Rapport de stage - Master 2 SAR ATIAM - Base des articles ...

2015105Φ(z)0−5−10−15−20−15 −10 −5 0 5 10 15zFigure 3 – Fonctions Φde φ 2 qui devient une singularité de Φ et la valeur −π 2 /4 pour laquelle Φ s’annule.Remarque : ces fonctions peuvent s’écrire (indépendemment du choix de √ . )φ 1 (x) = cosh (√ x ) ,⎧⎨ sinh( √ x)√ si x ≠ 0φ 2 (x) = x⎩1 si x = 0√ xΦ(x) =tanh( √ x).2.2 Modèle de Webster-Lokshin à abscisse curviligneLe premier modèle de tube acoustique à dépendance mono-spatiale fut établi par Lagrange [13]et Bernoulli [14]. Cette équation est dite “de Webster” [15] et a été abondamment étudiée [16].Pour les pertes, les premières études ont été initiées par Kirchhoff [17]. On pourra retrouver l’ensemblede ces éléments bibliographique dans [18] et aussi dans [7] (joint à la fin de ce document).Les effets de courbure et de pertes sont finalement regroupés dans le modèle dit “de Webster-Lokshin” à dependance en l’abscisse curviligne [1, 19].Soit un profil de tube z ↦→ r(z). Le passage en abscisse curviligne s’écrit en mesurant lalongueur de la paroi depuis z = 0, L(z) = ∫ z√ 0 1+r ′ (w) 2 dw. On note l’abscisse curvilignel = L(z) et on a alorsR ( L(z) ) = r(z) et R(l) = r ( L −1 (l) ) . (18)En notant P(l,t) la pression dans le tube à l’abscisse l et à l’instant t, l’équation de Webster-Lokshin, établit dans [1], s’écrit()∂l 2 (l)+2R′ R(l) ∂ l − 1c 2 ∂2 t − 2ε(l) ∂ 3 2t P(l,t) = 0 (19)0√1−Roù c 0 est la vitesse du son et ε(l) = κ ′ (l) 20 R(l)quantifie les effets visco-thermiques (κ 0 ≈3×10 −4 m 1/2 dans l’air). Cette équation est appelée équation de Webster en raison de la présencedu terme 2 R′ (l)R(l) ∂ l et équation de Lokshin en raison de la présence du terme 2ε(l)c 032∂ 3 2t .113c 0 2