Janvier 2003

UNIVERSITÉ HENRI POINCARÉ NANCY 1 FACULTÉ DES SCIENCESSTPI2 - IUPIExamen de Mathématiques Janvier 2003 durée 2 heuresDocument autorisé: aide-mémoire Calculettes non autorisées1 On considère la fonction y =cos( {X) (pour x ~ 0).1) Montrer que, pour x > 0, y est solution de l'équation différentielle suivante:4xy" + 2y' + y =02) Trouver, sous forme de série entière,une solution YI de cette équation qui vérifieYI(O)=1.Quel est le rayon de convergencede YI?3) Dire pourquoi Y=YI (quand x ~ 0) .4) Exprimer sous forme de série entièreune primitivede YI . Quel est le rayon deconvergence de la série trouvée?IISoit 0 < a < n . On considère la fonction f(t) paire, périodique de période 2négale à i sur l'intervalle [0, a ] et égale à 1 sur l'intervalle [a, Tt] .a1) Déterminer la série de Fourier de f.2) Cette série converge-t'ellenormalement?3) Esquisser le graphe de f sur [- 2n , +2n ] (pour a =:) .La série de Fourier converge-t'ellevers f?IIIOn considère le systèmedifférentielsuivant:x'(t) = 2x - YJ'et) = -4x + 7y - 2zz'(t) = -lOx + 14 Y - 3z1) Écrire ce systèmesous la forme vectoriellesuivante: ~t (V (t)) = A.V (t) .2) Déterminer les valeurspropresde la matrice A.3) Déterminer une base (Et, Ë! , E!) de vecteurs propres.4) Quelle est la matrice A' correspondantà la même application que A dans la--7 --7 -7nouvelle base ( El , El , E3) ?5) Résoudre le systèmedifférentiel:~t (W(t)) = A'.W(t) .6) Résoudre le systèmedifférentielinitial.T.S.V.P.