Janvier 2003

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY 1-FACULTE DES SCIENCESDIPLOME: DEUG SM2Epreuve de : Mécanique des fluidesSession de janvierDate:Horaires:SUJET D'EXAMENDurée du sujet: 1h Nom du rédacteur: M. LenobleD Documents autorisés~ Documents non autorisés~ Calculatrices autoriséesD Calculatrices non autoriséesDans le référentiel terrestre 'supposé galiléen, on étudie l'écoulement permanent et irrotationneld'un fluide parfait incompressible (de masse volumique p) dans un canal horizontal, rectangulaire,rectiligne, de largeur constante L et d'axe Ox (voir figure). Au point d'abscisse x, on note H la hauteur etv la vitesse du fluide (Hoet Vosont relatifs au point d'abscisse x = 0). v ne dépend pas de z. Au dessus ducanal, la pression est constante2 ~0.H-'v1) H est constant. Peut-on utiliser la relation de Bernoulli? Montrer que E = H +yz/2g est constant auniveau de la surfacelibre (dans cet exercice, E ne représente pas l'énergie massique).2) Montrer que le débit volumique (qv) ne dépend pas de x. Calculer-le en fonction de g E, L et H.3) A l'aide de vannes, on peut modifier la hauteur d'eau dans le canal en conservant E constante.Calculerla hauteurcritiqueHc pourlaquellele débit qvest maximal(en fonctionde E et g). .4) On se place dans le cas d'un débit inférieur à qvrnax'A partir de l'étude de la fonction qvCH),montrerqu'il existe deux valeurs possibles de H (Hl et Hz). Ces valeurs correspondent à deux typesd'écoulement: l'un dit fluvial (faible vitesse) et l'autre torrentiel (grande vitesse), les identifier.5) Le fond du canal présente maintenant une bosse (voir figure), de hauteur e(x), passant par une hauteurmaximale emen x=xm.On appelle h(x) la hauteur d'eau au-dessus de la bosse. La vitesse est toujoursselon Ox et uniforme sur une section perpendiculaire à OK,mais elle dépend de x au niveau de la bosse....z... x0x6) A partir de la conservation du débit, déduire une relation entre h(x) et v(x)en fonction de Hoet vo'7) E ,. . dv dh deetant toujours constant et en remp 1açant H sOIgneusement, montrer que: v - + g - + - =dx 0( dx dx)8) y érifier alors que: .!.dv vdx (V2- gh) + g de dx = O. Que devient cette équation en x=xm ?v9) On définît le nombre de Froud par Fr = {ih Montrer que dans le cas où Fr