Rapport de stage - Master 2 SAR ATIAM - Base des articles ...

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1.5Υ < 010.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51Υ = 0S l/r (l,Υ)0.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5S l (l,Υ)S r (l,Υ)1Υ > 00.50−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5l/LFigure 8 – Fonctions S l et S r pour Υ < 0 (en haut), Υ = 0 (au milieu) et Υ > 0 (en bas)Enfin, on définit les quantités suivantes afin de séparer les informations concernant la géométrieproprement dite et les informations concernant l’orientation du profil.( )Rrθ = ln(46)R lρ = √ R r R l (47)(48)Les paramètres R r et R l s’écrivent alorsR r = ρe θ 2 ,R l = ρe −θ 2 .(49)L’adimensionnement de ces différents paramétrages est donné en annexe.5.2 Profils physiquement réalistesConsidérons le tube défini, en variables adimensionnées, par le rayon R(x) = R l S l Υ (x) +R r S r Υ (x).L’étude des fonctions S l Υ et Sr Υ lorsque fait apparaître une singularité lorsque Υ = −π2 .Cette valeur est en fait la valeur critique évoquée en section 3 en variables adimensionnées (cequi revient à considérer L = 1). Pour cette valeur, les fonctions S l et S r tendent vers l’infini surl’intervalle [−1/2,1/2]. On en déduit le théorème suivantThéorème 5.1 (Valeur limite de Υ)[R(l) est définit ∀x ∈ − 1 2 , 1 ]⇒ Υ > Υ crit avec Υ crit = −π 2 (50)220
La suite de l’étude suppose cette condition respectée.Nous l’avons déjà évoqué, la première condition pour que le tube soit physiquement réalisteest la positivité stricte du rayon.Théorème 5.2 (Positivité du rayon)R(x) > 0 ∀x ∈[− 1 2 , 1 ] {Rl > 0⇔2 R r > 0(51)Preuve 5.1 (Positivité du rayon)[R(x) > 0 ∀x ∈ − 1 2 , 1 ] { (R −1⇒2)> 02 R ( )1⇒2 > 0{Rl > 0R r > 0 ⇒ R(x) = R lS − (x) + R r S + (x) > 0 ∀x ∈[car S − (x) > 0 et S + (x) > 0 ∀x ∈ − 1 2 , 1 ]2{Rl > 0R r > 0[− 1 2 , 1 ]2La description de la perce en abscisse curviligne fait apparaître des propriétés inhabituelles.En effet, une pente verticale correspond à R ′ (l) = 1, on a donc la condition suivante :∣ R ′ (l) ∣ ∣ ≤ 1 (52)Cette inégalité ne nous a pas encore mené à des conditions convaincantes et n’est pas exploitéepour l’instant.6 Résolution du modèle et diagonalisation de la matrice de transfertacoustique6.1 Résolution du modèle de Webster-Lokshin à abscisse curviligneLa résolution de (20-21) sous forme de matrice de transfert est donnée dans [1] et peut s’écriresous la formeoù[˜Pr (˜s)Ũ r (˜s)]=⎡⎢⎣L˜R r00 − π˜R rρ˜s⎤⎡⎥⎦ ˜Q r,l (˜s) ⎢⎣˜R lL0⎤[ ]0⎥ ˜Pl (˜s)ρ˜s ⎦ Ũ l (˜s)π˜R l[][1, σ l ]∆(˜s) [0,−1]∆(˜s)˜Q(˜s) =[−(σ l +σ r ), −σ r σ l −L 2˜Γ(˜s) 2 ] ∆(˜s) [1, σ r ]∆(˜s)⎡avec ∆(˜s) = ⎣ φ 1(L 2˜Γ(˜s) 2 ) ⎤(φ 2 L 2˜Γ(˜s) 2 ) ⎦En variables adimensionnées, la matrice de transfert devient⎡ ⎤[ ] 1Pr (s)0 [⎢= ⎣R rU r (s)0 − 1⎥ Rl 0⎦Q(s)0 R l sR r s21][Pl (s)U l (s)](53)(54)(55)
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