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La convention appelée “convention tronçon” permet de définir des variables et des matricesde transfert acoustiques qui ne sont pas modifiées par la symétrie x ↦→ −x. Pour cela, nousne considérons plus les variables et les fonctions pour x ∈ [−1/2,1/2] mais uniquement auxextrémités du tronçon car ce sont ces dernières qui nous intéressent pour établir les matricesde transfert. Les variables au point x = −1/2 sont notées avec un indice . l (pour left) et lesvariables au point x = 1/2 sont notées avec un indice . r (pour right). En convention tronçon,la symétrie x ↦→ −x revient alors simplement à inverser les indices . l et . r dans les différentesfonctions, variables et matrices de passage.La convention tronçon repose sur un principe simple : les quantités dirigées sont orientéesvers l’intérieur du tube. Ainsi le débit à l’extrémité gauche du tube n’est pas modifié entre laconvention axiale et la convention tronçon, U l = U(−1/2), mais le débit à l’extrémité droite dutube se transforme en son opposée, U r = −U(1/2). De même pour les pentes normalisées σ l etσ r . Les variables d’ondes ne sont plus notées φ + ou φ − mais φ in ou φ out .Les figures 6 et 7 illustrent comment les variables de Kirchhoff et les variables d’ondes sphériquesprésentées en partie I sont modifiées entre la convention axiale et la convention tronçon.Les formules de passage en convention axiale et en convention tronçon sont indiquées ci-après.φ +( − 1 2 ,s)φ +( 1U ( − 1 )2 ,s)2U ( )12φ −( − 1 2 ,s) φ −( 12 ,s)U lφ inl(s)φ outl(s)φ outr (s)φ inr (s)U rFigure 6 – Convention axialeFigure 7 – Convention tronçonσ(l) = R′ (l)R(l)σ l = R′ (− 1 2 )R(− 1 2 ) , σ r = − R′ ( 1 2 )R( 1 2 )[ ] φ+φ − = R [ ][ 1 1 P2 1 −1 U[ ] P= 1 [ 1 1U R 1 −1][ φ+φ − ]] [φinl/rφ outl/r[Pl/r]U l/r]= R l/r2[ 1 11 −1= 1R l/r[ 1 11 −1][Pl/rU l/r]] [ φ inl/rφ outl/r]5 Considérations géométriques5.1 Paramétrisation du rayonComme nous l’avons dit, le modèle (20-21) peut être résolu analytiquement dans le cas où lesparamètres ˜Υ(l) et ˜ε(l) sont constants. Pour le paramètre ˜ε, on fait le choix ˜ε(l) ≈ 1 ∫ LL 0 ˜ε(l)dl.La constance du paramètre ˜Υ(l) induit l’équation˜R ′′ (l)− ˜Υ˜R(l) = 0. (38)18
Cette équation se résout de façon classique selon la valeur de ˜Υ(√ ) (√ )˜Υ < 0 : ˜R(l) = Ãcos −˜Υl + ˜Bsin −˜Υlavec (Ã, ˜B) ∈ R 2 , (39)˜Υ = 0 : ˜R(l) = Ã+ ˜Bl avec (Ã, ˜B) ∈ R 2 , (40))˜Υ > 0 : ˜R(l) = Ãcosh(√˜Υl + ˜Bsinh) (√˜Υl avec (Ã, ˜B) ∈ R 2 . (41)Cependant, on a montré dans [22] que ces écritures peuvent être unifiées à l’aide des fonctionsC et S{ C : (l,Υ) ↦→ φ1(Υl2 )S : (l,Υ) ↦→ lφ 2(Υl2 ) , (42)˜R(l) = ÃC(l, ˜Υ) + ˜BS(l, ˜Υ). (43)Par définition, les fonctions C et S sont C ∞ en Υ et en l, ce qui nous assure la continuité dumodèle géométrique en Υ.Ceci définit une famille de tronçons paramétrés pour lesquels le modèle de Webster-Lokshinà abscisse curviligne peut être résolu analytiquement. Un tronçon est entièrement définit par lesparamètres (Ã, ˜B, ˜Υ). De plus, si on considère des tronçons de tube de longueur L sur l’intervallel ∈ [− L 2 , L 2], alors les fonctions C et S définissent une base orthogonale de l’espace des solutionsde (38).Ce paramétrage présente toutefois un inconvénient : si le paramètre Υ définit la “courbure”du tube, il est bien difficile de donner un sens aux paramètres A et B. De plus l’écriture de lapositivé du rayon avec ce paramétrage est possible mais compliqué.Les fonctions√Υ ( )sinh( )l−LS l 2: (l,Υ) ↦→ − (sinh L √ )Υ√Υ ( )sinh( )l+LS r 2: (l,Υ) ↦→ (sinh L √ )Υ(44)définissent elles-aussi une base de l’espace des solutions de (38). De plus, comme S l( −2) l = 1,S l( l2)= 0, Sr ( − l )2 = 0 et Sr ( l2)= 1, le rayon peut s’écrire˜R(l) = ˜R l S l (l, ˜Υ)+ ˜R r S r (l, ˜Υ) (45)où ˜R l est le rayon à l’extrémité gauche du tube et ˜R r le rayon à l’extrémité droite. Ce paramétrage,qui fait apparaître les rayons aux extrémités du profil, a un sens bien plus évident quantà la géométrie du profil. La figure 8 présente l’influence de Υ sur les fonctions S l et S r . Unecourbure positive correspond donc à des tubes convexes, une courbure nulle à des tubes droitsou coniques et une courbure négative à des tubes concaves. Avec ce paramétrage, un tronçon estentièrement défini par les paramètres (˜R l , ˜R r , ˜Υ).19
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