b2Ll = L(x) =Lx + a + b2⎞0⎟a + b ⎠ Ũ (B = VT2L)U(˜B = V T(Υ( a+b) 2)L 2 2) ) 2φ 2(ΥL 2 ( a+b2)0 1˜Υ a + b Ũ02)0 1− Υ a + b U0L 2⎤[ ]⎦ A, U = , Ũ =B[ ØB]2.1.2 Cas particulier a = − L 2 et b = L 2x = X (l) = l Ll = L(x) =LxA = 1 LÃà = LAB = ˜B˜B = B

2.2 Variables et fonctions de base2.2.1 Variables indépendantes et coefficients2.2.2 Rayons, pentes et surfacest = c 0L ˜t s = L c 0˜s Υ=L 2 ˜Υ ε =√L˜ε˜t = L c 0t ˜s = c 0L s ˜Υ =1L 2 Υ ˜ε = 1 √LεR ( x ) = 1 L ˜R ( L(x) )˜R ( l ) = LR (X (l))dR( ) 1 x =dx Ld ˜Rdxd ˜R ( ) dR l = Ldl dl( ) d ˜R ( )L(x) = ldldR( )(X (l)) = xdxσ ( x ) = Lζ ( L(x) ) = R′( x )R ( x ) S( x ) = πR ( x ) 2 1 =L ˜S ( 2 L(x) )ζ(l) = 1 L σ (X (l)) = ˜R ′( l )˜R ( l )) ) 2˜S( l = π ˜R( l = L 2 S (X (l))C Υ : z(√ )↦→ cosh Υ zS Υ : z ↦→( √Υ )sinh z√Υ˜R(l) =LR ( X (l) ) = ÃC˜Υ(l)+ ˜BS˜Υ(l)˜R ′ (l) = d ˜R (l) =LdRdl dl (X (l)) = Ã ˜Υ S ˜Υ(l)+ ˜BC˜Υ(l)R(x) = 1 L ˜R ( L(x) ) = AC Υ (x)+BS Υ (x)R ′ (x) = dRdx (x) = 1 d ˜R ( )L(x)L dx= A Υ S Υ (x)+BC Υ (x)2.2.3 Autres fonctions( c0)Γ(s) =L˜ΓL s = √ s 2 1+Υ e ac (x, t) =ρ 0 c 2 0 L 2 ẽac˜Γ(˜s) = 1 ( ) LL Γ ˜s =c 0(L(x), L )tc 0√ ( ) ˜s 2+c ˜Υ(ẽ ac l, ˜t ) (= ρ 0 c 2 0 L 2 e ac X (l), c 00 L ˜t)

2.3 Variables d’états2.3.1 Variables de KirchoffP (x, t) = 1 (ρ 0 c ˜P L(x), L )t2 0 c 0(˜P (l, t) =ρc 2 0 P X (l), c )0L t⎧⎨⎩2.3.2 Variables de type ondes planes p ±e ac (x, t) = 1 2 R(x)2 [(1+ R c 2(1U(x, t) =c 0 L 2 S ( L(x) ) Ũ L(x), L )tc 0) (Ũ(l, t) =c 0 ˜S( X (l) U X (l), c )0L t∂x 2 P (x, (x)t)+2R′ R(x) ∂ x P (x, t) − ∂t 2 P (x, t) = 0∂ t U(x, t)+∂ x P (x, t) = 0{ []()s 2 +Υ− ∂x2 R(x)P (x, s) = 0sU(x, s)+∂ x P (x, s) = 0e ac (x, t) =πR(x) 2 P (x, t) 2 + U(x, t) 2p ± (x, t) = 1 (ρ 0 c 2 ˜p± L(x), L )t0 ( c 0˜p ± (l, t) =ρ 0 c 2 0 p ± X (l), c )0L t[ ] [ ][ ]p + (x, s)p − = 1 1 S(x)/Sc P (x, s)(x, s) 2 1 −S(x)/S c U(x, s)[ ] [][ ]P (x, s) 1 1 p + (x, s)=U(x, s) S c /S(x) −S c /S(x) p − (x, s)R(x) 2 ) (p + (x, t) 2 + p − (x, t) 2) +22.3.3 Variables de type ondes sphériques φ ±2(1 − R c 2 )]R(x) 2 p + (x, t)p − (x, t)(φ ± 1(x, t) =Lρ 0 c ˜φ ± L(x), L )t2 0 c 0˜φ ( ± (l, t) =Lρ 0 c 2 0 φ ± X (l), c )0L t[ ] [ ][φ + (x, sφ − = R(x) 1 1 P (x, s)(x, s) 2 1 −1 U(x, s)[ ] [ ][P (x, s)= 1 1 1 φ + (x, s)U(x, s) R(x) 1 −1 φ − (x, s)]]{ (s + ∂x)φ + (x, s) = σ(x)φ − (x, s)(s − ∂x)φ − (x, s) = −σ(x)φ + (x, s)

e ac (x, t) =π(φ + (x, t) 2 + φ − (x, t) 2)2.3.4 Variables de type ondes sphériques ψ ±(ψ ± 1(x, t) =Lρ 0 c ˜ψ ± L(x), L )t2 0 c 0˜ψ ( ± (l, t) =Lρ 0 c 2 0 ψ ± X (l), c )0L t[ ] [ ][ ]ψ + (x, s)ψ − = R(x) 1 1 P (x, s)(x, s) 2 1 −1 U(x, s)[ ] [ ][ ]P (x, s)= 1 1 1 ψ + (x, s)U(x, s) R(x) 1 −1 ψ − (x, s)⎧⎪⎨+ R′ (x)2s+ R′ (x)sR(x) 2 [01( )s + ∂x ψ + (x, s) = − Υ ψ(x, s)2s[ ]−1P (x, s)1]ψ(x, s)⎪⎩( )s − ∂x ψ + (x, s) = − Υ ψ(x, s)2se ac (x, t) = 1 (2 ρ 0c 2 0 πL[(1+2 1+ σ(x) ) ) 2ψ + (x, t) 2 +t( ( ) )]σ(x)2+2 2 −ψ + (x, t)ψ − (x, t)t(1+(1 − σ(x) ) ) 2ψ − (x, t) 2t

3 Convention “tronçon”3.1 Présentation de la convention “tronçon”p + (− 1 2 ,s)p + ( 1u(− 1 2 ,s)2 ) u( 1 2 )u lp inl(s)p outr (s)u rp − (− 1 2 ,s)p − ( 1 2 ,s)p outl(s)p inr (s)Figure 2 – Convention axialeFigure 3 – Convention tronçonσ(l) = R′ (l)R(l)σ l = R′ (− 1 2 )R(− 1 2 ) , σ r = − R′ ( 1 2 )R( 1 2 )[ ] p+p − = 1 [ ][ 1 S/Sc P2 1 −S/S c U[ ] [ P 1 1=U S c /S −S c /S][ p+p − ]] [pinl/rp out[Pl/rl/r]= 1 2] [=U l/r[ ][ ]1 Sl/r /S c Pl/r1 −S l/r /S c U l/r] [ 1 1 p inS c /S l/r −S c /S l/rl/rp outl/r][ ] φ+φ − = R [ ][ 1 1 P2 1 −1 U[ ] P= 1 [ 1 1U R 1 −1][ φ+φ − ]] [φinl/rφ out]= R l/rl/r 2]U l/r[Pl/r[ 1 11 −1= 1R l/r[ 1 11 −1][Pl/rU l/r]] [ φ inl/rφ outl/r][ ψ+[ PUψ − ]= R 2]= 1 R[ 1 11 −1[ 1 11 −1][ PU] [+ R′ −12s 1][ ψ+ψ − ]+ R′sR 2 [ 01]P]ψ[ψinl/rψ outl/r[Pl/rU l/r]]== R l/r2+ R′ l/r2s[ 1 11 −1[ −111R l/r[ 1 11 −1+ R′ l/rsR l/r2⎡⎣]P l/r][Pl/rU l/r]] [ ψl/rinψl/rout⎤0σ l/rR ′ l/r /R l/r]⎦ ψ l/r

3.2 Fonctions et paramètres de baseC Γ (s) =cosh ( Γ(s) )S Γ (s) = sinh ( Γ(s) )Γ(s)T (s) = e −Γ(s) = D(s)e −s = T + (s) =T − (s)D(s) = e s−Γ(s)R(s) = s − Γ(s)s +Γ(s)R le (s) = T le (s) − 1 = s − Γ(s) − σ ls +Γ(s)+σ l=R re (s) = T re (s) − 1 = s − Γ(s) − σ rs +Γ(s)+σ r=R li (s) = T li (s) − 1 = − s − Γ(s)+σ ls +Γ(s)+σ l=R ri (s) = T ri (s) − 1 = − s − Γ(s)+σ rs +Γ(s)+σ r=2ss +Γ(s)+σ l− 12ss +Γ(s)+σ r− 12Γ(s)s +Γ(s)+σ l− 12Γ(s)s +Γ(s)+σ r− 1k l = S c − S lS c + S l= − Z c − Z lZ c + Z lk r = S c − S rS c + S r= − Z c − Z rZ c + Z rR s ll(s) =−σ 2s + σ lσ rRr(s) s =−2s + σ rσ l = R′ (− 1 2 )R(− 1 2 )σ r = − R′ ( 1 2 )R( 1 2 )

3.3 Quadripôles de conversionP l1p inlp outr−2 S cS rU rS cS l−1−1S cS rU l−2 S cS lp outlp inr1P rFigure 4 – Quadripôle de conversion(P l ,U l ) ↔ (p inl,p outl)Figure 5 – Quadripôle de conversion(p inl,p outl) ↔ (P l ,U l )P lR lφ inlφ outr− 2 R rU r1 −1−1 1U l− 2 R lφ outlφ inrR rP rFigure 6 – Quadripôle de conversion(P l ,U l ) ↔ (φ inl,φ outl)Figure 7 – Quadripôle de conversion(φ inl,φ outl) ↔ (P l ,U l )P lR lψ inlψ outr− 2 R rU r1+ σ ls−1−11+ σ rsU l− 2 R lψ outlψ inrR rP rFigure 8 – Quadripôle de conversion(P l ,U l ) ↔ (ψlin ,ψl out )Figure 9 – Quadripôle de conversion(ψlin ,ψl out ) ↔ (P l ,U l )

3.4 Fonctions de transfertP l (s)H 21 (s)U r (s)H 11 (s)H 22 (s)U l (s)H 12 (s)P r (s)Figure 10 – Quadripôle en variables (P, U)Fonctions de transfert en variables (P, U) Voir figure 10H 11 (s) = 1 C Γ (s)+σ l S Γ (s)s S Γ (s)H 22 (s) = − 1 C Γ (s)+σ r S Γ (s)s S Γ (s)( ) 3 Rl 1 1H 12 (s) = −R r s S Γ (s)H 21 (s) =(RrR l) 31s1S Γ (s)Fonctions de transfert en variables (p in ,p out ) Voir figure 11p inl(s)T + p (s)p outr (s)R l p(s)R r p(s)p outl(s)T − p (s)p inr (s)Figure 11 – Quadripôle en variables (p in ,p out )T + p = R lR r((1 + kl )(1 − k r )T φ)/dpT − p = R rR l((1 − kl )(1 + k r )T φ)/dpR l p = ( k l + k l k r R r φ + k rR l φ Rr φ + Rl φ − k rT 2 φ)/dpRp r = ( k r + k r k l Rφ l + k lRφ r Rl φ + Rr φ − k lTφ) 2 /dpd p = 1+ ( k l Rφ l + k rRφ r + k lk r Rφ l Rr φ − k lk r Tφ2 )

φ inl(s)T + φ (s)φ outr (s)R l φ (s)R r φ (s)φ outl(s)T − φ (s)φ inr (s)Figure 12 – Quadripôle en variable (φ in ,φ out )Fonctions de transfert en variables (φ in ,φ out ) Voir figure 12T φ (s) =[ (1+ σ l + σ r2sRφ l (s) = [ (σl + σ r−sRφ r (s) = [ (σl + σ r−s)C Γ (s)+ 1 ( Γ(s)22 s( Γ(s)2)C Γ (s) −)C Γ (s) −s( Γ(s)2s( σl σ) ) r+ s + + σ l + σ r S Γ (s)s( σl σ) ) ]r− s + + σ l − σ r S Γ (s)s( σl σ) ) r− s + − σ l + σ r S Γ (s)s]] −1T φ (s)2T φ (s)2T + φ=T − φ=T le T ri T +1 − R ri R li T − T +T re T li T −1 − R ri R li T − T +R l φ = R le + R riT le T li T + T −1 − R ri R li T − T +R r φ = R re + R liT re T ri T + T −1 − R ri R li T − T +(Rφ l = (1 − RrR s ψ )Rl s +(1+2Rs l )( R ψ + Rr(T s ψ 2 − R2 ψ ))) /d φ(Rφ r = (1 − Rl s R ψ)Rr s +(1+2Rs r )( R ψ + Rl s (T ψ 2 − R2 ψ ))) /d φ()T φ = (1 + Rl s )(1 + Rs r )T ψ /d φd φ = 1− ( Rl s R ψ + RrR s ψ − Rl s Rs rR 2 ψ + Rl s Rs 2rT )ψFonctions de transfert en variables (ψ in ,ψ out ) Voir figure 13[T + ψ (s) = T − ψ (s) =T ψ(s) = C Γ (s)+ 1 2(Rψ l (s) = Rr ψ (s) =R ψ(s) = 1 − Γ(s)22 s(Γ(s) 2)+ s S Γ (s)s)+ s S Γ (s)T ψ (s)] −1

ψlin (s)T + ψ (s)ψrout (s)R l ψ (s)R r ψ (s)ψlout (s)T − ψ (s)ψ inr (s)Figure 13 – Quadripôle en variables (ψ in ,ψ out )T ψ =R ψ =(1 − R2 ) T1 − R 2 T 2 = D ψe −s =(1 − T2 ) R1 − R 2 T 2(1 − R2 ) D1 − R 2 T 2 e−s

4 Connexion de deux tubes4.1 Connexion à régularité au moins C 1Voir figures 14 et 15.q in1,lq out1,rq in2,lq out2,rD 1 (s 1 )e −s1−R 1,2 (s 1 ,s 2 )D 2 (s 2 )e −s2D 1 (s 1 )e −s1D 2 (s 2 )e −s2q out1,lq in1,rq out2,lq in2,rFigure 14 – Concaténation à régularité au moins C 1D k (s k ) = e s k − Γ k (s k )( )Γ k (s k ) =√s 2 3k +Υ k +2ε k s k 2R 1,2 (s 1 ,s 2 ) = s 2Γ 1 (s 1 ) − s 1 Γ 2 (s 2 )s 2 Γ 1 (s 1 )+s 1 Γ 2 (s 2 )q in1,lχ in1,lχ out1,rχ in2,lχ out2,rq out2,rD 1 (s 1 )e −s1T 2 χ(s 1 ,s 2 )e −s2C q,χRχ 1 (s 1,s 2 ) Q χ Rχ 2 (s 1,s 2 )C χ,qe −s1T 1 χ(s 1 ,s 2 )e −s2 D 2(s 2 )q out1,lχ out1,lχ in1,rχ out2,lχ in2,rq in2,rFigure 15 – Concaténation à régularité au moins C 1T 1 χ(s 1 ,s 2 ) = D 1 (s 1 ) ( 1 − R 1,2 (s1,s 2 ) ) = L 2L 12s 1 Γ 2 (s 2 )s 1 Γ 2 (s 2 )+s 2 Γ 1 (s 1 ) es 1−Γ 1 (s 1 )T 2 χ(s 1 ,s 2 ) = D 2 (s 2 ) ( 1+R 1,2 (s1,s 2 ) ) = L 1L 22s 2 Γ 1 (s 1 )s 2 Γ 1 (s 1 )+s 1 Γ 2 (s 2 ) es 2−Γ 2 (s 2 )R 1 χ(s 1 ,s 2 ) = D 1 (s 1 )R 1,2 (s1,s 2 )= s 2Γ 1 (s 1 ) − s 1 Γ 2 (s 2 )s 2 Γ 1 (s 1 )+s 1 Γ 2 (s 2 ) es 1−Γ 1 (s 1 )R 2 χ(s 1 ,s 2 ) = −D 2 (s 2 )R 1,2 (s1,s 2 )= s 1Γ 2 (s 2 ) − s 2 Γ 1 (s 1 )s 2 Γ 1 (s 1 )+s 1 Γ 2 (s 2 ) es 2−Γ 2 (s 2 )

4.2 Connexion à régularité au moins C 0Voir figures 16 et 17.q in1,lq out1,rq in2,lq out2,rD 1 (s)e −s1D 1 (s)e −s1R h 1,2 (s 1,s 2 )L 1L 2L 2L 1R h 2,1 (s 1,s 2 )D 2 (s)e −s2D 2 (s)e −s2q out1,lq in1,rq out2,lq in2,rFigure 16 – Concaténation à régularité au moins C 0D k (s k ) = e s k − Γ k (s k )( )Γ k (s k ) =√s 2 3k +Υ k +2ε k s k 2Rk h (s 1,s 2 ) = β (k s2 Γ 1 (s 1 ) − s 1 Γ 2 (s 2 ) − ( )s 2 σ 1,r + s 1 σ 2,l(s2 Γ 1 (s 1 )+s 1 Γ 2 (s 2 ) ) + ( )s 2 σ 1,r + s 1 σ 2,lavec β 1,2 =1et β 2,1 = −1.q in1,lχ in1,lχ out1,rχ in2,lχ out2,rq out2,rD 1 (s 1 )e −s1T 2 χ(s 1 ,s 2 )e −s2C q,χRχ(s 1 1 ,s 2 ) Q χ Rχ(s 2 1 ,s 2 )C χ,qe −s1T 1 χ(s 1 ,s 2 )e −s2 D 2 (s 2 )q out1,lχ out1,lχ in1,rχ out2,lχ in2,rq in2,rFigure 17 – Concaténation à régularité au moins C 0T 1 χ(s 1 ,s 2 ) = D 1 (s 1 ) ( 1 − R j 2,1 (s 1,s 2 ) ) = L 2L 12s 1 Γ 2 (s 2 )(s2 Γ 1 (s 1 )+s 1 Γ 2 (s 2 ) ) + ( s 2 σ 1,r + s 1 σ 2,l)e s 1−Γ 1 (s 1 )Tχ(s 2 1 ,s 2 ) = D 2 (s 2 ) ( 1+R j 1,2 (s 1,s 2 ) ) = L 12s 2 Γ 1 (s 1 )(L 2 s2 Γ 1 (s 1 )+s 1 Γ 2 (s 2 ) ) + ( )e s 2−Γ 2 (s 2 )s 2 σ 1,r + s 1 σ 2,l(s2 Γ 1 (s 1 ) − s 1 Γ 2 (s 2 ) ) − ( )s 2 σ 1,r + s 1 σ 2,lRχ 1 (s 1,s 2 ) = D 1 (s 1 )R1,2 h (s 1,s 2 )=( s2 Γ 1 (s 1 )+s 1 Γ 2 (s 2 ) ) + ( )e s 1−Γ 1 (s 1 )s 2 σ 1,r + s 1 σ 2,l(s1 Γ 2 (s 2 ) − s 2 Γ 1 (s 1 ) ) − ( s 2 σ 1,r + s 1 σ 2,l)Rχ 2 (s 1,s 2 ) = D 2 (s 2 )R2,1 h (s 1,s 2 )=( s2 Γ 1 (s 1 )+s 1 Γ 2 (s 2 ) ) + ( )e s 2−Γ 2 (s 2 )s 2 σ 1,r + s 1 σ 2,l

4.3 Connexion à régularité quelconqueVoir figures 18 et 19.q in1,lq out1,rq in2,lq out2,rD 1 (s)e −s1D 1 (s)e −s1R j 1,2 (s 1,s 2 )R 2,lR 1,rR 1,rR 2,lR j 2,1 (s 1,s 2 )D 2 (s)e −s2D 2 (s)e −s2q out1,lq in1,rq out2,lq in2,rFigure 18 – Concaténation à régularité quelconqueD k (s k ) = e s k − Γ k (s k )( )Γ k (s k ) =√s 2 3k +Υ k +2ε k s k 2R j k (s 1,s 2 ) = β (k s2 S 1,r Γ 1 (s 1 ) − s 1 S 2,l Γ 2 (s 2 ) − ( )s 2 S 1,r σ 1,r + s 1 S 2,l σ 2,l(s2 S 1,r Γ 1 (s 1 )+s 1 S 2,l Γ 2 (s 2 ) ) + ( )s 2 S 1,r σ 1,r + s 1 S 2,l σ 2,lavec β 1,2 =1et β 2,1 = −1.q in1,lχ in1,lχ out1,rχ in2,lχ out2,rq out2,rD 1 (s 1 )e −s1T 2 χ(s 1 ,s 2 )e −s2C q,χRχ(s 1 1 ,s 2 ) Q χ Rχ(s 2 1 ,s 2 )C χ,qe −s1T 1 χ(s 1 ,s 2 )e −s2 D 2 (s 2 )q out1,lχ out1,lχ in1,rχ out2,lχ in2,rq in2,rFigure 19 – Concaténation à régularité quelconqueT 1 χ (s 1,s 2 ) = D 1 (s 1 ) ( 1 − R j 2,1 (s 1,s 2 ) )= R 1,r2s 1 Γ 2 (s 2 )S( 2,lR 2,l s2 S 1,r Γ 1 (s 1 )+s 1 S 2,l Γ 2 (s 2 ) ) + ( )e s 1−Γ 1 (s 1 )s 2 S 1,r σ 1,r + s 1 S 2,l σ 2,lTχ 2 (s 1,s 2 ) = D 2 (s 2 ) ( 1+R j 1,2 (s 1,s 2 ) )= R 2,l2s 2 Γ 1 (s 1 )S( 1,rR 1,r s2 S 1,r Γ 1 (s 1 )+s 1 S 2,l Γ 2 (s 2 ) ) + ( )e s 2−Γ 2 (s 2 )s 2 S 1,r σ 1,r + s 1 S 2,l σ 2,lRχ 1 (s 1,s 2 ) = D 1 (s 1 )R j 1,2 (s 1,s 2 )(s2 S 1,r Γ 1 (s 1 ) − s 1 S 2,l Γ 2 (s 2 ) ) − ( )s 2 S 1,r σ 1,r + s 1 S 2,l σ 2,l= (s2 S 1,r Γ 1 (s 1 )+s 1 S 2,l Γ 2 (s 2 ) ) + ( )e s 1−Γ 1 (s 1 )s 2 S 1,r σ 1,r + s 1 S 2,l σ 2,lRχ 2 (s 1,s 2 ) = D 2 (s 2 )R j 2,1 (s 1,s 2 )(s1 S 2,r Γ 2 (s 2 ) − s 2 S 1,l Γ 1 (s 1 ) ) − ( )s 2 S 1,r σ 1,r + s 1 S 2,l σ 2,l= (s2 S 1,r Γ 1 (s 1 )+s 1 S 2,l Γ 2 (s 2 ) ) + ( )e s 2−Γ 2 (s 2 )s 2 S 1,r σ 1,r + s 1 S 2,l σ 2,l

5 Connection avec une impédance passivee −sq outr1 − R(s)ψ outrU outr−c 0 ˜SrŨ outr−R(s)R(s)−11+ σrs˜Ze −sD(s)q inr1+R(s)ψ inrR r− 2 R r1U inrρ 0c 02Ũ inrFigure 20 – Concaténation avec une impédance passivee −se −sq outrq inr− 2ρ 0c 0 s 2 + ˜S r ˜Z( 2sσr − 2sΓ(s) )2ρ 0 c 0 s 2 + ˜S r ˜Z( 2sσr +2sΓ(s) )Figure 21 – Concaténation avec une impédance passive

6 Forme standard réduite et applicationsφ inlφ outrF le −sH lG lG rHre −sF rφ outlFigure 22 – Forme standard réduiteφ inr6.1 Expression des fonctions H et FH l (s) = Rφ l (s) − D+ φ (s)G r(s)e −2sH r (s) = Rφ r (s) − D− φ (s)G l(s)e −2sF l (s) = D + φ (s)( 1 −G l (s)G r (s)e −2s)F r (s) = D − φ (s)( 1 −G l (s)G r (s)e −2s)6.2 Forme “décomposée” : Guide d’ondeH l (s) = R le (s) = s − Γ(s) − σ ls +Γ(s)+σ lH r (s) = R re (s) = s − Γ(s) − σ rs +Γ(s)+σ rF l (s) = D(s) ( 1+R ri (s) )( 1+R le (s) ) ()()= e s−Γ(s) 2Γ(s)2ss +Γ(s)+σ r s +Γ(s)+σ lF r (s) = D(s) ( 1+R li (s) )( 1+R re (s) ) ()()= e s−Γ(s) 2Γ(s)2ss +Γ(s)+σ l s +Γ(s)+σ rG l (s) = R li(s) ( 1+R ri (s) )D(s) = − e s−Γ(s) s − Γ(s)+σ l1+R li (s)s +Γ(s)+σ rG r (s) = R ri(s) ( 1+R li (s) )D(s) = − e s−Γ(s) s − Γ(s)+σ r1+R ri (s)s +Γ(s)+σ l

6.3 Formes standards équivalentes et connexionsLes trois formes standards fig. 23, fig. 24 et fig. 25 sont équivalentes.φ inlφ outrF le −s1H lG lG rHr1e −sF rφ outlFigure 23 – Forme standard 1φ inrφ inlφ outr1F l e −s1H lG l /F lG r /F rHr1F r e −s1φ outlFigure 24 – Forme standard 2φ inrφ inlφ outr1e −sF lH lG l F r /F lG r F l /F rHrF re −s1φ outlFigure 25 – Forme standard 3φ inr

6.3.1 Connexion (au moins C 0 ) de 2 formes standards 1Les systèmes des figures 26 et 27 sont équivalents.1F 2 lG 1 rH 1 rH 2 lG 2 lF 1 r1Figure 26 – Connexion standard 1F 2 l1 −H 1 rH 2 lGr 1 + F r 1 Hl21 −Hr 1H2 lF 2 l H1 rGl 2 +1 −HrH 1 l2F 1 r1 −H 1 rH 2 lFigure 27 – Connexion standard 16.3.2 Connexion (au moins C 0 ) de 2 formes standards 2Les systèmes des figures 28 et 29 sont équivalents.11G 1 r /F 1 rH 1 rH 2 lG 2 l /F 2 l11Figure 28 – Connexion standard 26.3.3 Connexion (au moins C 0 ) de 2 formes standards 3Les systèmes des figures 30 et 31 sont équivalents.

11 −H 1 rH 2 lGr1Fr1H 2 l+1 −Hr 1H2 lGl2Fl2H 1 r+1 −Hr 1H2 l11 −H 1 rH 2 lFigure 29 – Connexion standard 2F 1 l1G 1 r F 1 l /F 1 rH 1 rH 2 lG 2 l F 2 r /F 2 l1F 2 rFigure 30 – Connexion standard 3F 1 l1 −H 1 rH 2 lG 1 r F 1 lF 1 r+ H2 l F 1 l1 −H 1 rH 2 lG 2 l F 2 rF 2 l+ H1 rF 2 r1 −H 1 r H2 lF 2 r1 −H 1 r H2 lFigure 31 – Connexion standard 3

10ème Congrès Français d’AcoustiqueLyon, 12-16 Avril 2010Représentation géométrique optimale de la perce de cuivres pour le calculd’impédance d’entrée et de transmittance, et pour l’aide à la lutherieThomas Hélie, Thomas Hézard, Rémi MignotCNRS UMR 9912 - IRCAM, 1 place Igor Stravinsky, F-75004 Paris,{thomas.helie,thomas.hezard,remi.mignot}@ircam.frDans cet article, nous nous intéressons à représenter efficacement l’acoustique de tubes à symétrie axialeayant une perce C 1 , c’est-à-dire, continue et à dérivée continue. Pour ce faire, nous nous appuyons sur unmodèle 1D proche de l’équation des pavillons mais plus raffiné (l’équation dite de “Webster-Lokshin” àabscisse curviligne) ainsi que des modèles simplifiés d’embouchure et de rayonnement à calotte sphériquepour les pavillons. Le modèle de propagation inclut l’effet des pertes visco-thermiques sous l’hypothèsedes tubes acoustiques larges (impédance de paroi équivalente de Cremer). De plus, il repose sur desapproximations sur la géométrie des isobares plus faibles (quasi-sphéricité au voisinage de la paroi) queles approximations usuelles (ondes planes ou sphériques). Une résolution exacte du modèle de propagationest possible lorsque ses coefficients (Υ quantifiant l’évasement du profil et ε quantifiant les pertes) sontconstants. Les profils géométriques admissibles définissent des tronçons. Le profil complet est réalisépar leur concaténation en imposant que leur jonction soit de régularité C 1 . Si la longueur totale estfixée, un tel profil de N tronçons possède exactement 2N +1 paramètres libres (N paramètres Υ, N−1longueurs, et 2 coefficients libres). Un algorithme qui optimise ces paramètres pour tout profil donné a étéconstruit. Il permet d’obtenir des descriptions fidèles d’une perce cible, préservant la régularité C 1 , parun nombre réduit de tronçons (comparativement aux représentations en tubes droits ou coniques). Unformalisme classique en matrices de transfert permet de fournir l’impédance d’entrée et la transmittancede l’instrument. Ce travail est présenté de la façon suivante. Après quelques rappels historiques, nousprésentons le modèle acoustique . Puis, nous introduisons une famille de profils paramétrés permettantla résolution exacte des matrices de transfert acoustiques. Nous construisons un algorithme pour estimerles paramètres correspondant à un profil cible. Enfin, nous testons cet algorithme et reconstruisons lesimpédances d’entrée. Nous comparons ces résultats àdes mesures et àceuxobtenus par d’autres méthodes(concaténation de tubes droits, coniques, ou intégration numérique spatiale du modèle original).1 Sur les équations des pavillons1.1 Historique abrégé et contexteModèle 1D et géométrie Le premier modèle detube acoustique à dépendance mono-spatiale fut établipar Lagrange [1] et Bernoulli [2]. Cette équation dite“de Webster” [3], abondamment étudiée [4], repose surdes hypothèses qui ont été périodiquement révisées.Ainsi, pour assurer l’orthogonalité des fronts d’ondesà la paroi, Lambert [5] et Weibel [6] réfutent l’hypothèseinitiale d’ondes planes et postulent leur sphéricité. Laquasi-sphéricité est validée expérimentalement dans lespavillons aux basses fréquences par Benade et Janson[7]. Puis, Putland [8] montre qu’une propagationà dépendance mono-spatiale ne peut être gouvernéeque par une équation de Webster, pour “une certainecoordonnée”, et que les ondes planes, cylindriques ousphériques seules peuvent respecter une telle propriété.Malgré cette restriction, des raffinements de modèles1D ont encore été recherchés car ils permettent des calculsd’impédance aisés et la plage fréquentielle non perturbéepar les modes transverses reste intéressante pourbon nombre d’instruments à vent. Ainsi, [9] suppose desfronts d’ondes en ellipsoïdes. Dans [10], un modèle exactest établi dans la carte des isobares, à partir duquel uneéquation de Webster est obtenue en supposant uniquementla quasi-sphéricité des isobares au voisinage de laparoi (hypothèse retenue dans cet article).Pertes visco-thermiques Un autre raffinement estla modélisation des pertes visco-thermiques aux parois.Kirchhoff introduit l’effet de conduction thermique etétend la théorie de Stokes. Il fournit de premières solutionssimples dans l’espace libre et dans un tube. Ildonne la formule de dispersion générale exacte pourun cylindre lorque le problème est à symétrie derévolution [11] (en l’absence de symétrie, une versionexacte généralisée est établie dans [12, éq.(56)]).Certaines simplifications sont aussi proposées. Ainsi,la théorie de Zwikker et Kosten (cf. e.g. [13, p210])est établie en séparant les effets de couches limites visqueuseset thermiques dans les équations de départ. Lesconditions de validité de cette théorie sont données dans[14, 15] qui exhibent un lien plus direct avec l’équationde dispersion de Kirchhoff. De plus, Cremer établit l’admittanceéquivalente d’un écran plan réfléchissant desondes planes pour un angle d’incidence donné [16]. Cerésultat coïncide avec celui de Kirchhoff pour un guide à

sectionrectangulairelarge(épaisseurdescoucheslimitesfaibles devant les longueurs du rectangle).Pour ces simplifications, les équations de propagationincluent un terme avec une dérivée temporelle fractionnaire(voir l’équation de Lokshin [17, 18] et aussi[19]). Des solutions exactes de l’équation de Lokshin ontété données par Matignon [20, 21] et mettent en lumièreuneffetdemémoirelongue.Lapriseencomptedepertesdans l’équation des pavillons établie dans [10] fait apparaîtreun terme similaire.Contexte et approche Le modèle considéré ici reposesur l’hypothèse de quasi-sphéricité des isobares auvoisinage de parois à admittance de Cremer. Les étapespour son établissement sont données ci-dessous.1.2 Equation des ondes et isobaresDanslesystèmedecoordonnéescylindriques(r,θ,z),les isobares d’un problème à symétrie d’axe (Oz) ont desdescriptions paramètriques (localement au moins) de laforme r = f(s,u,t), z = g(s,u,t) et θ ∈ [0,2π[, où sindexe une isobare, u est une coordonnée libre. Puisquele niveau de pression ne dépend spatialement que de s,la carte dynamique (f,g) satisfait l’équation implicite∃p ∣ P(z = f(s,u,t), r = g(s,u,t), t) = p(s,t).En exploitant cette équation et le changement de(coordonnées(z,r,t) → (s,u,t), l’équation des ondes ∂z 2 +)1r ∂ r +∂r 2 − 1 c∂ 2 2 t P(z,r,t) = 0 se récrit exactement(α(s,u,t)∂s+β(s,u,t)∂ 2 s +γ(s,u,t)∂ s ∂ t + 1 )c 2∂2 t p(s,t)=0, (1)où α, β, γ sont des expressions (détaillées dans [22, 10])de f, g et leurs dérivées jusqu’à l’ordre 2 en s, u, t.En appliquant la dérivation ∂u k pour k = 1,2,3 àcette dernière équation, on trouve que, pour tout s,u,t,⎛⎝∂ u α ∂ u β ∂ u γ∂ 2 uα ∂ 2 uβ ∂ 2 uγ∂ 3 uα ∂ 3 uβ ∂ 3 uγ⎞ ⎛⎠ ⎝∂ 2 sp∂ s p∂ s ∂ t p⎞⎛⎠ = ⎝000⎞⎠.Lanullité dudéterminant delamatrice 3×3 fournit doncune condition nécessaire, purement géométrique, pourque la carte isobare corresponde à une propagation.Dans le cas statique (∂ t f = ∂ t g = 0), une étude similairemontre que les seules cartes admissibles correspondentaux cas connus : ondes planes, cylindriques,sphériques,cartesmodalesassociéesàunnombred’ondek 0 réel (oscillation infinie) ou bien imaginaire pur (ondeexponentielle non oscillante). Dans le cas modal, ondéduit de l’équation isobare l’invariant géométrique∂ s ln(g 2 (∂ sf) 2 +(∂ s g) 2 ) ((∂ u f) 2 +(∂ u g) 2 +2 (∂ s f) 2 +(∂ s g) 2) sk0 2 = 0,si on choisit l’index s égal au niveau de la déforméemodale (voir [10] pour plus de détails). Ainsi, aucunecarte statique ne peut porter une propagation 1D nonmodale si le tube n’est ni droit, ni conique.1.3 Approximation 1D pour paroi idéaleUne paroi idéalement immobile et rigide appartientaux lignes de champ de pression (cf. [22, p33] pour lescasdégénérés).Enchoisissantuorthogonaleàs,ilexistedonc (f,g) et w tels que f(s,u=w,t)=F(s), g(s,u=w,t)=R(s) où F,R est une paramétrisation de la perce.En évaluant (1) en u = w, on trouve les coefficientsexacts α(s,w,t) = 1/ ( F ′ (s) 2 +R ′ (s) 2) , β(s,w,t) = 0 etγ(s,w,t)α(s,w,t) = d (ln∣ R(s))ds F ′ ∣ +∂ s ln ∣ ∂u g(s,u=w,t) ∣ . (2)(s)La seule information géométrique manquante pour obtenirun modèle 1D via (1) est donc le second terme de(2) qui met en jeu une dérivée d’ordre 1 en u (variationde la ligne de champ lorqu’on s’éloigne de la paroi).Pour assurer la compatibilité avec des isobares(i) planes dans les tubes droits, (ii) sphériques dans lescônes, (iii) orthogonales à la paroi, (iv) quasi-sphériquesdans les pavillons [7], (v) sans les supposer figées, onretient l’hypothèse suivante : à la paroi, une isobares’éloigne lentement de son approximation sphérique tangente.Plus précisément, en notant ζ(s,u,t) l’écart relatif(cf. [22]), on a ∂uζ(s,u=w,t) k = 0 pour k = 0(contact)et k=1(tangence). En supposant la validité pour k=2(éloignement plus lent qu’une parabole), on obtient queγ(s,w,t). Ceci conduit à l’équation de Websterα(s,w,t) = (s)2R′ R(s)(∂l 2 +2 R′ (l)R(l) ∂ l − 1 )c 2∂2 t p(l,t) = 0, (3)si s=l est l’abscisse curviligne mesurant la longueur surla paroi (α(s,u=w,t) = 1).1.4 Paroi à admittance de CremerEn présence de pertes visco-thermiques, l’orthogonalitédesisobaresàlaparoin’estplusvalide.Silescoucheslimites sont d’épaisseur faible devant R(l) et le rayon decourbure de ce profil, cette perturbation peut être estiméeen approchant l’action de la paroi par son admittancede Cremer [16]. L’hypothèse de coïncidence localeà l’ordre 2 de l’isobare et sa sphère tangente conduit àune version perturbée de (3) donnée par [22, 10](∂ 2 l +2 R′ (l)R(l) ∂ l − 1 c 2∂2 t − 2ε(l)c 3 2∂ 3 2t)p(l,t) = 0, (4)où ∂ 3 2t est une dérivée fractionnaire [20] et ε(l) =κ 0√1−R ′ (l) 2R(l)quantifie les effets visco-thermiques (κ 0 =√l′ v +(γ−1) √ l h ≈3×10 −4 m 1/2 dansl’air).Cetteéquationest dite de Webster(cas ε = 0)-Lokhin(cas R ′ = 0).1.5 Modèle complet, propriétés, validitéOn considère ici la propagation dans l’espace desisobares redressées, sous l’hypothèse de leur quasisphéricitéà la paroi, avec pertes, modélisée par(∂ 2 l −[ 1c 2∂2 t + 2ε(l)c 3 2∂ 3 2t +Υ(l)]) [R(l)p(l,t) ]= 0 (5)ρ∂ t v(l,t)+∂ l p(l,t) = 0 (6)

où Υ = R ′′ /R. Si R est deux fois dérivable, (5) équivautà (4). Hors de la couche limite, la vitesse particulaireest colinéaire au gradient de pression : elle satisfaitl’équation d’Euler dont on tire (6) après projection.Propriétés du changement de coordonnée z→lPour une description de perce z ↦→ r(z), la lon-de la paroi mesurée depuis z = 0 est L(z) =∫gueurz√1+r′ (z)02 dz dont on tire R(l) = r ( L −1 (l) ) . Endérivant l’expression R(L(z)) = r(z), on trouve queR ′ (L(z)) = r ′ (z)/ √ 1+r ′ (z) 2 . On a donc les propriétéssuivantes, inhabituelles pour (3-6) : (i) |R ′ (l)| ≤ 1;(ii) R ′ (l) = 1 correspond à une pente verticale. Notonsqu’un tube droit reconduit bien aux équations gouvernantles ondes planes (R ′ /R = 0, l = z), et un cônereconduit aux ondes sphériques (2R ′ /R = 2/l). Si uneperce finit par une pente verticale, le modèle opère unrecollage naturel avec une solution en ondes sphériques.Validité Le modèle sans perte (3) est exact si Υ=0.Il fournit une approximation intéressante si |Υ| est suffisammentfaible ou si les fréquences sont suffisammentbasses (voir [23] pour une analyse précise). L’hypothèse1D est conditionnée par l’absence de modes transverses,qu’on caractérise parf < K + (R max ) −1 avec K + = 1.84c2π ≈ 631.8m.s−1 .Lemodèledespertessupposequel’épaisseurdescoucheslimites est faible devant le rayon R et le rayon de cour-√bure R c donné par (1+R′ (z) 2 ) 23R ′′ (z)si s=z et par 1 1−R′ (l) 2R ′′ (l)si s=l. La condition la plus contraignante vient de lacouche visqueuse. Elle se traduit par (cf. e.g. [13, p212])f > K − (R min ) −2 avecK − = µ2πρ ≈ 2.39×10−6 m 2 .s −1 .2 Solutions exactes pour desgéométries paramétrées2.1 Propagation à coefficients constantsProfils admissibles et régularité Dans le domainede Laplace (variable s) et pour des conditions initialesnulles, les équations (5-6) se récrivent[( (sc) 2+2ε(l) ( sc)32+Υ(l)){ }−∂l] 2 R(l)P(l,s) = 0, (7)ρs U(l,s)S(l)+∂ l P(l,s) = 0, (8)où U(l,s)=S(l)V(l) avec S(l)=πR(l) 2 . Ces équationsse résolvent analytiquement si ε et Υ sont constants.Puisque R ′′ (l)−Υ(l)R(l)=0, les profils à Υ constantsont de la forme (avec (A,B) ∈ R 2 )R(l) = Acos( √ −Υl)+Bsin( √ −Υl), si Υ < 0,R(l) = A+Bl, si Υ = 0,R(l) = Acosh( √ Υl)+Bsinh( √ Υl), si Υ > 0.Ces familles peuvent être décrites par la forme unifiéeR(l) = AC Υ (l)+BS Υ (l), (9)1. Remarque : on vérifie que ε(l) = κ 0 R c(l)Υ(l) (si Υ ≠ 0).où (Υ,l) ↦→ C Υ (l) = φ 1(Υl2 ) et (Υ,l) ↦→ S Υ (l) =lφ 2(Υl2 ) sont des fonctions infiniment dérivables,construites à partir des fonctions analytiques sur Cφ 1 : z ↦→φ 2 : z ↦→+∞∑k=0+∞∑k=0z k(2k)!z k(2k +1)!((= cosh √ z),= sinh√ z)√ pour z ≠ 0 . zExcepté le cas où R est constant, cette famille deprofils ne conduit pas à une fonction ε constante. Aussi,pourunintervalle[0,L]suffisammentcourt,onapproche∫ε par sa valeur moyenne ε(l) ≈ 1 LLε(l)dl. Ceci définit0un tronçon dont le profil géométrique est décrit par les4 paramètres {A,B,Υ,L} et dans lequel la propagationest caractérisée par les constantes Υ, ε et c.Matrice de transfert acoustique d’un tronçonEn notant X l (s)= [ P(l,s),U(l,s) ] T, une résolution analytiquede (7-8) avec Υ et ε constants sur [a,b] conduit àX b (s) = T b,a (s)X a (s),où T b,a (s)=diag ( LR(b) , πR(b) )ρs Mb,a (s)diag ( R(a)L , )ρsπR(a)est une matrice de déterminant 1 et, en notant ∆(z) =[coshz, (sinhz)/z] T ,[M b,a (s)] 11= [1 , σ a ] ∆ ( LΓ(s) ) ,[M b,a (s)] 12= [0 , −1] ∆ ( LΓ(s) ) ,[[M b,a (s)] 21= σ b −σ a , σ a σ b −(LΓ(s)) 2] ∆ ( LΓ(s) ) ,[M b,a (s)] 22= [1 , −σ b ]∆ ( LΓ(s) ) ,où Γ(s) est une racine carrée de ( s 2 ( )3c)+ 2εs 2c+ Υ,σ l = R′ (l)R(l)/Ldefinit une pente normalisée avec L=b−a.2.2 Jonctions de tronçons à régularité C 1Concaténation de tronçons et contraintes derégularité Nous considérons la jonction à régularitéC 1 de N tronçons de longueurs L n (paramètres laisséslibres). Le profil complet décrit par les 4N paramètres{A n ,B n ,Υ n ,L n } n∈[1,N] est donné parR(l) =N∑R n (l)1 [ln−1,l n[(l), ∀l ∈ [l 0 ,l N ] (10)n=1∑avec R n (l) = A n C Υn (l) + B n S Υn (l) et {l n =nk=1 L n} 0≤n≤N où l 1 ,...l N−1 sont les abcisses despoints de raccordement entre tronçons.LaconditionderégularitéC 1 auxjonctionss’exprimepar les 2(N −1) contraintes d’égalité suivantes :{Rn (l∀n ∈ [1,N −1], n ) = R n+1 (l n ),R n(l ′ n ) = R n+1(l ′ (11)n ).On remarque que R est linéaire en les paramètres A n etB n . L’ensemble de ces équations forme donc un systèmelinéaire (de dimension 2(N−1)) en les (2N) paramètres{A n , B n } 1≤n≤N . En faisant le choix de représenter lesdeux degrés de liberté par {A 1 , B 1 }, la résolution analytiquedu système conduit à des solutions de la forme[A n ,B n ] T = Q n [A 1 ,B 1 ] T pour 2 ≤ n ≤ N (cf. [24]).

Le nombre de degrés de liberté d’un tel profil à Ntronçons vaut donc 4N−2(N− 1) = 2N+2. Avec leschoix faits ci-dessus, les paramètres libres sont A 1 , B 1et {Υ n ,L n } 1≤n≤N .Matrice de tansfert globale Dupointdevueacoustique,le raccord de deux tronçons est réalisé en écrivantla continuité de l’état acoustique X l à la jonction. Cettecontinuité fait sens au moins dès que 2 le raccord està régularité C 1 . En itérant ce procédé pour raccordersuccessivement les tronçons, on trouve que X lN (s) =T lN,l 0(s)X l0 (s) avecT lN,l 0= T lN,l N−1T lN−1,l N−2... T l1,l 0. (12)On retrouve le formalisme standard en produits de matricesde transfert comme dans le cas du raccordementde tubes droits sous l’hypothèse d’ondes planes (cf. e.g.[13, p.293]).3 Estimation de la géométrieOn s’intéresse ici à un profil de régularité C 1 , de longueurL, pour lequel Υ n’est pas constant a priori.3.1 Cible et objectifEn pratique, une perce est généralement décrite parun relevé de M +1 points, de la forme ( z m ,r(z m ) )ou ( l m ,R(l m ) ) . Souvent, le maillage spatial n’est pasrégulier : le fabricant ou le luthier ajustent la finesse dupas du relevé pour que son interpolation affine par morceauxfournisse une description suffisamment fidèle pourreproduire la perce. Pour ce choix d’interpolation, lesconversions exactes z↔l sont immédiates et préserventletyped’interpolation. Mais, larégularité C 1 estperdue.On considère ici qu’on dispose d’une telle interpolationl ↦→ R(l), affine par morceaux, continue,construite à partir d’un relevé de points d’un profil cibleà régularité initialement C 1 . L’objectif est de représenterle profil original par le modèle (10-11) avec un nombreN de tronçons significativement inférieur à M, visant à1. regénérer une version C 1 du profil,2. disposer d’une description du profil fiable et à peude paramètres,3. profiterduformalisme(12)aveclaprécisionoffertepar le modèle de Webster-Lokshin,4. disposer d’une description analytique à peu de paramètresde l’acoustique du résonateur.3.2 Distance et paramètres libresA la différence des splines dont les paramètres sontcontrôlés par les points de jonctions (de “tronçons polynomiaux”),on souhaite rendre, globalement sur l ∈[0,L], la cible interpolée R et le modèle R aussi prochesque possible. On choisit de mesurer cette proximité sur[0,L] par la déviation quadratique moyenne standardd L (R,R) = 1 L∫ L0(R(l)−R(l)) 2dl.2. Voir [22, p.66] pour une discussion de la compatibililité decette hypothèse avec celle de quasi-sphéricité des isobares.Puisque R est affine par morceaux et R de la forme (9)par morceaux, cette integrale s’exprime analytiquementen fonction de ( l m ,R(l m ) ) et des paramètres du0≤m≤Mmodèle R à N tronçons (10-11). Cette expression estutilisée pour éviter le calcul numérique de l’intégrale etaccélérer significativement l’algorithme d’optimisation.Parmi les 2N+2 paramètres libres du modèle R, unepartiepeutêtrereservéepourminimiserd L (R,R)etuneautre pour résoudre de nouvelles contraintes telles queN∑1 préservation de la longueur totale : L n = L.n=1k (0 ≤ k ≤ 4) conditions aux extrémités de la formeF(l c )=F(l c ) avec F=R ou R ′ et l c =0 ou L.Le nombre de degrés de liberté de R devient 2N+1−k.Une manière simple de contraindre la longueur totaleest de remplacer L N par L − ∑ N−1n=1 L n dans R.Une manière simple d’imposer deux conditions auxextrémités(k=2)estderésoudreleproblèmelinéaireassocié,en les paramètres {A 1 ,B 1 }. Dans ce cas, les 2N−1paramètres libres restants sont donnés par le vecteurθ = [Υ 1 ,...Υ N ,L 1 ,...L N−1 ] T ,dont dépend le profil modèle qu’on note alors R θ et lecritère associé à minimiser est donné parC L (θ) = d L (R,R θ ).Dans la suite, nous considérons ce cas avec lescontraintes d’égalité R(0) = R(0) et R ′ (0) = R ′ (0).3.3 AlgorithmeLa minimisation de C L est un problème non linéaireet non convexe. Pour obtenir une solution satisfaisanteà partir d’algorithmes d’optimisation numérique standard3 , nous adoptons la solution pragmatique suivante.Initialisation :– Initialiser θ par Υ 1 = ··· = Υ N = 0 etL 1 = ··· =L N =L/N de sorte que l n =nL/N (ouvaleurs données par l’utilisateur, cf. perspectives),– Minimiser C l1 (θ)enΥ 1 ;mettreàjourθ ( [θ] 1 ←Υ ⋆ 1).Itérations pour n allant de 2 à N : Minimisationde C ln (θ) selon1. la variable Υ n (mise à jour de θ),2. puis, les variables Υ 1 ,...Υ n (idem),3. puis, les variables Υ 1 ,...Υ n ,L 1 ,...L n−1 avecL n = l n − ∑ n−1k=1 L k (idem).En pratique, ces étapes conduisent à une solutionproche de l’optimum global. Si l’on souhaite avoir descontraintes à droite (F(L) = F(L)), on ajoute unedernière étape. Le modèle n’étant linéaire en aucundes paramètres [θ] k , la résolution du lagrangien associéserait délicate. On pénalise le critère en ajoutant destermes du type ǫ ( F(L)−F(L) ) 2. On fait croître ǫ > 0jusqu’à ce que l’erreur commise sur la contrainte soitplus faible qu’un seuil fixé.3. Ici, nous avons utilisé les fonctions (sous Matlab) fminbndpour les optimisations selon une variable et fminsearch pour lesoptimisations selon plusieurs variables.

4 Applications et comparaisonsNous considérons les trois profils cibles suivants :R 1 (l)=0.3l 3 −0.45l 2 +0.194l+0.0075, R 2 (l)=0.0025+l 4polynômes à partir desquels les descriptions R 1 et R 2affines par morceaux sont générées (pas de 1mm) et ladescription R 3 d’un trombone à partir d’un relevé deperce 4 . Ces profils tracés en figure 1 satisfont |R ′ k| < 1.R 1 (l) (en m)R 2 (l) (en m)R3(l) ou r(z) (en m)0.10.080.060.040.0200.060.050.040.030.020.0100.10.080.060.040.020l (en m)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2l0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5l ou z (en m)0 0.5 1 1.5 2 2.5Figure 1 – Profils de test R k (-). Pour R 1 et R 2 :exemples d’approximation optimale avec 2 et 4 ou 6tronçons (- -+ et - -o). Perce originale r 3 (z) (- · -),R 3 (l) (-) et approximation avec 11 tronçons (- -o).Profil R 1 Sur la figure 1, on peut observer lesrésultats de l’algorithme (avec les 4 contraintes auxextrémités) pour N = 2 et N = 4 ou N = 6 tronçons(les jonctions sont localisés par les marqueurs + ou o).Pour illustrer les performances de l’algorithme, lafigure 2 présente les erreurs normalisées moyennes(-o)E moy2 = √ d L (R 1 ,R ∣ 1 )/‖R 1 ‖ 2 et maximales(-·-o)E2 max = max l∈[0,L] R 1 (l)−R(l) ∣ ∣/‖R 1 ‖ 2 pour N ∈{3,4,5,6}, avec contrainte sur R(l) et R ′ (l).avec la variante 2 (qui réduit considérablement le tempsde calcul de l’optimisation).Profil R 2 Ce profil évasé a été approché par 128tubes droits (R a 2, L n = L/128), 64 cônes (R b 2, L n =L/64), 2 et 4 tronçons (R c 2 et R d 2) aux paramètres optimisés(figure 1). Après calcul des matrices de transfertglobales et concaténation en l=L avec l’impédancebouchon idéalement nulle, on trouve les impédancesd’entrée données en figure 3. Ces impédances sontà comparer à la référence obtenue par résolutionnumérique 5 de (7-8). On observe que deux tronçons40200−200 1000 2000 3000 4000 5000 600040référence20R2 b (cônes)0−200 1000 2000 3000 4000 5000 600040référence20R2 c (N=2)0−200 1000 2000 3000 4000 5000 600040référence20R2 d (N=4)0−200 1000 2000 3000 4000 5000 6000f (en Hz)référenceR a 2 (cylindres)Figure 3 – Module (en dB) des impédances d’entréecalculées pour les profils R b 2 (-·-), R c 2 (-·-) et R d 2 (-·-),comparées à la référence (-).sont insuffisants pour obtenir des résultats fiablesmais que 4 tronçons (soit 16 paramètres géométriques{A n ,B n ,Υ,L n } 1≤n≤4 ) donnent des résultats déjà satisfaisantstant géométriquement que pour l’impédance.Profil R 3 L’impédance d’entrée d’un trombone avecune embouchure a été mesurée (figure 4). CetteE moyet E max2 2max10 −110 −2Nombre de tronçons N3 3.5 4 4.5 5 5.5 6Figure 2 – Profil R 1 : erreurs E moy2 et E max2 .Pour illustrer l’intérêt des étapes, on représenteles erreurs E moy2 (-) et E2 max (-·-) pour plusieursversions de l’algorithme. Si l’étape 3 est retirée (variante1, courbes +), les erreurs sont très supérieures.Ceci confirme l’intérêt d’optimiser les longueurs L n . Sil’étape 3 n’est réalisée qu’à la dernière itération n=N(variante 2, x), on améliore les résultats de la variante 1mais sans retrouver la qualité originale : l’optimiseurnumérique atteint un minimum local moins bon.Un travail sur l’initialisation pourrait améliorer tousces résultats et permettre de retrouver la même qualité4. Nous remercions R. Caussé de nous avoir fourni ces données.|Z| (en dB)|Z| (en dB)|Z| (en dB)|Z| (en dB)3020100−103020100−103020100−1030201000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100−100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100f (en Hz)Impédance mesuréeImpédance calculée N=11Impédance calculée N=5Impédance mesuréeExtrema de la mesureExtrema pour N=11Extrema pour N=5Figure 4 – Impédance d’entrée mesurée sur untrombone et versions calculées pour N=11, N=5 etcomparaisons (voir [25] pour plus de détails).impédance a été calculée à partir du formalisme (12) enconsidérant la matrice de transfert d’une embouchure5. La fonction utilisée est ode23 sous Matlab.

simplifiée (masse, compliance et résistance acoustique,cf. [26]) et l’impédance de rayonnement d’une sphèredont la partie inscrite dans le cône tangent au profil enl=L est pulsante [27, Modèle (M2)].5 Conclusion et perspectivesLe calcul de matrices de transfert par concaténationdetronçonsdetubesàR ′′ /Rconstantaétérappelépourle modèle de propagation dit de “Webster-Lokshin” àabscisse curviligne. Un algorithme qui détermine les paramètresgéométriques des tronçons optimisés pour approcherune cible à régularité C 1 a été proposé. Grâceà cet algorithme, le modèle géométrique génère desreprésentations satisfaisantes de cibles avec peu de paramètres.De plus, lorsque la cible est bien approchée,lesimpédancesacoustiquescalculéessontfiablesdesorteque l’outil complet pourrait s’intégrer à terme dans uneplateforme d’aide à la lutherie (en particlulier pour lespavillons). Enfin, ces représentations permettent ausside construire des simulations temps réel (de type guided’ondes) pour la synthèse sonore [25].Parmi les perspectives, des discontinuités de profils,la présence de trous, clapets (etc), entre chaque zoneC 1 optimisée pourrait être intégrées en définissant desraccords à volume nul et en introduisant des massesajoutées suivant le principe donné par exemple dans [13,p.302-332]. Par ailleurs, un travail sur les paramètresd’initialisation de l’algorithme proposé en 3.3 pourraitpermettre d’accélérer l’optimisation sans dégraderles résultats, en n’exécutant l’étape 3 qu’à la dernièreitération. Enfin, la représentation à peu de paramètresd’une perce devrait permettre d’envisager une optimisationsur des impédances (ou immitance) cibles oud’autres critères acoustiques, et plus seulement sur uncritère géométrique.RemerciementsLesauteursremercientJ.KergomardetD.Matignonpour les renseignements bibliographiques et P.-D. Dekoninckpour les travaux initiaux sur l’estimation de profilsgéométriques. Ce travail fait partie du projet ANRConsonnes.Références[1] J. L. Lagrange. Nouvelles recherches sur la nature et lapropagation du son. Misc. Taurinensia (Mélanges Phil.Math., Soc. Roy. Turin), 1760-1761.[2] D. Bernoulli. Sur le son et sur les tons des tuyauxd’orgues différemment construits. Mém. Acad. Sci. (Paris),1764.[3] A. G. Webster. Acoustical impedance, and the theoryof horns and of the phonograph. Proc. Nat. Acad. Sci.U.S., 5 :275–282, 1919. Errata, ibid. 6, p.320 (1920).[4] E.Eisner. CompletesolutionsoftheWebsterhornequation.J. Acoust. Soc. Amer., 41(4) :1126–1146, 1967.[5] R. F. Lambert. Acoustical studies of the tractrix horn.I. J. Acoust. Soc. Amer., 26(6) :1024–1028, 1954.[6] E. S. Weibel. On Webster’s horn equation. J. Acoust.Soc. Amer., 27(4) :726–727, 1955.[7] A. H. Benade and E. V. Jansson. On plane and sphericalwaves in horns with nonuniform flare. I. Theory ofradiation, resonance frequencies, and mode conversion.Acustica, 31 :79–98, 1974.[8] G. R. Putland. Every one-parameter acoustic fieldobeys Webster’s horn equation. J. Audio Eng. Soc.,6 :435–451, 1993.[9] J. Agulló, A. Barjau, and D. H. Keefe. Acoustic propagationinflaring,axisymmetrichorns:I.Anewfamilyofunidimensional solutions. Acustica, 85 :278–284, 1999.[10] Thomas Hélie. Mono-dimensional models of the acousticpropagation in axisymmetric waveguides. J. Acoust.Soc. Amer., 114 :2633–2647, 2003.[11] G. Kirchhoff. Ueber die einfluss der wärmeleitung ineinem gase auf die schallbewegung. Annalen der PhysikLeipzig, 134, 1868. (English version : R. B. Lindsay,ed., PhysicalAcoustics, Dowden, Hutchinson and Ross,Stroudsburg, 1974).[12] M. Bruneau, P. Herzog, J. Kergomard, and J.-D. Polack.General formulation of the dispersion equationbounded visco-thermal fluid, and application to somesimple geometries. Wave motion, 11 :441–451, 1989.[13] A. Chaigne and J. Kergomard. Acoustique des instrumentsde musique. Belin, 2008.[14] J. Kergomard. Champ interne et champ externe desinstruments à vent. PhD thesis, Université Pierre etMarie Curie, 1981.[15] J. Kergmard. Comments on wall effects on sound propagationin tubes. J. Sound Vibr., 98(1) :149–153, 1985.[16] L. Cremer. On the acoustic boundary layer outside arigid wall. Arch. Elektr. Uebertr. 2, 235, 1948.[17] A. A. Lokshin. Wave equation with singular retardedtime. Dokl. Akad. Nauk SSSR,240:43–46,1978. (russe).[18] A. A. Lokshin and V. E. Rok. Fundamental solutionsof the wave equation with retarded time. Dokl. Akad.Nauk SSSR, 239 :1305–1308, 1978. (russe).[19] J.-D. Polack. Time domain solution of Kirchhoff’s equationfor sound propagation in viscothermal gases : a diffusionprocess. J. Acoustique, 4 :47–67, 1991.[20] D. Matignon. Représentations en variables d’état demodèles de guides d’ondes avec dérivation fractionnaire.PhD thesis, Université de Paris XI Orsay, 1994.[21] D.Matignon andB.d’AndréaNovel. Spectraland timedomainconsequences of an integro-differential perturbationof the wave PDE. In Int. Conf. on mathematicaland numerical aspects of wave propagation phenomena,volume 3, pages 769–771. INRIA-SIAM, 1995.[22] Thomas Hélie. Modélisation physique d’instruments demusique en systèmes dynamiques et inversion. Thèse dedoctorat, Université de Paris XI - Orsay, Paris, 2002.[23] S. Rienstra. Webster’s horn equation revsisted. SIAMJ. Apll. Math., 65(6) :1981–2004, 2005.[24] Thomas Hézard. Construction de famille d’instrumentsà vent virtuels. Projet de fin d’études d’ingénieur, EcoleNationale Supérieure de l’Electronique et de ses Applications,Cergy-Pontoise, 2009.[25] RémiMignot. Réalisation en guides d’ondes numériquesstables d’un modèle acoustique réaliste pour la simulationen temps-réel d’instruments à vent. Thèse de doctorat,Edite de Paris - Telecom ParisTech, Paris, 2009.[26] N H. Fletcher and T. D. Rossing. The Physics of MusicalInstruments. Springer-Verlag,NewYork,USA,1998.[27] Thomas Hélie and Xavier Rodet. Radiation of a pulsatingportion of a sphere : application to horn radiation.Acta Acustica, 89 :565–577, 2003.