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6.3 Etudes et interprétation des valeurs propresL’expression (68) fait apparaître les nouveaux opérateurs de propagation (voir aussi la figure9), il s’agit simplement de la valeur propre λ. Etudions quelques propriétés de ce “nouvelopérateur” de propagation.Cas des tubes droits Etudions en premier lieu le cas Υ = 0 et θ = 0 (tube droit). Dans cecas, on trouveb ′ = φ 1(Γ2 ) (74)λ = φ 1(Γ2 ) −Γφ 2(Γ2 ) = e −Γ (75)On retrouve bien les mêmes opérateurs de propagation et de dispersion qu’en section 1 (enprenant ε = 0, on obtient Γ(s) = √ s 2 qui vaut s sur C + 0 en choisissant la fonction racine coupéesur R − ).Première étude la fonction F D’après (64-66), on montre aisément que l’on retrouve l’opérateurde propagation e −Γ si F(θ,Υ) = 0. De plus, notons que la valeur de F(θ,Υ) ne dépendpas du signe de θ mais uniquement de θ 2 . On se place donc maintenant dans le cas θ ≥ 0 (lechoix du signe de θ revient simplement à un choix d’orientation du tronçon). Ceci nous permetde faire une première cartographie des différentes géométries selon les valeurs de θ 2 et Υ.Υ −π 2 0 +∞θ 2 < Υ X X Géométrie de type Cθ 2 = Υ X Tube droit Géométrie de type exponentielθ 2 > Υ Tube convexe Tube conique Géométrie de type STable 1 – Catégorisation géométrique en fonction de θ et ΥLes différentes géométries des tubes évasés (ou tubes convexes, i.e. Υ > 0) sont présentéesen figure 10. Les 3 tubes représentés sont définis entre 0 et L = 1 mais les rayons sont tracésau-delà de ces valeurs afin d’illustrer les propriétés de chaque type géométrique.La géométrie de type C correspond au cas θ 2 < Υ. Ces profils peuvent s’écrire sous la formeCcosh(al+b) (le calcul n’est pas détaillé ici). On constate sur la figure 10 l’abscence de passagepar 0 du rayon dans ce cas. La géométrie de type S correspond au cas θ 2 > Υ. Ces profils peuvents’écrire sous la forme Ssinh(al+b) (le calcul n’est pas détaillé ici). On constate sur la figure 10un changement de signe du rayon (en l 0 < 0). Enfin, la géométrie de type exponentiel correspondau cas θ 2 = Υ. On montre dans ce cas que le profil peut s’écrire sous la forme Ee al+b (le calculn’est pas détaillé ici).Cette première catégorisation de profil peut être tracée dans le plan ayant pour axes Υ et θ 2 ,voir figure 11.Etudions les évolutions des diagrammes de Bode du nouvel opérateur de propagation enfonction des paramètres Υ et θ. Les figures 12 à 14 présentent les diagrammes de Bode del’opérateur de propagation pour un tube concave, un tube cônique, un tube à géométrie de typeS, un tube à géométrie de type exponentiel et un tube à géométrie de type C.Nous pouvons retrouver de nombreuses informations intéressantes dans ces courbes. Premièrement,on constate l’apparition de “modes en creux” ou “modes non transportés” dans lemodule de l’opérateur de propagation. Ces modes, propres au tronçon, sont à vrai dire plus des“germes de modes” que des modes proprement dits. En effet, l’effet général de ces modes seraprofondément modifié lorsque le tronçon sera connecté à un autre tronçon ou à une impédance26
Exemple de géométrie de type CR(l) et −R(l)R(l) et −R(l)R(l) et −R(l)10−1−1 −0.5 0 0.5 1 1.550−540200−20lExemple de géométrie de type exponentiel−1 −0.5 0 0.5 1 1.5lExemple de géométrie de type S−40−1 −0.5 0 0.5 1 1.5Figure 10 – 3 types de tubes évaséslde rayonnement par exemple. Autre exemple, si on connecte de façon C 1 ce tronçon à un autretronçon ayant le même paramètre Υ et la même longueur, on obtient un tronçon ayant commelongueur la somme des deux longueurs originales et le même paramètre Υ. On devrait doncretrouver le même diagramme de Bode avec un mode sur deux (cela n’a pas encore été vérifié).Nous reparleront de ces modes un peu plus loin.Par ailleurs, on remarque que, dans le cas des géométries de type exponentiel, les modes encreux présents dans le module de l’opérateur de propagation disparaissent, on retrouve λ = e Γ(qui est stable car Υ > 0).27
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