Janvier 2003

MÉTHODES MATHÉMATIQUESPOUR LESSCIENCES DE LA MATIÈRE, SM2Pierre VuillermotExamen du 17 janvier 2003, 13h30-15h30NB. Les notations utilisées sont celles du cours; les notes de cours ainsi queles calculettes sont interdites; la qualité de la rédaction sera un critère essentielpour l'évaluation des copies.Problème 1. Le but de ce problème consiste' oclémontrer le théorème deCayley-Hamilton pour le cas simple des matrices d'ordre deux. Soit A E M2(JK)et notons>. I-r PA(>')= >.2-Tr(A»'+ det(A)le polynômecaractéristiquede A.Prouver que PA(A) := A2- Tr(A)A + det(A)h = O.Problème 2. En invoquant des résultats du cours, déterminer si les sériessuivantes sont absolument convergentes, semi-convergentes ou divergentes enfonction du paramètre ŒE IR:+00(a) 2:( -l)nn=l+00(c) 2: arctangn=l( 1 na)( 1 na )+00(b) ~(-l)n (n2n~Œ) n2+00(d)n=l2: (1-cos(:C»).Problème 3. Déterminer le rayon de convergence et l'intervalle de convergencedes séries entières suivantes:+00+00 n2(a) 2:(-lt+1n=l(2n -1)2n(3n - 2)2n (x - 1t (b)~(l+~) (x-1t.Problème 4. En invoquant la théorie des séries de Fourier développée encours, prouver que, quel que soit x E (-11",+11"),+00x = 22: (_l)n+l sin(nx)n=l n .