4 Applications et comparaisonsNous considérons les trois profils cibles suivants :R 1 (l)=0.3l 3 −0.45l 2 +0.194l+0.0075, R 2 (l)=0.0025+l 4polynômes à partir <strong>de</strong>squels les <strong>de</strong>scriptions R 1 et R 2affines par morceaux sont générées (pas <strong>de</strong> 1mm) et la<strong>de</strong>scription R 3 d’un trombone à partir d’un relevé <strong>de</strong>perce 4 . Ces profils tracés en figure 1 satisfont |R ′ k| < 1.R 1 (l) (en m)R 2 (l) (en m)R3(l) ou r(z) (en m)0.10.080.060.040.0200.060.050.040.030.020.0100.10.080.060.040.020l (en m)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2l0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5l ou z (en m)0 0.5 1 1.5 2 2.5Figure 1 – Profils <strong>de</strong> test R k (-). Pour R 1 et R 2 :exemples d’approximation optimale avec 2 et 4 ou 6tronçons (- -+ et - -o). Perce originale r 3 (z) (- · -),R 3 (l) (-) et approximation avec 11 tronçons (- -o).Profil R 1 Sur la figure 1, on peut observer lesrésultats <strong>de</strong> l’algorithme (avec les 4 contraintes auxextrémités) pour N = 2 et N = 4 ou N = 6 tronçons(les jonctions sont localisés par les marqueurs + ou o).Pour illustrer les performances <strong>de</strong> l’algorithme, lafigure 2 présente les erreurs normalisées moyennes(-o)E moy2 = √ d L (R 1 ,R ∣ 1 )/‖R 1 ‖ 2 et maximales(-·-o)E2 max = max l∈[0,L] R 1 (l)−R(l) ∣ ∣/‖R 1 ‖ 2 pour N ∈{3,4,5,6}, avec contrainte sur R(l) et R ′ (l).avec la variante 2 (qui réduit considérablement le temps<strong>de</strong> calcul <strong>de</strong> l’optimisation).Profil R 2 Ce profil évasé a été approché par 128tubes droits (R a 2, L n = L/128), 64 cônes (R b 2, L n =L/64), 2 et 4 tronçons (R c 2 et R d 2) aux paramètres optimisés(figure 1). Après calcul <strong>de</strong>s matrices <strong>de</strong> transfertglobales et concaténation en l=L avec l’impédancebouchon idéalement nulle, on trouve les impédancesd’entrée données en figure 3. Ces impédances sontà comparer à la référence obtenue par résolutionnumérique 5 <strong>de</strong> (7-8). On observe que <strong>de</strong>ux tronçons40200−200 1000 2000 3000 4000 5000 600040référence20R2 b (cônes)0−200 1000 2000 3000 4000 5000 600040référence20R2 c (N=2)0−200 1000 2000 3000 4000 5000 600040référence20R2 d (N=4)0−200 1000 2000 3000 4000 5000 6000f (en Hz)référenceR a 2 (cylindres)Figure 3 – Module (en dB) <strong>de</strong>s impédances d’entréecalculées pour les profils R b 2 (-·-), R c 2 (-·-) et R d 2 (-·-),comparées à la référence (-).sont insuffisants pour obtenir <strong>de</strong>s résultats fiablesmais que 4 tronçons (soit 16 paramètres géométriques{A n ,B n ,Υ,L n } 1≤n≤4 ) donnent <strong>de</strong>s résultats déjà satisfaisantstant géométriquement que pour l’impédance.Profil R 3 L’impédance d’entrée d’un trombone avecune embouchure a été mesurée (figure 4). CetteE moyet E max2 2max10 −110 −2Nombre <strong>de</strong> tronçons N3 3.5 4 4.5 5 5.5 6Figure 2 – Profil R 1 : erreurs E moy2 et E max2 .Pour illustrer l’intérêt <strong>de</strong>s étapes, on représenteles erreurs E moy2 (-) et E2 max (-·-) pour plusieursversions <strong>de</strong> l’algorithme. Si l’étape 3 est retirée (variante1, courbes +), les erreurs sont très supérieures.Ceci confirme l’intérêt d’optimiser les longueurs L n . Sil’étape 3 n’est réalisée qu’à la <strong>de</strong>rnière itération n=N(variante 2, x), on améliore les résultats <strong>de</strong> la variante 1mais sans retrouver la qualité originale : l’optimiseurnumérique atteint un minimum local moins bon.Un travail sur l’initialisation pourrait améliorer tousces résultats et permettre <strong>de</strong> retrouver la même qualité4. Nous remercions R. Caussé <strong>de</strong> nous avoir fourni ces données.|Z| (en dB)|Z| (en dB)|Z| (en dB)|Z| (en dB)3020100−103020100−103020100−1030201000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100−100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100f (en Hz)Impédance mesuréeImpédance calculée N=11Impédance calculée N=5Impédance mesuréeExtrema <strong>de</strong> la mesureExtrema pour N=11Extrema pour N=5Figure 4 – Impédance d’entrée mesurée sur untrombone et versions calculées pour N=11, N=5 etcomparaisons (voir [25] pour plus <strong>de</strong> détails).impédance a été calculée à partir du formalisme (12) enconsidérant la matrice <strong>de</strong> transfert d’une embouchure5. La fonction utilisée est o<strong>de</strong>23 sous Matlab.
simplifiée (masse, compliance et résistance acoustique,cf. [26]) et l’impédance <strong>de</strong> rayonnement d’une sphèredont la partie inscrite dans le cône tangent au profil enl=L est pulsante [27, Modèle (M2)].5 Conclusion et perspectivesLe calcul <strong>de</strong> matrices <strong>de</strong> transfert par concaténation<strong>de</strong>tronçons<strong>de</strong>tubesàR ′′ /Rconstantaétérappelépourle modèle <strong>de</strong> propagation dit <strong>de</strong> “Webster-Lokshin” àabscisse curviligne. Un algorithme qui détermine les paramètresgéométriques <strong>de</strong>s tronçons optimisés pour approcherune cible à régularité C 1 a été proposé. Grâceà cet algorithme, le modèle géométrique génère <strong>de</strong>sreprésentations satisfaisantes <strong>de</strong> cibles avec peu <strong>de</strong> paramètres.De plus, lorsque la cible est bien approchée,lesimpédancesacoustiquescalculéessontfiables<strong>de</strong>sorteque l’outil complet pourrait s’intégrer à terme dans uneplateforme d’ai<strong>de</strong> à la lutherie (en particlulier pour lespavillons). Enfin, ces représentations permettent aussi<strong>de</strong> construire <strong>de</strong>s simulations temps réel (<strong>de</strong> type gui<strong>de</strong>d’on<strong>de</strong>s) pour la synthèse sonore [25].Parmi les perspectives, <strong>de</strong>s discontinuités <strong>de</strong> profils,la présence <strong>de</strong> trous, clapets (etc), entre chaque zoneC 1 optimisée pourrait être intégrées en définissant <strong>de</strong>sraccords à volume nul et en introduisant <strong>de</strong>s massesajoutées suivant le principe donné par exemple dans [13,p.302-332]. Par ailleurs, un travail sur les paramètresd’initialisation <strong>de</strong> l’algorithme proposé en 3.3 pourraitpermettre d’accélérer l’optimisation sans dégra<strong>de</strong>rles résultats, en n’exécutant l’étape 3 qu’à la <strong>de</strong>rnièreitération. Enfin, la représentation à peu <strong>de</strong> paramètresd’une perce <strong>de</strong>vrait permettre d’envisager une optimisationsur <strong>de</strong>s impédances (ou immitance) cibles oud’autres critères acoustiques, et plus seulement sur uncritère géométrique.RemerciementsLesauteursremercientJ.Kergomar<strong>de</strong>tD.Matignonpour les renseignements bibliographiques et P.-D. Dekoninckpour les travaux initiaux sur l’estimation <strong>de</strong> profilsgéométriques. Ce travail fait partie du projet ANRConsonnes.Références[1] J. L. Lagrange. Nouvelles recherches sur la nature et lapropagation du son. Misc. Taurinensia (Mélanges Phil.Math., Soc. Roy. Turin), 1760-1761.[2] D. Bernoulli. Sur le son et sur les tons <strong>de</strong>s tuyauxd’orgues différemment construits. Mém. Acad. Sci. (Paris),1764.[3] A. G. Webster. Acoustical impedance, and the theoryof horns and of the phonograph. Proc. Nat. Acad. Sci.U.S., 5 :275–282, 1919. 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Rapport de stage - Master 2 SAR ATI
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Table des matièresIntroduction 4Co
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IntroductionContexte et état de l
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1 Cas des tubes droits sans pertes1
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1.2 Transposition de la méthode po
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oùDans le domaine de Laplace, le m
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Υ = −40.30.2R(l) et −R(l)0.10
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4 Adimensionnement, convention axia
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La convention appelée “conventio
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1.5Υ < 010.50−0.5 −0.4 −0.3
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