Rapport de stage - Master 2 SAR ATIAM - Base des articles ...

oùDans le domaine de Laplace, le modèle de Webster-Lokshin complet s’écrit(∂ 2 l − Γ(s)2) [R(l)P(l,s)] = 0 (20)ρ 0 s U(l,s)S(l)+ ∂ l P(l,s) = 0 (21)Γ(s) 2 = 1c2 s2 + 2ε(l)3s 3 2 +Υ(l) (22)0 c 0 2avec Υ(l) = R′′ (l)R(l) , S(l) = πR(l)2 et U(l,t) = S(l)V(l,t) définit un débit acoustique.Remarque : la fonction Γ est définie comme une racine complexe. L’analyse complexe et notammentles racines complexes posent plusieurs problèmes théoriques que nous n’aborderont pasici. Nous considérerons dans ce document que les fonctions définies avec des racines complexesne posent aucun problème de définition sur C + 0 (le demi-plan droit de Laplace).L’énergie acoustique s’écrite ac (l,t) = πR(l,t) 2 ( ρ2 V(l,t)2 + 12ρc 2P(l,t)2 ). (23)et on montre que le modèle sans pertes (ε = 0) est conservatif. Pour la cas avec pertes, il fautmener l’étude en utilisant les énergies acoustiques étendues [20, 21].3 Ondes découplées dans les tubes courbes avec le modèle deWebster-Lokshin à abscisse curviligne et apparition des instabilitésLe modèle (20-21) peut être résolu analytiquement dans le cas où les paramètres Υ(l) et ε(l)sont constants. On définit alors un “tronçon”, portion de tube pour lequel Υ(l) est constant. Dansun tronçon, ε(l) est approximé par par sa valeur moyenne ε(l) ≈ ε = 1 ∫ LL 0ε(l)dl et le modèlede Webster-Lokshin peut être résolu.Considérons un tronçon à Υ constant de longueur L (on suppose que le tronçon est définientre les abscisses −L/2 et L/2), on note R l et R r les rayons du tronçon à gauche et à droite.Une résolution du modèle (20-21) pour la propagation entre les abscisses −L/2 et L/2 est donnéepar la matrice de transfert acoustique Q(s) (détaillée en partie 6.1)⎡[ (PL2 ,s)]U ( ⎢L2 ,s) = ⎣L0R r0πR rρ 0 s⎤⎡⎥ ⎢⎦Q(s) ⎣R lL0⎤[ (0 ⎥ P −L2ρ 0 s ⎦,s)]U ( − L 2πR ,s) . (24)lUne représentation guides d’ondes sous la forme d’une succession de quadripôles de transfert estdonnée dans [6]. Cette dernière représentation est tout à fait adaptée à la simulation temps-réel(le travail d’implémentation a d’ailleurs déjà été en partie mis en oeuvre [22]). Cependant, ellepose des problèmes de stabilité dans le cas où le paramètre Υ devient négatif. Nous allons tenterici d’expliquer pourquoi en nous basant sur un interprétation physique de la décomposition enquadripôles présentée dans [6].12