Rapport de stage - Master 2 SAR ATIAM - Base des articles ...

oùQ(s) =[][[1, σ l ]∆(s) [0,−1]∆(s)−(σ l +σ r ), −σ r σ l −Γ(s) 2] ∆(s) [1, σ r ]∆(s)[ (φ1 Γ(s)2 ) ] (56)avec ∆(s) = (φ 2 Γ(s)2 )Les paramètres σ l , σ r et Υ sont liés. En effet, en écrivant la définition de σ l et de σ r , onmontre queσ r +σ l = −(σ r σ l +Υ) φ 2(Υ)φ 1 (Υ) . (57)On peut donc réécrire la matrice Q(s) afin de séparer les effets des paramètres σ l et σ r :Q(s) = Q 0 (s) + σ l Q l (s) + σ r Q r (s),[][1, 0]∆(s) [0, −1]∆(s)Q 0 (s) =[0, Υ−Γ(s) 2] ,∆(s) [1, 0]∆(s)[ ][0, 1]∆(s) 0Q l (s) =,[−1, Φ(Υ)]∆(s) 0[]0 0Q r (s) =.[−1, Φ(Υ)]∆(s) [0, 1]∆(s)(58)6.2 Recherche d’ondes découpléesDans cette section, la dépendance en la variable de Laplace s est omise afin d’alléger lesnotations.6.2.1 Démarche adoptéeComme nous l’avons dit en introduction de cette partie, le but est ici de trouver des ondesprogressives découplées informées par la géométrie. Pour cela, il nous faut injecter la condition(51) dans (58) avant la diagonalisation.Ceci est fait via le paramètre de dissymétrie θ. En effet, la condition (51) implique la réalité decette quantité. De plus, ce rapport nous permet de distinguer les informations liée à la géométrieet celles liées à l’orientation : le signe de θ nous indique l’orientation du tube alors que |θ| (ou θ 2 )nous donne une information sur le “taux de dissymétrie”, invariant par changement d’orientation.Pour bien comprendre cette étape, il est nécessaire de se demander à quoi correspond physiquementla diagonalisation de la matrice Q. Comme l’indique (55), la matrice Q est la matrice detransfert acoustique entre les états acoustiques aux extrémités du tubes. Cet état acoustique estun vecteur contenant la pression normalisée par la longueur du tronçon et la dérivée temporelled’une quantité de mouvement.Par définition, la diagonalisation d’une matrice M revient à trouver les valeurs propres λpour lesquels∃X ≠ 0 / MX = λX.Dans notre cas, diagonaliser Q revient donc à chercher une “proportion” de P et de U qui sepréserve lorsqu’elle parcourt le tronçon de tube :( ( 1X = λX −2)1 )222