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4 Adimensionnement, convention axiale et convention “tronçon”4.1 NotationsA l’exception de quelques variables qui possèdent un nom différent en version dimensionnéeet en version adimensionnée, les notation suivantes sont respectées dans le reste du document :– les variables et les paramètres dimensionnés sont notées avec un˜,– les variables et les paramètres adimensionnés sont notées sans˜,– les variables dépendant de la variable spatiale sont notées, en convention axiale, A(l) ouA(x),– les variables dépendant de la variable spatiale sont notées, en convention tronçon, A l ouA r (l pour left, r pout right).4.2 AdimensionnementL’adimensionnement des variables nous permet de faire disparaître toutes les constantes physiques(c 0 ,ρ 0 etc.) des équations du modèle et ainsi de garder uniquement les quantités essentiellesà la compréhension physique des phénomènes mis en jeu. L’adimensionnement touche tous lestypes de variables du problèmes : variables géométriques, variables de Kirchhoff, fonctions d’ondesetc. Comme nous le verrons tout au long de cette section, la valeur clé pour l’adimensionnementest la longueur L du tube considéré. Ainsi, l’adimensionnement est propre à un tronçon et lorsde la connexion de tronçons les uns aux autres, il faudra prendre soin de redimensionner lesvariables.4.2.1 Variables spatiales et fonctions géométriquesSoit un tronçon de tube de longueur L décrit par sa perce R(l), l ∈ [a, b] (on a L = b−a).La variable spatiale indépendante adimensionnée est notée x et l’adimensionnement se résume àla transformation[l ∈ [a,b] ↦−→ x ∈ − 1 2 , 1 ]. (27)2Les formules de passage entre la variable x et la variable l s’écrivent alorsa+bl−2x = X(l) = ,L(28)l = L(x) = Lx+ a+b .2(29)Dans le cas a = − L 2 ,b = L 2, les formules de passage deviennent simplementLe rayon ˜R(l) est adimensionné de la façon suivantex = X(l) = l L , (30)l = L(x) = Lx. (31)R(x) = 1 L ˜R ( L(x) ) ,˜R(l) = LR ( X(l) ) .(32)et on aΥ = L 2 ˜Υ,˜Υ = 1 L 2 Υ. (33)16
4.2.2 Variables temporelles et fonctions acoustiquesL’adimensionnement dans le domaine temporel (et dans le domaine de Laplace) est effectuépar rapport au temps de propagation d’une onde sonore dans un tube de longueur L :t = c 0L˜t, s = L c 0˜s,˜t = L c 0t, ˜s = c 0L s. (34)On en déduit l’adimensionnement du paramètre ˜ε et de la fonction ˜Γ(˜s)ε = √ L˜ε, ˜ε = 1 √Lε, (35)( c0) √Γ(s) = L˜ΓL s = s 2 +Υ+2εs 3 2 ,√˜Γ(˜s) = 1 ( ) ( ) L ˜s 2 ( )3(36)L Γ = +c 0˜sc ˜Υ+2ε ˜s 2.0 c 0Les variables de Kirchhoff sont adimensionnées respectivement par rapport à la pression deréférence ρ 0 c 2 20 et au débit de référence c 0˜S(l) (où ˜S(l) = π˜R(l) )P(x,t) = 1 (ρ 0 c ˜P L(x), L )(1t U(x,t) =2 0 c 0 c 0 S ( L(x) ) Ũ L(x), L )tc(0˜P(l,t) = ρc 2 0 P X(l), c )0L t Ũ(l,t) = c 0 L 2˜S( ) (X(l) U X(l), c ) (37)0L tL’adimensionnement des différentes variables d’ondes définies dans [6] est explicité en annexe.4.2.3 Modèle de Webster-LokshinEn variables adimensionnées et dans le domaine de Laplace, le modèle de Webster-Lokshins’écrit { [ ]( )s 2 +Υ+2εs 3 2 −∂x2 R(x)P(x,s) = 0sU(x,s)+∂ x P(x,s) = 0Nous avons bien réussi à faire disparaître toutes les constantes physiques du problème. Nousallons donc pouvoir nous concentrer sur la compréhension physique des phénomènes et la recherched’ondes découplées informées par la géométrie. Cependant, nous devons d’abord aborderce que nous avons appelé la “convention tronçon”.4.3 Convention axiale et convention “tronçon”La convention axiale est en fait celle qui est implicitement utilisée dans la partie I. Considérerun tronçon de tube en convention axiale consiste à définir une extrémité comme étant l’entréeet l’autre comme étant la sortie et à considérer les différentes variables et fonctions le long dutube. On écrit par exemple P(x,t) ou σ(x) pour x ∈ [−1/2,1/2]. L’inconvénient de ce paradigmeest que les expressions des variables et des matrices de transfert acoustiques se voient modifiéeslorsque l’on retourne le tube (l’entrée devient la sortie et vice-versa, transformation que l’on peutsymboliser par la symétrie x ↦→ −x) alors que le tube est le même. Pour s’en convaincre, il suffitde prendre l’exemple du débit acoustique : si l’on retourne le tube et que l’on garde la mêmeconvention alors U(x) devient à −U(−x) et non U(−x).17
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Page 56 and 57: 3 Convention “tronçon”3.1 Pré
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6.3.1 Connexion (au moins C 0 ) de
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10ème Congrès Français d’Acous
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où Υ = R ′′ /R. Si R est deux
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4 Applications et comparaisonsNous
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