Janvier 2003

IV 1)On considèrele champ de vecteurs V( x , y , z ) = (P , Q , R) avecP = 2xy-x , Q =-y2 et R =z + 1 - x2 - y2 .a) Calculerla divergence du champ de vecteurs V .b) Calculerle fluxde V à traversle disque D défini par x2+ y2 :::;1et z =0 , orienté vers le haut.c) En déduire le flux de V à travers la demi-sphère S définie parx2+ y2+ z2 = 1 et z ~ 0 , orientée vers le haut.2) On considèrele champ de vecteurs W ( x , y , z ) = ( Pl , QI , RI) avec3Pl = x2y+~ ' QI =x( 1 + z) et RI =xy2 .a) Calculerle rotationnel du champ de vecteurs W .b) Calculerla circulationde W le long du cercle orienté ê défini par :x =cos(t) , y =sin(t) et z =0 ( 0 :::;t:::;2n ) .