Rapport de stage - Master 2 SAR ATIAM - Base des articles ...

4 Adimensionnement, convention axiale et convention “tronçon”4.1 NotationsA l’exception de quelques variables qui possèdent un nom différent en version dimensionnéeet en version adimensionnée, les notation suivantes sont respectées dans le reste du document :– les variables et les paramètres dimensionnés sont notées avec un˜,– les variables et les paramètres adimensionnés sont notées sans˜,– les variables dépendant de la variable spatiale sont notées, en convention axiale, A(l) ouA(x),– les variables dépendant de la variable spatiale sont notées, en convention tronçon, A l ouA r (l pour left, r pout right).4.2 AdimensionnementL’adimensionnement des variables nous permet de faire disparaître toutes les constantes physiques(c 0 ,ρ 0 etc.) des équations du modèle et ainsi de garder uniquement les quantités essentiellesà la compréhension physique des phénomènes mis en jeu. L’adimensionnement touche tous lestypes de variables du problèmes : variables géométriques, variables de Kirchhoff, fonctions d’ondesetc. Comme nous le verrons tout au long de cette section, la valeur clé pour l’adimensionnementest la longueur L du tube considéré. Ainsi, l’adimensionnement est propre à un tronçon et lorsde la connexion de tronçons les uns aux autres, il faudra prendre soin de redimensionner lesvariables.4.2.1 Variables spatiales et fonctions géométriquesSoit un tronçon de tube de longueur L décrit par sa perce R(l), l ∈ [a, b] (on a L = b−a).La variable spatiale indépendante adimensionnée est notée x et l’adimensionnement se résume àla transformation[l ∈ [a,b] ↦−→ x ∈ − 1 2 , 1 ]. (27)2Les formules de passage entre la variable x et la variable l s’écrivent alorsa+bl−2x = X(l) = ,L(28)l = L(x) = Lx+ a+b .2(29)Dans le cas a = − L 2 ,b = L 2, les formules de passage deviennent simplementLe rayon ˜R(l) est adimensionné de la façon suivantex = X(l) = l L , (30)l = L(x) = Lx. (31)R(x) = 1 L ˜R ( L(x) ) ,˜R(l) = LR ( X(l) ) .(32)et on aΥ = L 2 ˜Υ,˜Υ = 1 L 2 Υ. (33)16