Rapport de stage - Master 2 SAR ATIAM - Base des articles ...

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Ces valeurs propres et la matrice de passage qui leur est associée définissent un nouveau typed’ondes progressives découplées qui se propagent à l’intérieur d’un tube acoustique à Υ constantavec prise en compte des pertes visco-thermique.La diagonalisation de la matrice de transfert acoustique s’écrit donc :⎡]⎢= ⎣U r[Pr1R r00 − 1R r s⎤⎥⎦P6.2.3 Paramétrisation des espaces propres[ ] [ λ 00 λ −1 P −1 Rl 00 R l s][PlU l](68)Pour trouver les vecteurs propres associés à chaque valeur propre, on résout[ ] [ ]ul/r ul/rQ = λv l/rl/r v l/r(69)Comme la diagonalisation fait apparaître deux valeurs propres de multiplicité 1, la matrice depassage possède deux degrés de liberté que l’on note α et β. En définissant√b′K = (φ ) b ′2 −12 Γ2b ′ 2et (70)a = sinh(θ)φ 2 (Υ) , (71)on obtient la matrice de passageP =[α βα(a−K) β(a+K)](72)et son inverse⎡P −1 = 1 ⎣2αβK(K +a)β −β(K −a)α α⎤⎦ . (73)Nous avons donc trouvé un paramétrage de la matrice de passage liée aux valeurs propresdéfinies ci-dessus.Maintenant que nous connaissons l’expression des matrices de passage, l’équation de transfert(68) peut être mise sous la forme d’une succession de quadripôles. Cette décomposition estprésentée en figure 9 (à gauche) en convention admittance (pression en entrée, débit en sortie).Nous souhaitons obtenir une struture symétrique. Remarquons tout d’abord que lorsque l’onchange l’orientation, a devient −a, on note donc a l = a et a r = −a. Comme le changementd’orientation doit se traduire uniquement par l’inversion des indices . l et . r , il apparaît unecondition sur les degrés de libertés de notre décomposition : α et β. En effet, on observe que lasymétrie est retrouvée dans le cas où le changement d’orientation change α en β et inversement.En notant α l = α et α r = β, on retrouve bien un structure entièrement symétrique (9 à droite).Un travail reste à faire sur le choix des quantités α l et α r . Nous pouvons citer comme possibilitésde choix respectant la symétrie :– α l = α r– α l = R l et α r = R r– α l = R r et α r = R l24
PlUlRl1/RlsPlUlPlUl1/αa−K −β/α2βKRlαa−Ks − β α2βKRlsRlαlal−K− αrsαl2αrKRlsλλλλλλ−2αK−α/β a+K1/β2αKRrs− α β−a−KsRrβ2αlKRrs− α lαrar−KsRrαrUrPrUrPr1/Rr−RrsUrPrFigure 9 – Décomposition en quadripôles de transfert. Rappelons que le but de l’étude est,entre autres, de retrouver des fonctions stables dans la boucle interne. Les trois représentationssont équivalentes avec a l = a, a r = a, α l = α et β r = β.25
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