Rapport de stage - Master 2 SAR ATIAM - Base des articles ...

Le nombre de degrés de liberté d’un tel profil à Ntronçons vaut donc 4N−2(N− 1) = 2N+2. Avec leschoix faits ci-dessus, les paramètres libres sont A 1 , B 1et {Υ n ,L n } 1≤n≤N .Matrice de tansfert globale Dupointdevueacoustique,le raccord de deux tronçons est réalisé en écrivantla continuité de l’état acoustique X l à la jonction. Cettecontinuité fait sens au moins dès que 2 le raccord està régularité C 1 . En itérant ce procédé pour raccordersuccessivement les tronçons, on trouve que X lN (s) =T lN,l 0(s)X l0 (s) avecT lN,l 0= T lN,l N−1T lN−1,l N−2... T l1,l 0. (12)On retrouve le formalisme standard en produits de matricesde transfert comme dans le cas du raccordementde tubes droits sous l’hypothèse d’ondes planes (cf. e.g.[13, p.293]).3 Estimation de la géométrieOn s’intéresse ici à un profil de régularité C 1 , de longueurL, pour lequel Υ n’est pas constant a priori.3.1 Cible et objectifEn pratique, une perce est généralement décrite parun relevé de M +1 points, de la forme ( z m ,r(z m ) )ou ( l m ,R(l m ) ) . Souvent, le maillage spatial n’est pasrégulier : le fabricant ou le luthier ajustent la finesse dupas du relevé pour que son interpolation affine par morceauxfournisse une description suffisamment fidèle pourreproduire la perce. Pour ce choix d’interpolation, lesconversions exactes z↔l sont immédiates et préserventletyped’interpolation. Mais, larégularité C 1 estperdue.On considère ici qu’on dispose d’une telle interpolationl ↦→ R(l), affine par morceaux, continue,construite à partir d’un relevé de points d’un profil cibleà régularité initialement C 1 . L’objectif est de représenterle profil original par le modèle (10-11) avec un nombreN de tronçons significativement inférieur à M, visant à1. regénérer une version C 1 du profil,2. disposer d’une description du profil fiable et à peude paramètres,3. profiterduformalisme(12)aveclaprécisionoffertepar le modèle de Webster-Lokshin,4. disposer d’une description analytique à peu de paramètresde l’acoustique du résonateur.3.2 Distance et paramètres libresA la différence des splines dont les paramètres sontcontrôlés par les points de jonctions (de “tronçons polynomiaux”),on souhaite rendre, globalement sur l ∈[0,L], la cible interpolée R et le modèle R aussi prochesque possible. On choisit de mesurer cette proximité sur[0,L] par la déviation quadratique moyenne standardd L (R,R) = 1 L∫ L0(R(l)−R(l)) 2dl.2. Voir [22, p.66] pour une discussion de la compatibililité decette hypothèse avec celle de quasi-sphéricité des isobares.Puisque R est affine par morceaux et R de la forme (9)par morceaux, cette integrale s’exprime analytiquementen fonction de ( l m ,R(l m ) ) et des paramètres du0≤m≤Mmodèle R à N tronçons (10-11). Cette expression estutilisée pour éviter le calcul numérique de l’intégrale etaccélérer significativement l’algorithme d’optimisation.Parmi les 2N+2 paramètres libres du modèle R, unepartiepeutêtrereservéepourminimiserd L (R,R)etuneautre pour résoudre de nouvelles contraintes telles queN∑1 préservation de la longueur totale : L n = L.n=1k (0 ≤ k ≤ 4) conditions aux extrémités de la formeF(l c )=F(l c ) avec F=R ou R ′ et l c =0 ou L.Le nombre de degrés de liberté de R devient 2N+1−k.Une manière simple de contraindre la longueur totaleest de remplacer L N par L − ∑ N−1n=1 L n dans R.Une manière simple d’imposer deux conditions auxextrémités(k=2)estderésoudreleproblèmelinéaireassocié,en les paramètres {A 1 ,B 1 }. Dans ce cas, les 2N−1paramètres libres restants sont donnés par le vecteurθ = [Υ 1 ,...Υ N ,L 1 ,...L N−1 ] T ,dont dépend le profil modèle qu’on note alors R θ et lecritère associé à minimiser est donné parC L (θ) = d L (R,R θ ).Dans la suite, nous considérons ce cas avec lescontraintes d’égalité R(0) = R(0) et R ′ (0) = R ′ (0).3.3 AlgorithmeLa minimisation de C L est un problème non linéaireet non convexe. Pour obtenir une solution satisfaisanteà partir d’algorithmes d’optimisation numérique standard3 , nous adoptons la solution pragmatique suivante.Initialisation :– Initialiser θ par Υ 1 = ··· = Υ N = 0 etL 1 = ··· =L N =L/N de sorte que l n =nL/N (ouvaleurs données par l’utilisateur, cf. perspectives),– Minimiser C l1 (θ)enΥ 1 ;mettreàjourθ ( [θ] 1 ←Υ ⋆ 1).Itérations pour n allant de 2 à N : Minimisationde C ln (θ) selon1. la variable Υ n (mise à jour de θ),2. puis, les variables Υ 1 ,...Υ n (idem),3. puis, les variables Υ 1 ,...Υ n ,L 1 ,...L n−1 avecL n = l n − ∑ n−1k=1 L k (idem).En pratique, ces étapes conduisent à une solutionproche de l’optimum global. Si l’on souhaite avoir descontraintes à droite (F(L) = F(L)), on ajoute unedernière étape. Le modèle n’étant linéaire en aucundes paramètres [θ] k , la résolution du lagrangien associéserait délicate. On pénalise le critère en ajoutant destermes du type ǫ ( F(L)−F(L) ) 2. On fait croître ǫ > 0jusqu’à ce que l’erreur commise sur la contrainte soitplus faible qu’un seuil fixé.3. Ici, nous avons utilisé les fonctions (sous Matlab) fminbndpour les optimisations selon une variable et fminsearch pour lesoptimisations selon plusieurs variables.