Sami HAMZA Analyse probabiliste de la vulnérabilité sismique - CSTB

UNIVERSITÉ DE MARNE-LA-VALLÉE
Année 2007
THÈSE
pour l’obtention du grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE MARNE-LA-VALLÉE
Discipline : Mécanique
présentée et soutenue publiquement par
Sami HAMZA
le 2 février 2007
Titre
Analyse probabiliste de la vulnérabilité sismique des bâtiments
existants : application aux structures à portiques en béton armé
Directeur de thèse
M. Guy BONNET
JURY
M. Paolo Emilio PINTO, Président
M. Sergio BELLIZZI, Rapporteur
M. Claude BOUTIN, Rapporteur
M. Guy BONNET, Directeur de Thèse
M. Patrick DELMOTTE, Examinateur
M. Christophe DESCELIERS, Examinateur

Remerciements
Je tiens à exprimer ma gratitude à Guy Bonnet, mon directeur de thèse, pour la qualité de
son encadrement, sa disponibilité et son aide continue tout au long de la thèse. L’aboutissement
de ce travail doit beaucoup à ses qualités scientifiques et humaines.
Je remercie l’ensemble du jury pour sa disponibilité et pour leurs commentaires et leurs critiques
constructives. Je remercie M. Paolo Emilio Pinto pour m’avoir fait l’honneur de présider mon
jury. Je remercie particulièrement Mrs. Sergio Belizzi et Claude Boutin d’avoir accepté de
rapporter ce travail.
Je tiens aussi à remercier Patrick Delmotte pour les échanges fructueux que nous avons eus et
pour la confiance qu’il n’a cessé de m’accorder depuis mon DEA. A travers lui, je remercie tous
le personnel du Centre Scientifique et Technique du Bâtiment, qui a contribué, directement ou
indirectement, au soutien et au suivi de ce travail, notamment Mrs Charles Baloche, Ménad
Chenaf et Louis Laret.
Merci aussi à Christophe Desceliers pour toute l’énergie qu’il a fournie pour m’aider à avancer
dans mon travail, toujours avec l’enthousiasme et la sympathie qu’on lui connaît.
Mes remerciements s’adressent aussi à M. Christian Soize pour ses précieux conseils et sa
disponibilité. Je remercie également M. Philippe Bisch de Sechaud&Metz pour tout le
temps et l’aide qu’il m’a généreusement accordés.
Je tiens aussi à remercier chaleureusement tous les membres du Laboratoire de Mécanique,
qui m’ont accompagnés pendant ces années de thèse et les ont rendues plus agréables.
Je ne peux finir sans exprimer ma gratitude à ma famille pour sa présence et son appui. Ainsi,
je remercie mes parents, qui m’ont encouragé à poursuivre mes études doctorales et sans qui,
je n’en serais pas là. Je remercie de tout coeur ma chère Manel pour le courage et la patience
qu’elle déploie pour me supporter et croire en moi sans relâche. J’espère qu’ils trouveront dans
ce travail de quoi être fiers des efforts qu’ils ont consentis.
J’ai une pensée aussi pour ma soeur, pour mes frères, ainsi que pour toute ma grande famille
metlinoise et pour tous mes amis qui m’ont apporté, de près comme de loin, les témoignages de
leur soutien et de leurs encouragements.
A tous, de tout coeur, un grand MERCI...
2

Table des matières
1 Etude bibliographique 7
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Comportement au séisme des bâtiments contreventés par portiques à remplissage
en maçonnerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Contexte réglementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Etudes expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Modélisation numérique de structures avec murs en maçonnerie . . . . . . 16
1.3 Modélisation probabiliste des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Aléas et incertitudes du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 Modélisation des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Stratégie adoptée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Modèle moyen de la structure de référence 29
2.1 Choix de la structure de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Stratégie de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Identification du comportement des éléments de la structure . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Comportement des matériaux constitutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Comportement d’éléments structuraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3 Détermination des paramètres physiques des éléments de structure . . . . 43
2.3.4 Modes de ruine et critères de résistance ultime . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Modélisation de la structure de référence et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.1 Modélisation par éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Hypothèses de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.3 Calcul linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.4 Calcul non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.5 Modèle éléments finis simplifié de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Modélisation probabiliste non paramétrique en dynamique linéaire 71
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Construction du modèle réduit moyen en dynamique linéaire . . . . . . . . . . . 72
3.2.1 Construction par analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.2 Résolution numérique du problème matriciel réduit . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Construction du modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.1 Information disponible sur les matrices aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.2 Normalisation des matrices aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.3 Paramètres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Mise en oeuvre du modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1 Génération des réalisations des matrices aléatoires . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.2 Etude de la convergence stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.3 Choix d’observables et de grandeurs statistiques . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Application à la structure de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3

3.5.1 Modèle réduit moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5.2 Modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.3 Sensibilité du modèle aux paramètres de dispersion . . . . . . . . . . . . . 96
3.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4 Modélisation probabiliste mixte non linéaire 109
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2 Construction du modèle réduit moyen en dynamique non linéaire . . . . . . . . . 110
4.2.1 Construction par analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.2 Schéma d’intégration numérique du système dynamique non linéaire . . . 112
4.2.3 Résolution numérique du système non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2.4 Algorithme de la résolution du système dynamique non linéaire . . . . . . 115
4.3 Construction du modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.1 Variables aléatoires du modèle probabiliste paramétrique . . . . . . . . . 116
4.3.2 Information disponible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.3 Construction des lois de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.4 Génération des réalisations des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . 123
4.3.5 Validation du générateur de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.3.6 Génération des réalisations aléatoires du modèle probabiliste mixte . . . . 126
4.4 Application à la structure complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4.1 Modèle réduit moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4.2 Modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Conclusions et perspectives 153
A Définition de l’élément fini de type Timoshenko 163
A.1 Représentation de l’élément Timo en calcul linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.2 Représentation de l’élément Timo en calcul nonlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.3 Validation de l’élément Timo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4

Introduction générale
L’évaluation sismique des ouvrages anciens ainsi que leur renforcement constitue un enjeu
majeur. En effet, l’expérience acquise, dans une large mesure, par des analyses post-sismiques
montrent que la protection des vies humaines est assurée, dès lors que les références réglementaires
parasismiques sont appliquées aux constructions.
Dans les zones fortement sismiques, l’élimination de bâtiments inaptes à résister aux séismes s’est
faite naturellement. Il n’en est pas de même dans les zones de sismicité modérée, où le bâti existant
a été majoritairement construit avant la mise en place de réglementation sismique, comme
c’est le cas en France. L’évaluation sismique de ce bâti constitue donc un enjeu considérable.
Dans le cadre du Réseau Génie Civil et Urbain mis en place par le Ministère de l’Equipement, un
groupe de travail constitué d’experts français de ce domaine a essayé de tracer les grandes lignes
de la démarche à suivre pour l’évaluation sismique en France. De ce travail, il ressort que le bâti
construit entre 1945 et 1970 comportant des immeubles de quelques étages est particulièrement
sensible.
Ce bâti est constitué en grande partie d’ouvrages constitués par des portiques comportant un
remplissage en maçonnerie.
L’objet de la thèse portera donc principalement sur ce type d’ouvrage.
Une des possibilités serait d’évaluer ce type de bâtiment vis à vis de la réglementation française
actuelle pour les bâtiments neufs. Une telle procédure serait largement conservative, car la
réglementation pour les ouvrages neufs repose essentiellement sur une modélisation des ouvrages
en comportement faiblement non-linéaire. Dans le domaine de l’évaluation sismique du
bâti existant, il est au contraire indispensable d’étudier les ouvrages dans des conditions proches
de l’effondrement pour évaluer convenablement la réserve de sécurité existant dans une configuration
donnée.
Par ailleurs, se pose une autre difficulté dans l’évaluation sismiques des ouvrages, liée à la difficulté
de reconstituer de façon exhaustive le dossier technique relatif au projet de l’ouvrage. Les
éléments dont dispose l’évaluateur sont souvent très partiels et il est nécessaire alors de faire
des hypothèses sur les paramètres à prendre en compte concernant le ferraillage, les propriétés
des matériaux,...L’absence de données précises conduit alors naturellement à traiter ces données
de façon probabiliste. Au final, le problème de l’évaluation sismique des ouvrages existants est
alors lié à une modélisation probabiliste des ouvrages en contexte fortement non-linéaire.
La thèse porte précisément sur l’évaluation sismique des bâtiments en contexte non-linéaire. Elle
se décompose en quatre parties :
La partie 1 décrit la bibliographie concernant les principaux aspects de l’étude :
– comportement au séisme des bâtiments constitués de portiques avec remplissage en maçonnerie ;
– modélisation probabiliste des incertitudes
La partie 2 porte sur la modélisation non-linéaire par éléments finis d’une structure de référence
sélectionnée par le groupe de travail chargé du projet du Réseau Génie Civil et Urbain sur le
renforcement sismique du bâti existant.
La partie 3 est afférente au calcul probabiliste non-paramétrique linéaire de la structure de
référence.
Enfin, la partie 4 se rapporte au calcul probabiliste en dynamique non linéaire de la même
structure.
5

Chapitre 1
Etude bibliographique
Sommaire
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Comportement au séisme des bâtiments contreventés par portiques
à remplissage en maçonnerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Contexte réglementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Etudes expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Modélisation numérique de structures avec murs en maçonnerie . . . . . 16
1.3 Modélisation probabiliste des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Aléas et incertitudes du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 Modélisation des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Stratégie adoptée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7

1.1 Introduction
Ce chapitre porte sur la bibliographie concernant les principaux points affectant l’étude.
On s’intéressera en particulier aux méthodes de calcul et de dimensionnement des bâtiments en
portique en béton armé avec remplissage en maçonnerie, dans les codes réglementaires et les
programmes de recherche, ainsi qu’aux différents modèles développés pour prévoir leur comportement
sous sollicitations sismiques.
Dans ce chapitre, seront abordés dans une première partie les modèles réglementaires disponibles
pour estimer le comportement des bâtiments anciens au séisme ; puis, les modèles utilisées dans
la littérature pour modéliser le comportement des matériaux constitutifs (acier, béton et blocs
de maçonnerie) des bâtiments seront décrits, ainsi que les lois qui définissent leur comportement
dans la structure.
Enfin, la modélisation des incertitudes fera l’objet de la dernière partie de ce chapitre.
1.2 Comportement au séisme des bâtiments contreventés par
portiques à remplissage en maçonnerie
1.2.1 Contexte réglementaire
Réglementation française
La conception et le dimensionnement des bâtiments en zone sismique obéissent en France
aux règles PS92 [23], qui sont remplacées progressivement par l’Eurocode 8 [22]. Dans l’actuelle
réglementation, le comportement dynamique des bâtiments à portiques en béton armé est basé
sur la théorie de l’élasticité. Les efforts du comportement nonlinéaire sont représentés de façon
simplifié par l’utilisation de coefficients de comportement. La détermination des efforts dans la
structure s’effectue en considérant des spectres élastiques normalisés et des accélérations nominales
en fonction de la zone sismique. Dans ces règles parasismiques, les murs en maçonnerie
ne sont pas considérés comme des éléments structuraux. Leur contribution à la résistance aux
séismes est de ce fait, généralement, négligée. Le dimensionnement des murs en maçonnerie
est néanmoins abordé dans la partie contreventement de la réglementation (DTU relatives au
contreventement). On peut ainsi vérifier la résistance des murs aux sollicitations horizontales
autres que le séisme.
En ne considérant que la partie linéaire, les règles parasismiques sont donc assez conservatives.
Et bien qu’elles présentent une marge de sécurité importante pour assurer la tenue des ouvrages
neufs aux séismes, les règles semblent inadaptées pour estimer la résistance réelle d’un bâtiment
existant.
Réglementation européenne
Les normes parasismiques européennes (Eurocode 8) suggèrent l’emploi, en plus des méthodes
linéaires telles que l’analyse modale ou la méthode des forces latérales, de méthodes nonlinéaires
statiques (pushover) ou dynamiques. La maçonnerie est définie dans les Eurocodes comme un
élément secondaire de la structure, mais la participation des murs à la résistance aux séismes et
à la dissipation d’énergie peut être prise en compte. Des dispositions particulières sont d’ailleurs
proposées pour modéliser le comportement des bâtiments en maçonnerie. La partie 3 de l’Eurocode
8 est dédiée aux règles spécifiques au renforcement et à la réparation des bâtiments anciens.
Les états limites définis dans ce cas sont :
– État proche de la ruine (NC), caractérisé par des dommages importants et de larges
déplacements horizontaux irréversibles. Le bâtiment garde sa capacité portante, mais sa
résistance horizontale est fortement réduite et il est proche de l’effondrement,
8

– État de dommages significatifs (SD), où la structure est significativement endommagée,
la résistance aux séismes est amoindrie et les déplacements horizontaux permanents sont
modérés. La réparation du bâtiment est économiquement trop coûteuse.
– État de dommages limités (DL), où la structure ne subit que de légers dégâts. Les éléments
non-structuraux peuvent subir des fissures. Les déplacements horizontaux sont négligeables
et la réparation est superficielle et peu coûteuse.
Afin de définir un projet de réévaluation d’une structure, un certain nombre d’informations utiles
à l’estimation de la capacité de résistance au séisme doivent être collectées. L’Eurocode 8 donne
une classification en fonction des informations disponibles sur la structure :
– Connaissance limitée (KL1) : absence de plan d’origine, pas d’information directe sur les
matériaux, réalisation de tests in-situ.
– Connaissance normale (KL2) : bonne connaissance de la géométrie et des propriétés des
matériaux, plans partiellement disponibles.
– Connaissance totale (KL3) : plans disponibles, essais in-situ complets et suivi de l’état des
matériaux.
La connaissance plus ou moins bonne de la structure induit dans le cadre déterministe le type de
la méthode à utiliser pour l’estimation de la résistance, ainsi que le niveau de sécurité à prendre
en compte : plus l’information sur l’état actuel de la structure est précise, plus les méthodes
non-linéaires de calcul seront utilisées, permettant de s’approcher de la limite de rupture (NC).
Il est alors possible d’adopter des coefficients de sécurité plus faibles. Les méthodes d’analyse
envisageables sont les suivantes :
– Méthode des forces latérales,
– Réponse par analyse modale,
– Analyse non-linéaire statique (push-over) : chargement horizontal uniforme, et chargement
prenant en compte la déformée du premier mode.
– Analyse non-linéaire dynamique en utilisant un accélérogramme.
Le comportement de la structure est caractérisé par une courbe de capacité bilinéaire (cf. fig.
1.1).
F * y
Force horizontale
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111 E* m
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
*
dy d *
m
0000000
1111111
Déplacement
Fig. 1.1 – Détermination de la loi élastoplastique idéalisée pour le calcul statique non-linéaire
selon l’Eurocode 8 : L’énergie réelle de déformation doit être égale à l’énergie de déformation
de la courbe idéalisée.
Réglementation américaine
Les règles parasismiques américaines destinées à la réévaluation du bâti existant sont présentées
dans les règles FEMA 274 et 356 [42],[43]. Ces règles proposent 4 méthodes de calcul possibles :
– Procédure Linéaire Statique (LSP) : le comportement de la structure est supposé linéaire
jusqu’au déplacement maximal δmax (cf. fig. 1.2). La distribution des charges sur la hauteur
9

de la structure peut être uniforme, triangulaire ou calculée à partir du premier mode de
vibration (cf. fig. 1.3).
– Procédure Linéaire Dynamique (LDP) : la méthode de spectre de réponse ou le chargement
pas à pas à partir d’un accélérogramme peuvent être utilisés.
– Procédure Non-linéaire Statique (NSP) : Le comportement non-linéaire de la structure est
assimilé à une courbe effort-déplacement bilinéaire. La chargement de la structure peut
être conduit en déplacement ou en force, selon le type de comportement de la structure :
les structures suffisamment ductiles présentant un adoucissement ou non peuvent être
chargées en déplacement contrôlé. Les structures fragiles et peu ductiles sont contrôlées
en force (cf. fig. 1.4). La courbe type pour une structure ductile contrôlée en déplacement
est donnée à la figure 1.5. Les critères de ruine sont fixés par les règles pour les différents
états limites considérés.
– Procédure Non-linéaire Dynamique (NDP) : La structure est soumise à une accélération
du sol correspondant un accéléogramme choisi. Le comportement de la structure est nonlinéaire.
Force horizontale
Rigidité considérée pour le calcul linéaire statique (LSP)
δ max
Déplacement
Fig. 1.2 – Détermination de la courbe linéaire utilisée dans la procédure LSP des FEMA.
Distribution triangulaire Distribution uniforme
Distribution suivant le mode de vibration
Fig. 1.3 – Cas de distribution de charges horizontales à vérifier pour un calcul linéaire.
10

F
e > 2g
F
g e ∆
g e
∆
g
Courbe Type 1 (ductile avec adoucissement) Courbe Type 2 (ductile sans adoucissement) Courbe Type 3 (fragile)
Fig. 1.4 – Types de comportement de structure : 1) Structure ductile avec adoucissement 2)
Structure ductile sans adoucissement 3) Structure fragile.
Force normalisée
A
B
e > 2g
IO: état limite de service
F
LS: état limite de sécurtié des vies
CP:état limite de ruine
déformation ou déformation relative
Fig. 1.5 – Courbe force-déplacement généralisée pour les structures contrôlées en déplacement
11
C
D
E
∆

1.2.2 Etudes expérimentales
Essais pseudo-dynamiques sur modèle physique d’une structure complète
Dans le cadre de l’écriture de l’Eurocode 8, des programmes de recherche ont été associés
à l’élaboration de règles parasismiques européennes dont un programme d’essais pseudodynamiques
d’une structure complète, réalisés au laboratoire ELSA (European Laboratory for Structural
Assessment) à Ispra en Italie [72]. La structure testée est un bâtiment à 4 étages à portiques
en béton armé avec ou sans remplissage en maçonnerie. L’essai consiste à soumettre la structure
à une série de chargements sismiques horizontaux par la méthode d’essai pseudo-dynamique [17].
L’étude des résultats de ces essais permet de dégager les observations suivantes :
– La présence des panneaux de maçonnerie modifie considérablement la réponse sismique du
bâtiment : les déplacements maximaux en haut de chaque poteau sont largement réduits.
– Les panneaux de maçonnerie sont complètement détruits aux 2 premiers étages, ceux du
troisième sont fortement endommagés alors qu’au dernier étage, ils sont restés intacts.
– Lorsque le premier étage ne comporte pas de maçonnerie, on note un déplacement concentré
à cet étage (soft-storey effect) et des dommages importants au deuxième étage.
Les courbes effort tranchant-déplacement obtenues [6] permettent de constater que la courbe
enveloppe correspondant au portique avec remplissage en maçonnerie présente au début un comportement
élastique, représentant le comportement de l’ensemble portique-maçonnerie comme
celui d’un panneau homogène. Puis, on remarque une baisse de raideur due à la fissuration des
joints qui est vite suivie par une baisse de résistance, induite par la dégradation du panneau. Le
comportement de la structure se rapproche de celui du portique seul.
Essais sur portiques
Un programme d’essais de chargement cyclique sur des portiques isolés en béton armé a été
réalisé à l’University of Architecture, Civil Enginnering and Geodesy de Sofia en Bulgarie [45].
Les essais réalisés consistent à appliquer sur des portiques un chargement horizontale cyclique
quasi-statique.Les portiques testés sont de trois types :
– Type A : portique en béton armé avec remplissage en maçonnerie. Le portique est construit
après le mur de maçonnerie et l’adhérence entre les deux est améliorée par des attaches
dans les poteaux ;
– Type B : portique en béton armé avec remplissage en maçonnerie. La maçonnerie est
construite après construction du portique ;
– Type C : Portique en béton armé sans remplissage en maçonnerie.
Une charge verticale équivalente à la charge supportée dans un bâtiment à 3 étages est imposée
sur chaque portique. L’essai a permis d’observer les résultats suivants :
– Un comportement élastique des portiques A et B est constaté durant les premiers chargements.
Pour le type B, il y a ouverture du joint entre la maçonnerie et la structure aux
angles opposés au point d’application de la force horizontale.
– L’apparition d’une fissure diagonale, due à la rupture par effort tranchant du mortier est
observée. La charge horizontale appliquée à la rupture du mortier est plus faible dans le
portique A que dans le portique B. Lorsque l’effort horizontal est inversé, les fissures sur
la diagonale se referment et d’autres fissures apparaissent sur la diagonale opposée ;
– Les fissures s’élargissent à mesure que l’effort appliqué augmente et il y a apparition de
petites fissures parallèles à la fissure diagonale. Sur le portique, apparaissent des fissures
horizontales et diagonales dans les régions critiques : au bas des poteaux et aux noeuds
entre poteaux et poutres (formation de rotules plastiques). L’effort horizontal limite du
modèle A est 10 à 20% plus important que celui du modèle B ; ceci montre bien que
l’amélioration de la cohésion entre le panneau de maçonnerie et le portique en béton armé
augmente la capacité de charge du portique ;
– Après fissuration, la résistance horizontale du panneau de maçonnerie diminue et l’effort
12

tranchant se reporte sur les poteaux. Le panneau continue de se fissurer et d’autres fissures
apparaissent de part et d’autre des fissures diagonales, ainsi que le long des poteaux.
Lorsque le panneau de maçonnerie est fortement endommagé, le comportement du portique sous
chargement cyclique se rapproche de celui du portique seul (formation de rotules plastiques aux
extrémités des poteaux, fissuration...).
On note que :
– La présence du panneau de maçonnerie augmente la capacité de charge du portique, cette
augmentation est plus importante pour le modèle A (15%), où la cohésion entre le panneau
et le portique est plus forte.
– Le panneau de maçonnerie augmente sensiblement la rigidité du portique (environ 15 fois
plus importante que pour un portique seul). La rigidité totale diminue à mesure que la
fissuration du panneau progresse.
– La ductilité des portiques type A et B est inférieure à celle du portique seul, mais reste
notable. Le portique de type B est plus ductile que le portique de type A.
– La dissipation d’énergie est plus importante en présence de panneaux en maçonnerie.
Ces essais montrent bien que même si la maçonnerie n’est pas porteuse, elle joue un rôle important
dans la tenue de la structure au séisme en augmentant la capacité de charge, la rigidité
transversale et la capacité de dissipation de l’énergie des portiques. Il paraît donc nécessaire de
prendre en compte leur influence sur le comportement sismique des structures. On note aussi à
travers ces essais l’importance de la cohésion entre portique et panneau dans l’amélioration de
la capacité de charge et de la rigidité des portiques.
Essais sur murs en maçonnerie
Le comportement des murs en maçonnerie a été étudié à travers plusieurs compagnes d’essais.
Il existe peu d’essais de ce type en comparaison des essais sur portiques en béton armé
avec remplissage en maçonnerie. Ces essais présentent pourtant l’avantage de transmettre directement
les efforts horizontaux aux murs et d’en mesurer les effets sans l’influence du portique
et du contact portique/maçonnerie.
Nous rappelons brièvement les résultats du Centre Scientifique et Technique du Bâtiment (CSTB)
([26], [27] et [29]). Pour réaliser ces essais, le CSTB a mis au point un portique d’essais sismiques.
Il est composé d’un double bâti de réaction au milieu duquel le mur testé est construit. Un vérin
hydraulique monté sur un portique de réaction permet de transmettre au mur un effort statique
ou cyclique alterné (cf. fig. 1.6).
Une première série d’essais a porté sur des murs en maçonnerie creuse en terre cuite [26]. Dans
un second programme expérimental, la maçonnerie utilisée est formée de blocs en béton cellulaire
autoclavé [29]. Les maquettes testées comportent des chaînages verticaux et horizontaux pour
confiner la maçonnerie, augmenter les résistance à la flexion et au cisaillement et ancrer le mur à
son support. Les essais ont montré que le mode principal de ruine des murs en maçonnerie est dû
au cisaillement des joints de mortier et des blocs de maçonnerie. Deux faciès de fissuration sont
possibles : une fissuration ”en escalier”, périphérique aux blocs (cf. fig. 1.7) due à la rupture des
joints horizontaux ou verticaux ou une fissuration traversant les blocs (cf. fig. 1.8). L’apparition
de l’un ou de l’autre mode de ruine est conditionnée par la nature des joints et par la résistance
des blocs et de leur géométrie. Le comportement du mur est caractérisé par la formation de
bielles qui transmettent les efforts. La géométrie des blocs conditionne l’inclinaison de la bielle
formée dans le mur.
Les essais sur une maçonnerie constituée de blocs en béton ont montré que pour des blocs de
faible résistance, la fissuration à la diagonale des blocs est observée en premier ; alors que pour
des blocs plus résistants, la fissuration se développe au niveau des joints de mortier. De plus, on
note que le remplissage des joints verticaux améliore la résistance du mur (jusqu’à 30% pour la
maçonnerie creuse), ainsi que sa rigidité à la rupture (deux fois plus élevée). Ceci conforte les recommandations
des règles parasismiques actuelles concernant le remplissage des joints verticaux
13

Vérin hydraulique
Dalle d’essai
d
Portique de réaction
Fig. 1.6 – Dispositif expérimental des essais du CSTB [26]
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Casque
Brique de maçonnerie
Tige d’ancrage
Fig. 1.7 – Faciès de fissuration en escalier due à la rupture des joints en mortier.
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Fig. 1.8 – Faciès de fissuration sur les diagonales des briques due à la rupture de la maçonnerie.
14

en zone sismique.
15

1.2.3 Modélisation numérique de structures avec murs en maçonnerie
Le comportement de la structure dépend fortement des matériaux constitutifs. Il est toutefois
impossible de prendre en compte isolément la géométrie de tous les constituants d’une structure :
béton, acier, blocs de maçonnerie. Il est donc nécessaire de disposer de modèles de composants
intermédiaires pour représenter les éléments structuraux et les matériaux qui les constituent.
Dans un premier temps, le comportement des matériaux constitutifs (béton, acier, blocs de
maçonnerie) est abordé.
Dans un deuxième temps, les modèles utilisés pour représenter le comportement de matériaux
à l’échelle des éléments de structure sont présentés.
Enfin, la modélisation d’éléments structuraux est abordée.
Comportement des matériaux constitutifs
Béton Le béton constitue un matériau composite présentant un comportement unidirectionnel
fortement non-linéaire et disymétrique en traction/compression.
Lors d’un chargement cyclique, le béton subissant alternativement des tractions et des compressions,
les fissures s’ouvrent et se referment suivant le sens de la sollicitation, entraînant,
respectivement, la diminution puis l’augmentation de la rigidité du matériau. Le comportement
unidirectionnel du béton, principalement contrôlé par la variation de la rigidité du béton, peut
être modélisé par la théorie de l’endommagement. Le modèle décrit par Mazars [64] définit une
variable d’endommagement isotrope D qui caractérise la baisse de rigidité en traction et en
compression :
E = (1 − D)E0, (1.1)
où E et E0 sont les modules d’Young réel et initial du matériau. Cependant, ce modèle n’est pas
adapté au chargement cyclique. D’autres modèles d’endommagement ont été adaptés aux chargements
dynamiques et cycliques, comme le modèle de Laborderie [57] qui utilise des variables
d’endommagement différentes en traction et en compression. Ce modèle permet de déterminer
une déformation anélastique (cf. fig. 1.9).
Toutefois, le comportement du béton ne peut être résumé au comportement unidirectionnel.
L’apparition des fissures induit en effet, la perte du caractère isotrope du matériau. L’anisotopie
ainsi développée modifie le comportement du béton selon la direction du chargement et selon
l’orientation des fissures. Afin de prendre en compte l’effet de cette anisotropie, des modèles
de béton ont été développés sur la base de la théorie de la plasticité. En définissant l’évolution
des surfaces de charge plastiques, le comportement sous chargement multidirectionnel peut être
modélisé.
Acier Le comportement de l’acier est symétrique en traction/compression et caractérisé par
une phase élastique jusqu’à la plastification. Un écrouissage jusqu’à la rupture est observée.
Plusieurs modèles ont été proposé pour modéliser le comportement de l’acier. Dans plusieurs
cas, l’acier est modélisé par une loi élastoplastique avec écrouissage cinématique, représenté par
un module d’écrouissage H qui vaut 0 pour le cas d’un matériau élastoplastique parfait (cf. fig.
1.10). La pente après plastification Ep vaut alors :
Ep = EH
. (1.2)
(E + H)
La loi de Menegotto-Pinto [65] possède un plateau plastique, suivi d’un écrouissage jusqu’à
la ruine (ɛu, σu) (cf. fig. 1.11) :
� �4 ɛsu − ɛ
σ = σsu − (σsu − σsy)
. (1.3)
ɛsu − ɛsh
Sous chargement cyclique, l’écrouissage est cinématique. La loi reproduit l’effet Bauschinger.
16

σ(MPa)
Fig. 1.9 – Loi de comportement du béton en tracion/compression par la loi d’endommagement
de Laborderie [57]
σ
σ
su
sy
Contrainte (MPa)
ε sy
Ep = EH/(E+H)
ε
su
ε
Déformation
Fig. 1.10 – Loi de comportement élastoplastique avec écrouissage positif H
σ
σ
su
sy
Contrainte (MPa)
ε
sy
ε ε
sb
su
Déformation
Fig. 1.11 – Loi de comportement Menegotto-Pinto pour l’acier [65]
17

Éléments de maçonnerie (briques) Le comportement des éléments de maçonnerie a été
souvent négligé ou modélisé par des lois de comportement simplifiées, en raison du fait que la
maçonnerie est considérée comme un élément non structurel. Afin de mieux approcher le comportement
non-linéaire du panneau de maçonnerie, des modèles utilisant des lois de comportement
nonlinéaires ont été développées, d’une part, pour les éléments constituant la maçonnerie : mortier
et blocs de maçonnerie ; d’autre part, pour l’ensemble ≪mortier-maçonnerie≫.
Ainsi, Dhanasekar et al [21] ont développé un modèle de brique de maçonnerie en utilisant des
lois non-linéaires permettant de reproduire la fissuration des briques, la rupture du joint de
mortier, la ruine des blocs. Cruz Diaz et al [26] ont proposé une modélisation de la brique de
maçonnerie par un modèle élastique orthotrope à endommagement isotrope à contraintes planes.
Le modèle, du fait de la prise en compte de l’orthotropie, est adapté aux briques de maçonnerie à
alvéoles. L’endommagement est introduit par l’intermédiaire d’une variable d’endommagement
scalaire D. Il est fonction de l’état des ”contraintes effectives” dans l’espace des contraintes
planes. L’endommagement est supposé contrôlé par la plus grande contrainte principale. La loi
de comportement non-linéaire du modèle permet de déterminer une cohésion effective ˜σRi dans
une direction i. Ce paramètre permet de calculer la résistance à la compression dans une direction
i, notée σRi, dont la fonction décrit une ellipse autour des résistances horizontale et verticale
à la compression de la brique (cf. fig.1.12).
Joint Comme rappelé précédemment, le contact entre la maçonnerie et le portique joue un
rôle important dans le comportement des structures testées à Sofia [45] et à Ispra [72], car la
fissuration du panneau est principalement concentrée à cet endroit. Le choix d’un modèle qui
représente au mieux la liaison portique-maçonnerie s’impose donc.
Les premières modélisations de portiques avec remplissage en maçonnerie ont préconisé la
mise en place de modèles de contact portique/panneau. Ainsi, Mallick et Severn [63] ont proposé
un modèle de contact à cet effet. King et Panday [55] utilisent le modèle d’interface de Goodman
pour modéliser le contact portique/panneau. Le modèle suppose une résistance nulle à la traction
perpendiculaire à l’interface et une résistance élevée à la compression dans cette direction. La
résistance au cisaillement de l’élément dépend de la cohésion et du frottement entre les briques.
Lotfi et Sing [59] proposent un modèle d’interface capable de représenter l’apparition et la
propagation de fissures sous chargement normal et horizontal. Le modèle d’interface s’appuie
sur une loi de comportement élastoplastique avec adoucissement. Les surfaces de plasticité sont
de type Mohr-Coulomb.
Modélisation à l’échelle intermédiaire par changement d’échelle
La modélisation des matériaux à l’échelle intermédiaire permet de représenter le comportement
d’un élément de structure (poutre, plaque) ”équivalent” qui prend en compte les hétérogénéités.
Cette approche est utilisée pour déterminer le comportement de la maçonnerie et des poutres
en béton armé.
modèle à fibres La modélisation des poutres et poteaux en béton armé en utilisant les lois de
comportement locales nécessite souvent une discrétisation fine des éléments de la poutre (béton,
armatures longitudinales et transversales) et l’emploi d’éléments volumiques. La mise en oeuvre
d’un telle modélisation s’avère rapidement lourde et le coût de calcul excessif. Pour réduire la
complexité de modélisation, on peut profiter du fait que la section de la poutre est constante
sur une hauteur donnée. L’élément de poutre est représenté par sa section et on considère le
reste de la poutre comme un assemblage de fibres de mêmes caractéristiques que les différents
éléments de la section (cf. fig. 1.13). Ces éléments de section ont des lois de comportement locales
semblables à celles présentées au paragraphe 1.2.3 : Les efforts résultants sont alors obtenus par
intégration sur la section.
18

Pour déduire les contraintes sur toute la hauteur de l’élément de poutre, le modèle à fibres utilise
les hypothèses simplifiées des théories d’Euler-Bernoulli ou de Timoshenko, qui représentent
bien le comportement linéaire et non-linéaire des poutres. Ainsi, il est possible d’utiliser les lois
locales dans la section et déterminer ainsi l’interaction dans l’élément de poutre entre effort
axial, moment fléchissant et effort tranchant qui apparaissent dans la section.
Un modèle à fibre a fait l’objet d’une programmation dans CASTEM. Il a pour support l’élément
fini de poutre de Timoshenko. Le modèle permet de relier les efforts globaux dans l’élément de
poutre aux déformations globales.
Nx = f(ɛx) (1.4)
My,z = f(χy,z) (1.5)
Ty,z = f(γy,z)) (1.6)
Modélisation de la maçonnerie Dans le panneau de maçonnerie, les briques et les joints
en mortier sont arrangés de façon périodique. Il est donc naturel de considérer comme cellule de
base l’ensemble briques-joints (cf. fig. 1.14).
La cellule de base doit former un matériau homogène et représentatif du comportement macroscopique
des briques et des joints dans un panneau de maçonnerie soumis à différents types
de chargement. Pour aboutir à un tel matériau, plusieurs techniques d’homogénéisation ont
été proposées. L’approche multicouche peut être utilisée en supposant l’ensemble briques/joints
comme un empilement de briques et de joints - ce qui suppose de négliger les joints verticaux. Le
modèle dépend de l’épaisseur de chaque constituant. En utilisant des modèles prenant en compte
l’endommagement [64] pour le comportement des deux couches de matériaux, on peut identifier
le comportement de l’ensemble du milieu multicouche et estimer ses caractéristiques mécaniques.
Le modèle reste néanmoins très sensible à l’épaisseur du joint. Afin de prendre en compte la
contribution du joint vertical, des modèles de matériau homogénéisé ont été développés en deux
étapes [26] : les briques et les joints horizontaux sont modélisés par une brique et un joint horizontal
; ensuite, le matériau homogénéisé obtenu et un joint vertical forment la cellule de base
finale (cf. fig. 1.15). Ce processus d’homogénéisation s’adapte bien uniquement dans le cas où
les rigidités des briques Eb et du mortier Em ne sont pas trop éloignées ( Eb ≤ 10).
Em
Une autre technique d’homogénéisation de la maçonnerie consiste à chercher à homogénéiser
les déformations de la cellule de base et assurer son équilibre, au lieu d’homogénéiser les caractéristiques
des matériaux constitutifs. Ainsi, Combescure [17] propose une loi de comportement
basée sur la théorie de la plasticité pour relier les déformations aux efforts généralisés. Le
modèle comporte deux surfaces de plasticité définies par deux critères de Rankine relatifs à la
grande et à la petite contrainte principale (en traction et en compression). Les surfaces de plasticité
sont des surfaces carrés dans l’espace des contraintes planes. La surface intérieure délimite
le domaine élastique du matériau. Elle possède un écrouissage cinématique, qui a une influence
directe sur la variable d’écrouissage isotrope de la surface extérieure, liée à la résistance limite du
matériau (cf. figs. 2.8, 2.9). L’avantage de ce modèle est de pouvoir modéliser le comportement
non-linéaire dans la maçonnerie (fissuration, dégradation de résistance, résistance résiduelle) et
de reproduire les phénomènes hystérétiques observés sous chargement cyclique. Les détails de
ce modèle sont présentés dans le paragraphe 2.3.1.
Modélisation finale d’éléments structuraux
Dans l’approche globale ou macroscopique, on modélise des éléments de la structure comme
un matériau homogène avec des lois de comportement globales. Ces lois sont des relations entre
une déformation généralisée (rotation, cisaillement ou déformation) et l’effort interne associé
(moment, effort tranchant ou effort normal), sans utiliser explicitement les lois de comportement
19

Fig. 1.12 – Résistance en compression dans une direction i σRi en fonction des résistances
verticale σv et horizontale σh et de la brique [26]
Armatures longitudinales
σ
v
φ
i
σ Ri
σ
h
Armatures transversales
Béton non confiné
Béton confiné
Fig. 1.13 – Modélisation d’une poutre en béton armé par un modèle à fibre
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111111111111111 111111111111111
000000000000000
000000000000000
000000000000000 111111111111111
111111111111111
000000000000000
111111111111111 111111111111111
000000000000000
000000000000000
000000000000000 111111111111111
111111111111111
000000000000000
111111111111111 111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111 000000000000000
Briques de maçonnerie
Joint en mortier
Fig. 1.14 – Ensemble brique/joint de mortier à prendre en compte dans une cellule de base pour
un modèle semi-local
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
Brique
Joint mortier
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
Matériau homogénéisé
Fig. 1.15 – Homogénéisation en 2 étapes d’une ensemble briques/joints horizontaux et verticaux-
Phase a) homogénéisation des briques et des joints horizontaux par un milieu multicouche 1 -
Phase b) : Homogénéisation du milieu multicouche 1 et des joints verticaux
20

locales.
Ce niveau de modélisation présente l’avantage d’alléger les calculs nécessaires à l’étude d’une
structure. Son inconvénient reste la détermination des paramètres des lois, qui dépendent non
seulement des caractéristiques des matériaux, mais également du comportement de l’élément
dans la structure. Ces lois globales sont déterminées par des approches phénoménologiques et
des règles semi-empiriques.
Modèles globaux des éléments linéiques : Les modèles globaux développés pour les
éléments linéiques représentent des relations entre le moment et la courbure ou la rotation
plastique, pour le comportement cyclique en flexion entre l’effort tranchant et la distorsion ,
pour le comportement cyclique sous cisaillement. Les modèles globaux sont compatibles avec le
modèle à fibre décrit précédemment pour des sollicitations monotones
Dans les bâtiments à portiques en béton armé, les poteaux et les poutres sont sollicités essentiellement
en flexion. Nous nous intéressons donc par la suite aux lois de comportement en flexion
des éléments linéiques.
L’observation du comportement au niveau d’une section d’un élément linéique en béton armé
sous chargement horizontale montre 3 phases :
– La fissuration de la section après une courte phase élastique,
– La plastification des aciers,
– La ruine de la section, par écrasement du béton et rupture des aciers.
De ce fait, la relation moment-courbure utilisée dans les lois de comportement en flexion est
généralement simplifiée en une courbe trilinéaire (phase élastique, fissuration du béton, plastification
des aciers) ou bilinéaire (fissuration du béton et plastification des aciers)(cf. fig. 1.17).
Certains modèles font l’hypothèse que les poutres sont soumises à une flexion simple sans force
normale appliquée. La contribution de l’effort normal est ainsi négligée dans ce type de loi.
Les modèles avec des relations moment-courbure linéaires ou trilinéaires permettent de retrouver
le comportement d’un poteau ou d’une poutre sous chargement monotone, mais sous chargement
cyclique, les cycles hystérétiques sont plus larges et l’énergie dissipée est surestimée [20].
Il convient donc, d’adapter ces modèles au chargement cyclique en modélisant l’hystérésis.
Un premier modèle hystérétique non-linéaire pour les poutres en béton armé a été proposé par
Clough et al [14]. Ce modèle permet de prendre en compte la dégradation de rigidité au rechargement.
Le modèle a été modifié et corrigé par Riddell et Newmark [75]. Wang et Shah [97] ont
introduit dans le modèle de Clough la notion d’endommagement cumulé, qui est fonction des
courbures successives. L’un des modèles hystérétiques les plus répandus est celui de Takeda. Le
modèle est défini par 16 règles de charge/décharge déterminées par les résultats d’un programme
expérimental réalisé à l’Université de l’Illilois [94]. La courbe moment-courbure du modèle est
trilinéaire et peut être différente selon le sens du chargement. Une version simplifiée de ce modèle
a été proposée (Otani [67], Litton [58]) en considérant une courbe moment-courbure bilinéaire
et 9 ou 11 règles hystérétiques. Saatcioglou et al [78] introduit dans le modèle de Takeda la prise
en compte de la dégradation de résistance lors de cycles de chargement.
Park et al [69] proposent un modèle basé sur une courbe trilinéaire de Takeda avec prise en
compte de la dégradation de rigidité, du pincement et de la dégradation de résistance lors des
cycles. Fajfar [39] propose une autre alternative à la modélisation des éléments linéiques par 3
éléments de poutres. Les deux éléments non-linéaires d’extrémité sont remplacés dans ce modèle
par deux ressorts en rotation. Ces ressorts représentent les connexions poteau/poutre (cf. fig.
1.18). Ils sont caractérisés par une relation moment-rotation non-linéaire comme le montre la
figure 1.19.
Modèlisation globale des panneaux de maçonnerie : Plusieurs essais sur des murs en
maçonnerie ([27],[29] ...) ont montré l’apparition d’une bielle de compression dans la maçonnerie
lors d’une sollicitation horizontale induisant le cisaillement du mur. Ceci conduit à modéliser
le panneau de maçonnerie à l’aide de ”bielles”. Un modèle de diagonale équivalente a aussi été
21

Eléments non−linéaires de maçonnerie
Joint en mortier
000000000
111111111
111111111
000000000
000000000
111111111
111111111
000000000
Brique de maçonnerie
Eléments non−linéaires de poutre
Armatures d’acier
Béton
Comportement nonlinéaire des matériaux
−1−
Elément représentatif du mur
Comportement nonlinéaire
monotone de poutre
−2−
Modèle de diagonales équivalentes
Comportement nonlinéaire
cyclique de poutre
−3−
Fig. 1.16 – Détermination du comportement global des éléments de structure
Moment
(φ y,My)
E fissuré
a)
Courbure
Moment
(φ u,Mu)
(φ y,My)
(φ f,Mf)
E
élas
E fissuré
b)
(φ u,Mu)
Courbure
Fig. 1.17 – Formes caractéristiques des courbes moment-courbure de lois de comportement nonlinéaires
des poutres en béton armé
22

essorts en torsion non linéaire
élément de jonction
élément linéaire sans masse
Fig. 1.18 – Modélisation de rotules plastiques selon Fajfar [39]
M
Fig. 1.19 – Loi moment-rotation des ressort modélisant les rotules plastiques selon Fajfar [39]
proposé par le CSTB [29].
Les modèles utilisant une seule diagonale équivalente sont évidemment insuffisants pour reproduire
le comportement des panneaux de maçonnerie sous chargement cyclique, les sollicitations
hors-plan du mur et les défauts de liaison portique/panneau. Des modèles ont été proposés qui
adoptent deux ou plusieurs diagonales équivalentes avec des lois de comportement non-linéaires.
Ainsi, Klinger et Bertero [56] ont proposé le premier modèle de diagonales équivalentes avec
des régles hystérétiques. Le modèle comporte deux diagonales équivalentes reliant les joints
poteau/poutre et permet de simuler l’adoucissement dans le panneau de maçonnerie et la
dégradation de rigidité observée sous chargement cyclique (cf. fig. 1.20). Le modèle de Doudoumis
et al [21] a permis de simuler la perte de résistance due au chargement cyclique. La
diagonale équivalente ne résiste qu’en compression et sa loi de comportement présente un palier
à la résistance maximale du mur, suivi d’un adoucissement jusqu’à la ruine (cf. fig. 1.21).
D’autres auteurs ([93], ...) proposent des modèles globaux de maçonnerie contenant plus de
deux diagonales équivalentes afin d’estimer la contribution d’une zone de compression plus large
dans le panneau (cf. fig. 1.22).
D’une façon générale, il est difficile d’extrapoler les modèles de ”bielles équivalentes”. La formation
de ces bielles dépend fortement du type de matériau et de la géométrie.
23
θ

Décharge
force axiale
Courbe de traction
Recharge
Chargement élastique
déformation axiale
Fig. 1.20 – Loi de comportement selon Klinger et Bertero [56]
Décharge
Dégradation de résistance
jeu initial
force axiale
déformation axiale
Charge et recharge élastique
Fig. 1.21 – Loi de comportement selon Doudoumis [21]
Portique
Sens du chargement
Diagonales équivalentes
Fig. 1.22 – Modèle à plusieurs diagonales équivalentes [93]
24

1.3 Modélisation probabiliste des incertitudes
1.3.1 Aléas et incertitudes du problème
Les grandeurs intervenant dans l’estimation de la résistance d’une structure comportent une
part plus au moins importante d’incertitude. Ces incertitudes induisent une erreur sur l’estimation
que l’on fait de la réponse de la structure et de sa résistance. Il est, de ce fait, primordial
d’en tenir compte dans le dimensionnement des structures.
L’estimation de la résistance d’une structure à un chargement sismique comporte encore plus
d’incertitudes par la nature aléatoire du chargement lui-même. En plus du chargement, la structure
peut comporter des sources d’incertitudes aussi bien dans les caractéristiques mécaniques
des matériaux constitutifs (résistances, composition, montage...) que sur l’assemblage de ses
éléments, ou les modèles utilisés pour estimer sa résistance globale.
Ces incertitudes sont évidemment bien plus importantes dans le cas de bâtiments anciens. Les
règlements et codes de calcul imposent des coefficients de sécurité pour se prémunir de ces aléas.
Le choix de ces coefficients de sécurité est souvent basé sur des résultats empiriques et le retour
d’expérience. Ces coefficients constituent souvent une bonne approximation à moindre coût, vu
la simplicité de leur application. Pour le cas des bâtiments existants, l’application des règles de
calcul destinées au dimensionnement de bâtiments neufs avec les mêmes coefficients de sécurité
utilisées pour le bâti neuf comporte le risque d’utiliser des modèles de calcul inadaptés au comportement
actuel de la structure.
Aux incertitudes déjà présentes pour la construction neuve, viennent s’ajouter de nouvelles inconnues
qui sont :
– répartition des masses dans la structure : la répartition des masses peut changer dans le
temps par les charges d’exploitation, les interventions sur le bâtiment (construction ou
démolition de cloisons, vérandas, cheminées, carrelage...).
– évolution des caractéristiques mécaniques des matériaux : fissuration du béton, corrosion
des armatures, fatigue des matériaux, .. ;
– évolution des caractéristiques du sol et des fondations : tassement, consolidation... ;
– changement de la destination du bâtiment : changement des charges d’exploitation
– changement du voisinage du bâtiment : les bâtiments voisins peuvent s’appuyer sur le
bâtiment et provoquer des chocs lors d’un séisme .
La précision de l’estimation de la résistance aux séismes d’un bâtiment ancien dépend donc de la
connaissance, non seulement du dimensionnement de la structure à sa construction, mais aussi
de toute l’histoire du bâtiment et de l’évolution de ses caractéristiques.
1.3.2 Modélisation des incertitudes
Modèle paramétrique
Les incertitudes aléatoires d’un modèle de bâtiment sont relatives en partie aux données ou
paramètres du modèle. Chaque paramètre identifié comme une source d’incertitudes peut être
modélisé par une variable aléatoire. La modélisation de l’ensemble des paramètres comme variables
aléatoires conduit à une modélisation probabiliste ”paramétrique” des incertitudes. Face
au grand nombre de paramètres d’une structure et du chargement appliqué, il est nécessaire
de limiter le nombre de variables aléatoires à considérer et de choisir les paramètres les plus
incertains auxquels la réponse de la structure est la plus sensible.
Le principal problème à résoudre pour construire un modèle paramétrique robuste réside dans
l’identification des lois de probabilité des variables aléatoires correspondantes. Il existe dans
la bibliographie des lois de probabilités qui sont plus ou moins adaptées aux paramètres du
modèle qu’elles représentent. Le recours à des lois usuelles comme la loi Gaussienne, Gamma
ou Log-Normale est souvent effectué, bien que le choix d’utiliser de telles variables aléatoires
pour modéliser les paramètres du modèle soit souvent purement subjectif, arbitraire et parfois
inconsistant.
25

L’utilisation du principe du maximum d’entropie permet de construire les lois de probabilité
adéquates de façon objective en utilisant uniquement l’information disponible sur les paramètres
considérés ([13], [34]). Les modèles paramétriques sont très répandus dans les études probabilistes.
D’ailleurs, les règlements, (tels les Eurocodes ou les FEMA), font appel à des modèles
paramétriques pour déterminer la fiabilité des structures et calibrer leurs coefficients de sécurité.
On cherche en effet de plus en plus souvent à estimer des grandeurs probabilistes telles que les
probabilités de ruine, de défaillance ou de dommage. Ces grandeurs sont souvent estimées par
des modèles paramétriques ([82], [18]).
Pour le cas de la prévention des bâtiments contre les séismes, plusieurs études ont été menées
pour estimer la fiabilité des bâtiments anciens ou nouveaux face aux séismes. La vulnérabilité
des bâtiments est estimée par des approches fiabilistes ou probabilistes faisant souvent appel à
la modélisation paramétrique des incertitudes. En effet, compte tenu de la nature aléatoire de
l’accélération sismique, il paraît inévitable de recourir à l’analyse probabiliste pour mesurer le
comportement d’une structure au séisme. Ainsi, plusieurs méthodes fiabilistes sont présentées
dans la littérature pour tenter d’estimer une probabilité de ruine d’une structure soumise au
séisme. La présence de plusieurs synthèses de ces méthodes fiabilistes dans la littérature scientifique
([73], [30], [11], [4], [81]) dénote de l’importance de cette approche dans la prévention
du risque sismique. Dans les méthodes fiabilistes, nous pouvons distinguer deux approches : la
première consiste à rendre aléatoire le chargement, par un processus aléatoire ([98], [15]) ; la
seconde privilégie d’introduire l’aléa dans les paramètres de la structure (rigidités, résistance,
géométrie, ...). Dans ce cas, la ruine de la structure est caractérisée par la fonction scalaire
g(X), appelée fonction état limite. Elle dépend des variables aléatoires X de la structure et
peut aussi dépendre du temps t, comme dans le cas d’un chargement sismique. La structure est
considérée saine tant que g(X, t) est positive et la ruine est observée lorsque g(X, t) est négative.
La probabilité de ruine Pf correspond alors la probabilité pour que g(X, t) < 0 :
Pf { min g(X, t) < 0}
t∈[0,T ]
Pour déterminer cette probabilité, certains modèles ([60], [8], [24]) proposent de déterminer une
forme analytique de la fonction état limite g(X, t) et de déterminer Pf par simulation numérique
de Monte Carlo. L’inconvénient de cette approche est la difficulté d’obtenir des formules analytiques
décrivant le comportement d’une structure au séisme ; sans compter le coût de calcul élevé
que nécessite la simulation de Monte Carlo, pour atteindre de faibles probabilité, spécialement
pour des structures complexes et pour un calcul nonlinéaire (voir [77], [66]).
Une autre approche largement répandue dans l’étude de la vulnérabilité des structures est l’approximation
des surfaces d’état limite, caractérisées par l’équation g(X, t) = 0}, à des formes
simples. Les méthodes F ORM (First Order Reliability Method) ou SORM (Second Order Reliability
Method) peuvent être employés dans ce sens (voir [80], [31],[32]). D’autres modèles
proposent l’approximation de la fonction état-limite g(X, t) par une surface de réponse (voir
[95], [54], [49]).
Dans le programme européen RISK-UE [76], un indice de vulnérabilité est défini pour chaque
classe de construction représentant la vulnérabilité la plus probable pour ce type de bâtiment.
Les dommages subis lors d’un séisme sont estimés en fonction de l’indice de vulnérabilité. Pour
tenir compte des incertitudes, la méthode définit une probabilité d’endommagement qui dépend
du taux moyen d’endommagement. On peut ainsi mesurer la probabilité d’une structure de
dépasser un endommagement fixé.
Modèle non paramétrique
Les modèles probabilistes paramétriques permettent de prendre en compte l’aléa des données
sur certains paramètres du modèle, mais ne peuvent tenir compte des autres sources d’incertitudes
non paramétrées par le modèle. En effet, l’approche paramétrique n’a accès qu’aux
paramètres définis par la modélisation adoptée.
26

Dans la modélisation non paramétrique des incertitudes, ce sont les opérateurs du problème
qui sont aléatoires. Une mesure de probabilité est introduite qui porte sur une classe des
opérateurs linéaires définis positifs plus large que celle définie par les modèles paramétriques.
La modélisation probabiliste non paramétrique permet de prendre en compte les incertitudes de
données et d’une certaine façon les incertitudes de modélisation.
La modélisation est fondée sur l’introduction de l’aléa sur les matrices généralisées d’un modèle
matriciel réduit sur la base des modes propres. Ces variables aléatoires sont les matrices généralisées
de masse, de rigidité et d’amortissement dans le cas des sollicitations dynamiques.
Le modèle probabiliste non paramétrique a été développé pour des matrices aléatoires symétriques
définies positives ([87, 88]) à partir du principe du maximum d’entropie issu de la théorie de
l’information ([83]).
Dans le cas du modèle non paramétrique, les variables aléatoires sont à valeurs dans l’ensemble
des matrices symétriques définies positives dont les inverses sont du second ordre. La validité des
prévisions de ce modèle probabiliste a été vérifiée numériquement et expérimentalement sur des
structures complexes (voir [92], [36], [12], [79]). La modélisation non paramétrique des incertitudes
s’applique à un large éventail de problèmes de réponse forcée linéaire, aussi bien en basses
fréquences ([91]), qu’en moyennes fréquences ([90]). Une première application de la modélisation
non paramétrique des incertitudes au cas d’une sollicitation sismique a été présentée par Desceliers
et al pour un problème de dynamique non linéaire ([34], [33]).
1.4 Stratégie adoptée
L’estimation de la résistance des bâtiments anciens aux sollicitations sismiques comporte
plusieurs spécificités qui rendent difficile voire incohérente l’application des règlements parasismiques
destinés aux constructions neuves. Ce constat est de plus en plus partagé par les
scientifiques et les concepteurs des codes parasismiques, d’où l’apparition de règles spécifiques à
la réévaluation et au renforcement du bâti existant et le développement des recherches dans ce
domaine.
Il est donc utile de concevoir une méthodologie de calcul de la réponse d’une structure à un
chargement sismique adapté aux bâtiments anciens.
Nous développons par la suite une méthodologie adaptée aux bâtiments à portiques en béton
armé avec remplissage en maçonnerie. Le comportement au séisme est estimé à l’aide d’une
modélisation par éléments finis 3D du bâtiment. Le modèle permet d’introduire différentes lois
de comportement linéaires et non-linéaires des éléments constitutifs et d’appliquer des cas de
charge statiques et dynamiques, afin de comparer les réponses obtenues selon les cas traités.
Compte tenu, d’une façon générale, de la complexité des structures de bâtiment, il nous a paru
plus judicieux d’employer des modèles globaux pour représenter le comportement des éléments
de structure (poteaux, poutres, murs en maçonnerie, planchers). L’identification des paramètres
de ces lois se fait à l’aide d’une modélisation locale d’éléments isolés (approche locale-globale).
Le calcul déterministe permet de donner une estimation de la résistance d’une structure.
Toutefois, le calcul déterministe se heurte au peu de certitude que l’on a sur l’état actuel du
bâtiment, avec tout ce que cela induit comme incertitudes sur les charges, la distribution des
masses et les propriétés mécaniques des matériaux. L’emploi de méthodes probabilistes robustes
permet de tenir compte de ces aléas. Ce constat est encore plus vrai dans le cas de la réévaluation
d’un bâtiment existant, dont l’histoire a profondément modifié les propriétés mécaniques et physiques.
L’incertitude sur ces paramètres s’en trouve donc augmentée et le nombre de variables
aléatoires à considérer devient alors rapidement élevé. Une modélisation paramétrique est alors
difficilement envisageable, compte tenu de ce grand nombre de variables aléatoires. De plus, le
peu d’information disponible sur les paramètres rend difficile l’identification de lois de probabilités
objectives pour chaque variable aléatoire. Le modèle non paramétrique semble donc être le
modèle probabiliste le mieux adapté à l’étude de la réponse élastique dynamique de la structure.
La modélisation probabiliste non paramétrique des incertitudes permet de prendre en compte
27

globalement les incertitudes de modélisation (erreurs dues aux fonctions de formes des éléments
finis, au maillage, aux hypothèses concernant la cinématique).
Pour la réponse non-linéaire de la structure, les nonlinéarités sont localisées sur des éléments
connus et d’extension limitée. Il est donc possible d’utiliser une modélisation paramétrique pour
mesurer l’incertitude dans ces zones nonlinéaires. Le modèle non paramétrique, appliquée à la
partie élastique du système dynamique associé au modèle paramétrique appliqué à la partie
non-linéaire du même système, formeront ainsi un modèle mixte qui permettra de prendre en
compte l’aléa dans l’ensemble du système non-linéaire dynamique.
28

Chapitre 2
Modèle moyen de la structure de
référence
Sommaire
2.1 Choix de la structure de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Stratégie de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Identification du comportement des éléments de la structure . . . . 33
2.3.1 Comportement des matériaux constitutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Comportement d’éléments structuraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3 Détermination des paramètres physiques des éléments de structure . . . 43
2.3.4 Modes de ruine et critères de résistance ultime . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Modélisation de la structure de référence et résultats . . . . . . . . 56
2.4.1 Modélisation par éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Hypothèses de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.3 Calcul linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.4 Calcul non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.5 Modèle éléments finis simplifié de la structure . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
29

2.1 Choix de la structure de référence
Le présent travail est lié à l’étude engagée par le CSTB pour le compte du Réseau Génie Civil
et Urbain (RGCU) sur le renforcement parasismique du bâti existant [74]. Il est donc naturel de
choisir le bâtiment à étudier parmi ceux qui ont été retenus par le groupe de travail. Les types
de bâtiment retenus par le groupe de travail, en vue de leur vulnérabilité sismique et de leur
importance dans l’ensemble du parc immobilier, sont :
– Bâtiments réalisés entre 1945 et 1970, contreventés en portiques en béton armé avec remplissage
en maçonnerie,
– Bâtiments réalisés entre 1945 et 1970, contreventés par panneaux de maçonnerie porteuse
chaînée.
Dans le cadre de ce travail de thèse, nous avons choisi d’étudier les bâtiments contreventés en
portiques en béton armé (BA) avec remplissage en maçonnerie. Le groupe de travail a sélectionné
une structure de référence constituée par une villa comportant un étage (cf. figures 2.1, 2.2, 2.3
et 2.4).
La structure du bâtiment est formée d’une ossature ”poteaux-poutres” en béton armé, avec
3 murs de remplissage en maçonnerie. La maçonnerie utilisée dans ce bâtiment est formée de
blocs d’agglomérés pleins. La structure repose sur un système de fondations isolées, reliées par
des poutres qui supportent le plancher bas du bâtiment. Le plancher haut (+2,36m) s’appuie
aussi sur un schéma de poutres en béton armé. Les planchers sont en béton armé coulé sur place
d’épaisseur 12 cm.
La toiture du bâtiment est formée de poutres en béton armé, sur lesquelles sont posés les panneaux
et les tuiles de la toiture.
Nous présentons ci-dessous les caractéristiques de la structure étudiée, ainsi que la distribution
de charges appliquées :
– Toiture :
– Charge surfacique de la toiture (poids propre + charge d’exploitation) : 130 kg/m 2 ,
– Surface totale de la toiture : 163,1 m 2 ,
– Charge totale de la toiture supportée par les poutres BA de la toiture : 21,2 t,
– Charge totale de la toiture (poutres comprises) : 29,16 t.
– Plancher haut du RDC :
– Surface totale : 167,3 m 2 ,
– Surcharge d’exploitation : 50kg/m 2 ,
– Surcharge totale : 8,37 t.
– Plancher bas de RDC :
– Surface totale : 145,8 m 2 ,
– Surcharge d’exploitation : 50kg/m 2 ,
– Charge des façades (autres que les murs en maçonnerie) : 20 kg/m 2 =⇒ 8,2 t,
– Surcharge totale : 7,29 t.
– Centre de torsion C :
– Sans mur : XC= 5,26 m XC= -2,05 m,
– Avec murs : XC= 6,51 m XC= -1,03 m.
– Centre de gravité G :
– Sans mur : XG= 5,6 m YG= -4,68 m,
– Avec murs : XG= 6,9 m YG= -4,04 m.
30

(a)
(b)
(c)
Y
X
Y
X
Y X
Fig. 2.1 – Vues en perspective (a et b) et de dessus (c) du bâtiment de référence
31

Fig. 2.2 – Plan RDC de la structure
Fig. 2.3 – Plan de la toiture de la structure
Fig. 2.4 – Coupe A-A de la structure
32

2.2 Stratégie de calcul
L’étude du comportement de la structure sous chargement sismique est réalisée à l’aide
d’une modélisation numérique par éléments finis à l’aide du code CAST3M 2000. La structure
est modélisée en 3 dimensions, ce qui permet entre autres d’étudier l’effet de torsion d’ensemble
et les mouvements hors plan des murs en maçonneries.
La complexité de la structure impose l’utilisation d’un niveau de modélisation adaptée. Il est, en
effet, difficilement envisageable d’utiliser une modélisation fine des différents matériaux constitutifs
de la structure (béton, armatures d’acier, blocs de maçonnerie..) à l’échelle de la structure de
référence. L’utilisation d’éléments structuraux (poutres, panneaux,...) nécessite toutefois l’identification
de leurs paramètres caractéristiques, qui dépendent des caractéristiques physiques des
matériaux (résistance à la traction/ compression, module d’Young,...).
Pour ce faire, la méthodologie suivante de passage du niveau local au niveau global de
modélisation a été utilisée [19] :
– Modélisation fine d’éléments isolés de la structure (portique isolé, panneau de maçonnerie)
– Détermination et validation des paramètres caractéristiques des lois de comportement
globales des éléments de structure.
– Modélisation de la structure complète par les éléments testés avec les lois de comportement
globales
2.3 Identification du comportement des éléments de la structure
2.3.1 Comportement des matériaux constitutifs
Une modélisation des matériaux est nécessaire à l’identification des paramètres caractéristiques
des modèles globaux utilisés pour modéliser les portiques en béton armé. La modélisation d’un
portique simple est faite en utilisant le modèle à fibres implanté dans CAST3M (cf. fig 2.5). Ce
modèle permet :
– D’une part, de déterminer les paramètres du modèle global ;
– D’autre part, de comparer les résultats obtenus par les deux niveaux de modélisation, pour
pouvoir ainsi justifier l’emploi des modèles globaux, au sein de la structure de référence.
Le modèle à fibres permet de déterminer la loi de comportement de l’élément de poutre de
Timoshenko à partir de la description géométrique de la section et des lois de comportement
uniaxiales pour chaque matériau constitutif (béton, acier,...).
Béton
Le modèle d’Ottosen [68] est utilisé. Il représente bien les comportements observés dans le
béton, à savoir, l’adoucissement, l’anisotropie dûe à la fissuration,... Il s’agit d’un modèle de
comportement des matériaux fragiles écrit selon l’approche des modèles de fissuration à direction
fixe (les fissures gardent une direction constante au cours du calcul). Le critère de première
fissuration est un critère de contraintes principales maximales (critère de Rankine).
La loi de comportement est construite en décomposant les déformations en déformations élastiques
et déformations inélastiques dues à la fissuration. La relation entre contraintes et déformations
inélastiques est donnée par l’Eq. (2.1).
� ˙wn
˙wt
�
=
� 1
N
τ
GsN
0
wn
Gs
� � ˙σ
˙τ
�
, (2.1)
où wn et wt sont les déplacements relatifs normal et tangent des lèvres de la fissure, N est la
raideur dans la direction perpendiculaire à la fissure et Gs le coefficient de cisaillement.
Ce modèle réalise un couplage entre les comportements en cisaillement et en traction (lorsque
33

la fissure s’ouvre, la raideur de cisaillement diminue). Il simule aussi la refermeture des fissures,
et permet d’effectuer des calculs cycliques et dynamiques.
Les caractéristiques du modèle sont résumées dans le tableau 2.1.
Acier
Paramètre Notation Valeur
Module d’Young E 30000 MPa
Résistance maximale en compression fc 32 MPa
Déformation en compression pour fc εpc = 2fc/E 0,2 %
Résistance maximale à la traction Ft 3,2 MPa
Déformation ultime en traction εpt = 10ft/Et 0,1%
Pente d’adoucissement Z 100
Coefficient de Poisson ν 0.25
Masse volumique ρ 2500 kg/m 3
Tab. 2.1 – Caractéristiques du béton
Le modèle de Menegotto-Pinto [65] est utilisé, qui suppose que sous chargement monotone,
le matériau présente un plateau plastique suivi d’un écrouissage jusqu’à la rupture. Le modèle
prend en compte le flambement sous compression. Les paramètres du modèle de l’acier sont
décrites dans le tableau 2.2.
Maçonnerie
Paramètre Notation Valeur
Module d’Young E 200000 MPa
Limite d’élasticité fe 400 MPa
Contrainte limite à la rupture feu 500 MPa
Déformation de début d’écrouissage Epe 2,3 %
Déformation ultime Epu 9,8%
Coefficient de Poisson ν 0,3
Masse volumique ρ 7800 kg/m 3
Tab. 2.2 – Caractéristiques de l’acier
La présence d’un remplissage en maçonnerie dans un portique augmente la rigidité du portique,
la résistance sous chargement horizontale ainsi que la dissipation d’énergie. Elle est
néanmoins aussi responsable d’une perte de ductilité du portique et de la transmission d’effort
tranchant important dans les extrémités des poteaux.
Le modèle d’endommagement développé par Combescure [17] est utilisé : il s’agit d’un modèle
basé sur la théorie de la plasticité, qui fonctionne en contraintes planes et qui comporte deux
surfaces de plasticité représentées par des carrés dans l’espace des contraintes principales (cf.
fig. 2.8) :
– une surface intérieure délimite le domaine élastique et possède un écrouissage cinématique ;
– une surface extérieure définit la résistance maximale du matériau et est associée à un
écrouissage isotrope.
Les déformations sont décomposées en déformations élastiques et plastiques
δɛ = δɛe + δɛp . (2.2)
34

a) Section de poteau
Béton non confiné
Béton confiné
Armatures
b) Section de poutre
Fig. 2.5 – Modélisation des sections du poteau (a) et de la poutre (b) par le modèle à fibre
a) Courbe Résistance en compression-Déformation du béton
X1.E5
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
Force(N)
Déformation
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
X1.E−2
b) Courbe Résistance en traction-Déformation du béton
X1.E4
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
Force(N)
Déformation
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
X1.E−3
Fig. 2.6 – Loi de comportement du béton de type Ottosen : en compression, on a un comportement
adoucissant avec résistance résiduelle. En traction, il y a chute de résistance jusqu’à la
ruine [17].
35

L’écoulement plastique se formule à partir des fonctions d’écoulement gi et des multiplicateurs
plastiques δλi comme suit :
g1 g2
δɛp = δλ1 + δλ2 + ... . (2.3)
σ σ
Les critères caractérisant les surfaces de plasticité sont les suivantes :
– Surface intérieure :
En traction :
σ1 − η1 − f ′ t < 0 , (2.4)
σ2 − η1 − f ′ t < 0 ,
Le vecteur (η1, η2) est associé à l’écrouissage cinématique.
En compression
– Surface extérieure :
En traction :
f ′ c − (σ1 − η1) < 0 , (2.5)
f ′ c − (σ2 − η2) < 0 ,
σ1 − kt ft < 0, , (2.6)
σ2 − kt ft < 0, ,
Le vecteur (η1, η2) est associé à l’écrouissage cinématique.
En compression
kc fc − σ1 < 0 (2.7)
kc fc − σ2 < 0
où kc et kt sont les paramètres définissant les écrouissages en traction et en compression.
Les caractéristiques mécaniques de la maçonnerie sont résumées dans le tableau 2.3.
Joint
Paramètre Notation Valeur
Module de cisaillement G 1500 MPa
Coefficient de Poisson ν 0,2
Masse volumique ρ 2100 kg/m 3
Tab. 2.3 – Caractéristiques des blocs de maçonnerie
Le modèle de joint utilisé pour représenter le contact panneau/portique est le modèle de joint
avec adoucissement implanté dans CAST3M ([16]). Le modèle tient compte de l’adoucissement
en traction et en cisaillement. Le mécanisme en traction est indépendant du mécanisme en
cisaillement. L’adoucissement en cisaillement est directement lié à l’angle φ de la surface de
Coulomb. Le phénomène de dilatance est négligé dans ce modèle.
36

X1.E3
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
Force (N)
Déformation
0.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Fig. 2.7 – Loi de comportement de l’acier : comportement symétrique élastoplastique avec
écrouissage positif
Surface plastique exterieure
(Ecrouissage isotrope)
kc fc
(η1,η2)
σ2
kt ft
σ1
Surface plastique interieure
(Ecrouissage cinematique)
Fig. 2.8 – Surfaces de plasticité dans l’espace des contraintes planes
Chargement monotone
Chargement cyclique
Fig. 2.9 – Loi de comportement de la maçonnerie
37
σ1
Wp
Wp0
ε1

kn
N/t0
N (S = 0)
N/t
φ
δ
p
δ
N < Nt
S S
.
Nt0 Nt0
N
(Nt − N)tang φ
(Nt− N)tang φ0
.
γ p
Fig. 2.10 – Loi de comportement du joint portique-maçonnerie
38
ks
Nt
γ
N

2.3.2 Comportement d’éléments structuraux
Poteaux et poutres
Les résultats expérimentaux et le retour d’expérience montrent que les portiques en béton
armé sous chargement cyclique sont caractérisés par le mode de rupture correspondant à la
formation des rotules plastiques en extrémité de poteaux. La formation de ces rotules peut
provoquer la rupture des aciers verticaux des poteaux et la ruine de la structure.
La modélisation de ce comportement conduit à introduire dans chaque poteau un ensemble
composé de 3 éléments (cf. figure 2.11) :
– Une barre centrale élastique isotrope. Compte tenu de l’apparition de fissures dans la partie
centrale, le module de rigidité employé dans cette partie de la structure correspond à la
rigidité fissurée. La valeur de ce module est déterminée par la courbe moment-courbure
de la section.
– 2 barres aux extrémités, qui représentent la zone d’apparition des rotules plastiques. La
longueur des rotules est déterminée en fonction des caractéristiques du poteau.
Le même modèle est utilisé pour représenter les poutres de la structure, avec une longueur de
rotule égale à 0,2 m.
La barre centrale a comme support l’élément de poutre d’Euler-Bernoulli, alors que les éléments
d’extrémité sont des éléments de poutre de Timoshenko.
La modélisation des rotules plastiques nécessite de choisir une loi de comportement globale qui
représente au mieux le comportement de l’élément structurel. Le choix s’est porté sur une loi
de comportement en flexion basée sur le modèle non linéaire de plasticité avec endommagement
proposé par Takeda [94]. Les avantages de ce modèle sont les suivants :
– Prise en compte de l’endommagement (courbe moment-courbure trilinéaire : phase élastique,
phase après fissuration, phase de plastification des aciers).
– Prise en compte de la charge verticale appliquée aux poteaux, par l’intermédiaire de la
courbe moment-courbure introduite dans le modèle.
– Description du comportement de la structure sous chargement cyclique, en tenant compte
des phénomènes de pincement et de dégradation de résistance lors de ce type de chargement.
Les lois de Takeda sont classiquement utilisées pour décrire le comportement des sections de
poutres ou de poteaux. Elles relient la courbure ou la déformation en cisaillement à l’effort
associé (moment fléchissant ou effort tranchant). Les paramètres nécessaires à ce type de lois
sont :
– la courbe trilinéaire moment-courbure représentant les phases élastique, fissurée et après
plastification (cf. fig. 2.12),
– les paramètres hystérétiques η, β et γ décrivant le comportement cyclique : η pour la baisse
de raideur, β pour le pincement et γ pour la dégradation de résistance.
Panneau de maçonnerie
Pour le comportement non-linéaire des murs, le modèle de diagonales équivalentes introduit
par D. Combescure [17] est utilisé. Il représente bien le comportement au séisme des murs de
remplissage en maçonnerie (cf. fig.2.14).
Le modèle de diagonales équivalentes comporte un élément barre avec une résistance nulle en
traction et avec une loi uniaxiale en compression décrite ci-dessous :
– Comportement sous chargement monotone
Fissuration : Le comportement est linéaire jusqu’au point (εe , Fe), d’où le module d’Young
s’écrit :
E0 = Fe
Sεe
(2.8)
Le second segment correspond à la fissuration du panneau, la nonlinéarité est due uniquement
à la baisse de rigidité et peut être caractérisée par une variable d’endommagement
39

H
Diagonales equivalentes
L
Rotules plastiques
Fig. 2.11 – Modélisation globale d’un portique par diagonales équivalentes
Moment (N.m)
(C ,M
0 0 )
(C fiss ,M fiss )
E0
(Cplas,Mplas
)
Eplas
Efiss
(C ,M
rup rup )
Courbure(m−1)
Fig. 2.12 – Courbe Moment-courbure caractéristique de la loi de Takeda
φy−
My
My+
Me+
My−
φ y+
φ y
My
My+
My−
Fig. 2.13 – Loi de comportement de Takeda [94]
40
∆ φ=
∆ E+/My+
∆ E+ =Energie dissipée
φy

D entre 0 et Dmax avec :
Dmax = 1 − 1 N
. (2.9)
E0 Sεc
Écrasement de la maçonnerie : Le comportement est plastique avec écrouissage positif et
négatif. Le module d’Young sécant est égal à (1 − Dmax)E0 et la déformation plastique est
égale à :
Nactuel
εplastique = εactuel −
) . (2.10)
(1 − Dmax)SE0
– Règles régissant l’hystérésis
Le comportement hystérétique est défini dans le modèle par 3 paramètres η, β ′ et γ. Il
reproduit les phénomènes de glissement et de pincement.
Règle de décharge : La décharge s’effectue avec le module d’Young endommagé (1 − D)E0
jusqu’à la force nulle, puis à force nulle lors de la phase de glissement.
Règle de recharge : La recharge est définie par des règles en fonction des déformations
totales et plastiques actuelles, de la déformation plastique ainsi que de la déformation
correspondant à la limite élastique εe.
De la traction à la compression, la première règle correspond au glissement jusqu’à la
limite εglissement, définie lors de la décharge par :
�
εglissement = γεplastique + γ ′ εe ,
εglissement = εactuel si εactuel > γεplastique + γ ′ (2.11)
εe .
La seconde phase est effectuée avec une ”raideur” Kpincement = EpincementS permettant
d’atteindre le point de coordonnée (εpincement,βNmax) (cf. fig. 2.14) :
εpincement = εplastique + βNmax
. (2.12)
(1 − D)SE0
La phase de recharge élastique jusqu’à la courbe de première charge est délimitée par la
déformation :
εlim = εplastique +
Nmax
(1 − D)SE0
(2.13)
Les cycles de faible amplitude sont caractérisés par des décharges et recharges élastiques
jusqu’au point εint situé sur le segment défini par les points εglissement et εpincement.
– Dégradation de résistance sous chargement cyclique
Le phénomène de dégradation de résistance est estimé en réduisant la force Fmax par la
formule suivante :
Nmax,modifie = ((1 − θ)e αεplastique,cyc + θ)Fmax
(2.14)
où : α : taux de décroissance
θ : pourcentage de force résiduelle défini par la suite
εplastiquecyc = −Σ < −∆εplastic > : les incréments de déformation plastique dans la direction
de traction
Le comportement du mur est fortement lié aux caractéristiques locales de la maçonnerie utilisée
et du mortier et à la présence ou non de joints verticaux dans le mur. Il est donc primordial de
bien identifier les caractéristiques des barres en fonction de ces données. Les caractéristiques des
diagonales équivalentes utilisées sont déduites des résultats obtenus par la modélisation fine du
portique seul.
Planchers
Les planchers haut et bas sont modélisés par des éléments de coques à 4 noeuds. Leur
comportement est supposé élastique.
41

Force axiale N
(ε e ,F
e )
ε glissement
(ε c ,F
c )
ε int
ε pincement
ε plastique
Fmax
βF max
Déformation axiale ε
Fig. 2.14 – Loi de comportement des diagonales équivalentes [17]
42

2.3.3 Détermination des paramètres physiques des éléments de structure
Comme nous l’avons spécifié au paragraphe 2.2, la méthodologie adoptée tient en 4 étapes : :
– Modélisation fine des éléments structuraux : portique et panneau de maçonnerie,
– Détermination des paramètres physiques des lois globales de comportement,
– Validation des lois de comportement globales par comparaison des réponses des éléments
structuraux au niveau local et au niveau global de modélisation,
– Passage au niveau de la structure complète en utilisant la modélisation globale des éléments
de la structure.
La première étape consiste donc en la modélisation fine des éléments linéiques (poteaux et
poutres) et des murs en maçonnerie.
Éléments linéiques
Nous avons modélisé 5 portiques différents correspondant aux 5 différentes sections des poteaux
:
– P1 : h = 15 ; b = 15 (cm)
– P2 : h = 20 ; b = 15 (cm)
– P3 : h = 15 ; b = 20 (cm)
– P4 : h = 15 ; b = 25 (cm)
– P5 : h = 15 ; b = 53,5 (cm)
Les dimensions de la poutre sont les suivantes : h = 15 ; b = 40(cm) Le portique est supposé
encastré. Un déplacement horizontal Ux est appliqué en tête de portique, ainsi qu’une charge
verticale N sur chaque poteau. Le modèle à fibre permet de déterminer la courbe momentcourbure
de l’élément pour différentes valeurs de N :
– N1 = 0 MN
– N2 = 0,2 MN
– N3 = 0,3 MN
– N4 = 0,4 MN
La figure 2.15 montre que le chargement vertical sur le portique influe sensiblement sur la réponse
du portique à une sollicitation horizontale. La courbe moment-courbure ainsi obtenue est donc
fonction de la charge verticale supportée par le portique. Pour le cas de notre étude, le poids
propre de la structure induit une charge verticale sur les poteaux équivalente à la charge N2.
Cette valeur est donc retenue pour la suite des calculs.
Murs en maçonnerie
L’utilisation de la modélisation fine du portique en béton armé avec mur en maçonnerie sert :
– D’une part, à identifier les paramètres du modèle global utilisé pour la maçonnerie, à savoir
le modèles de diagonales équivalentes développé par D.Combescure [17] ;
– D’autre part, à vérifier la validité de ce modèle pour le cas de notre étude.
Le modèle fin de la maçonnerie est décrit au paragraphe 2.3.2. Il est utilisé pour déterminer les
paramètres du modèle global.
Le modèle de maçonnerie a été utilisé par Vita [96] pour modéliser un portique en béton armé
avec remplissage en maçonnerie. Le même principe de modélisation est utilisé ici. Un déplacement
horizontal est appliqué en haut du portique. La figure 2.16 donne la distribution des déformations
dans le panneau en réponse au déplacement horizontal imposé. On peut remarquer la formation
d’une bielle de compression sur la diagonale du mur en maçonnerie. Ce résultat conforte le choix
de la modélisation du panneau de maçonnerie par des diagonales équivalentes qui ne travaillent
qu’en compression.
Pour caractériser la loi globale des diagonales équivalentes, on a besoin de déterminer :
– La largeur des diagonales équivalentes
43

Moment (MN)
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
N0 = 0
N1 = 0,1MN
N2 = 0,2 MN
N3 = 0,4 MN
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
Courbure (m−1)
Fig. 2.15 – Influence du chargement vertical sur la courbe ”moment-courbure”
EPS1
>−1.29E−03
< 8.44E−02
−1.0E−03
3.39E−03
1.14E−02
1.95E−02
2.75E−02
3.55E−02
4.36E−02
5.16E−02
5.96E−02
6.76E−02
7.57E−02
8.37E−02
Fig. 2.16 – Déformations dans le panneau de maçonnerie dans la direction horizontale - X
44

EPS2 >−2.12E−03
< 4.65E−02
−1.74E−03
5.40E−04
2.82E−03
5.09E−03
7.37E−03
9.65E−03
1.19E−02
1.42E−02
1.65E−02
1.88E−02
2.10E−02
2.33E−02
2.56E−02
2.79E−02
3.01E−02
3.24E−02
3.47E−02
3.70E−02
3.92E−02
4.15E−02
4.38E−02
4.61E−02
AMPLITUDE
DEFORMEE
FX FY
Fig. 2.17 – Déformations dans le panneau de maçonnerie dans la direction verticale - Z
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50
X1.E−2
Fig. 2.18 – Courbes effort tranchant-déplacement en tête du poteau gauche (trait bleu) et du
poteau droit (trait noir) du portique avec remplissage en maçonnerie : le comportement des
poteaux suit l’évolution du panneau de maçonnerie : phase élastique, fissuration de la maçonnerie
et du contact portique/maçonnerie et adoucissement du à la détérioration de la maçonnerie
jusqu’à un plateau plastique
45

– La courbe non-linéaire ”effort normal-déformation axiale” caractéristique des bielles de
compression.
– Les paramètres caractérisant le comportement hystérétique.
Largeur de la diagonale équivalente : La section de la diagonale équivalente est particulièrement
importante, car c’est sur cette surface que sont répartis les efforts transmis au panneau par le
portique, suite aux sollicitations horizontales.
L’épaisseur de la diagonale est identique à l’épaisseur du mur en maçonnerie. Il reste à déterminer
la largeur de celle-ci dans le plan du mur. Il existe dans la bibliographie plusieurs expressions
pour calculer la largeur de la diagonale équivalente au mur de maçonnerie [84], [37], [62]...
Une expression simplifiée présentée par Cruz-Diaz [26] est utilisée. Celle-ci met en évidence la
corrélation entre la largeur équivalente de la diagonale et la longueur des briques de maçonnerie.
� �r l
le = l.
(2.15)
lc
où : l est longueur des briques et (r , lc) sont des paramètres de calage tels que :
� Joints verticaux remplis : r = 0, 545; lc = 0, 247
Joints verticaux secs : r = 0, 876; lc = 0, 384
(2.16)
Un autre paramètre caractérise le modèle de diagonale utilisé, il s’agit de l’endommagement
maximal Dmax. Il est estimé par :
Dmax = 1 − Fc
E0.dc
avec :
– (dc,Fc) : coordonnées du point de plastification de la diagonale
– E0 : module d’Young de la maçonnerie non fissurée
(2.17)
Détermination de la courbe caractéristique : La loi de comportement de la diagonale équivalente
est décrite par une courbe caractéristique Effort normal-Déformation axiale (N-ɛ). La courbe Nɛ
est obtenue correspond à l’effort et à la déformation dans la bielle de compression formée
dans le panneau de maçonnerie par l’application de la force horizontale T . Il convient donc de
lier le couple ”Effort horizontal-Déplacement en tête du portique” au couple ”Effort normal-
Déformation axiale” dans la diagonale.
La détermination de la courbe N-ɛ passe par les étapes suivantes :
– Détermination de la courbe effort horizontal-déplacement en tête (Tp,m − u) pour le portique
avec murs en maçonnerie,
– Détermination de la courbe Tp − u pour le portique seul,
– Détermination de la courbe Tm − u pour la maçonnerie seule : La rigidité du portique sans
mur (Kp) est déduite de celle du portique avec mur (Kp, m) :
Km = Kp,m − Kp
A un déplacement u fixé, l’Eq. (2.18) devient :
(2.18)
Tm = Tp,m − Tp . (2.19)
L’effort tranchant transmis au portique est transformé en effort axial dans la bielle formée en
diagonale du mur de maçonnerie. La loi effort tranchant-déplacement en tête (Tm − u) obtenue
par modèle fin ou par des résultats expérimentaux, peut donc être transformée en une loi effort
normal-déformation axiale (N − ɛ) caractéristique de la maçonnerie en fonction de la loi Tm − u
46

y
x
α
Sens du chargement
uy εvertical
L
H
ux
ε
θh
horizontal
Fig. 2.19 – Déformation du panneau de maçonnerie sous sollicitation horizontale : formation
d’une bielle de compression dans le panneau.
Effort tranchant (N)
x 104
14
12
10
8
6
4
2
Portique seul (BF)
Portique avec panneau (IF)
Panneau de maçonnerie (M)
0
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
Déplacement en tête du portique(m)
Fig. 2.20 – Identification de la courbe caractéristique Déplacement-Effort tranchant du panneau
de maçonnerie : la courbe relative à la maçonnerie seule est la différence entre la courbe
correspondant au portique avec panneau et celle correspondant au portique seul.
47

et des caractéristiques géométriques du mur.
Les relations de transformation sont les suivantes :
� ɛaxial = γnx ny − ɛverticaln 2 y
N = T
nx
où γ = ux
H , ɛvertical = uy
H , nx =
, (2.20)
√ L
H2 +L2 et ny
H = √ . Si l’on suppose que la déformation ver-
H2 +L2 ticale reste négligeable par rapport à la déformation horizontale, on peut alors négliger ɛvertical.
L’Eq. (2.20) donne alors : � ɛaxial = L
N =
L2 +H2 d
√
L2 +H2 L
Tm
(2.21)
La dernière équation permet de calculer les valeurs de la déformation axiale transmise dans la
bielle de compression ɛaxial et de l’effort de compression subi en fonction de l’effort horizontal sur
le portique, du déplacement en tête et des caractéristiques géométriques du mur en maçonnerie
(cf. fig. 2.21).
Choix des paramètres caractérisant l’hystérésis : Le modèle global est caractérisé par des paramètres
qui décrivent le comportement de la diagonale équivalente sous chargement cyclique.
Ces paramètres sont :
– γm : paramètre de pincement,
– αm : paramètre réglant la direction de la position du point de rechargement,
– θ : fraction de résistance résiduelle après dégradation complète sous chargement cyclique,
– dpl,cyc,obj : déformation plastique cyclique cumulée
– βm : Paramètre réglant la vitesse de dégradation de résistance sous chargement cyclique,
En se basant sur d’autres études ([17], [96]), les valeurs suivantes ont été choisies pour ces
paramètres :
γm = 0.5 ; αm = 0.5 ; θobj = 0.6 ; θf = 0.5
α = −
1
dpl,cyc,obj
Comparaison entre modèle local et modèle global
ln( θobj − θj
) (2.22)
θj
Les résultats obtenus par les deux niveaux de modélisation sont comparés sur la figure 2.22,
en termes de courbe effort-déplacement en tête et de courbe moment-courbure. Ils montrent une
bonne concordance entre les deux types de modélisations.
48

Effort normal N (N)
x 104
14
12
10
8
6
4
2
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10 −3
0
déformation axiale ε
axial
Fig. 2.21 – Courbe déformation axiale-effort normal dans la bielle de compression formée dans
le panneau de maçonnerie. La courbe est obtenue à partir de la courbe déplacement en tête-effort
tranchant de la figure 2.20.
X1.E−2 Force Horizontale (N)
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Déplacement en tête (m)
−0.1
0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
X1.E−2
Fig. 2.22 – Courbes Force horizontale-Déplacement en tête du portique - Comparaison entre
l’approche locale(trait bleu) et l’approche globale (trait noir)
49

2.3.4 Modes de ruine et critères de résistance ultime
Afin de déterminer la capacité de résistance de la structure à un éventuel séisme, il faut
savoir estimer les résistances de ruine des éléments structuraux pour pouvoir prédire la ruine
totale ou partielle de l’ensemble du bâtiment. Dans cette optique, un choix judicieux de critères
de ruine s’impose pour identifier les points faibles de la structure.
Comportement en flexion des éléments linéiques
Dans les éléments linéiques (poteaux et poutres), les sollicitations horizontales font apparaître
des rotules plastiques aux extrémités de ce type d’élément, dues à leur flexion. Dans les zones
plastiques, la ruine peut être atteinte soit par l’éclatement du béton et la perte du confinement,
soit par rupture des aciers longitudinaux, en atteignant leur déformation limite. Pour estimer
les valeurs limites avant la ruine, deux approches sont possibles :
– Une approche locale, où les déformations limites de l’acier et du béton sont estimées,
– Une approche globale où la rotation maximale que peut subir l’élément est estimée avec
en général une marge de sécurité.
Approche locale : Afin d’estimer les déformations limites de l’acier et du béton dans les éléments
linéiques, et parmi les différentes méthodes proposées dans la literature, nous pouvons citer
l’approche proposée par l’Eurocode 8 [22] qui consiste à estimer la courbure de ruine dans une
section en se basant sur un critère portant sur les allongements en fibre extrême (en traction ou
en compression) : La courbure de ruine est le minimum des courbures correspondant à :
– un moment valant 85% du moment au pic,
– un moment correspondant à la déformation ultime dans l’acier ou le béton
Pour l’acier, la déformation ultime réglementaire de l’Eurocode 8 correspond à la contrainte
maximale. Pour le béton, elle est égale à la déformation correspondant à la contrainte valant 85%
de la contrainte maximale. Priestley propose une seconde approche où il donne une estimation
empirique des déformations ultimes [70].
Ainsi, pour l’acier, la déformation ɛs est limitée à 60% de la déformation ultime ɛsu :
ɛs = 0.6ɛsu
(2.23)
Pour des aciers de résistance 275 et 420 MPa, les déformations limites peuvent être prises égale à
15% et 10%, respectivement. Pour le béton, si le confinement est jugé satisfaisant, la déformation
limite du béton est déterminée par l’Eq. (2.24) :
ɛc = 0.004 +
(1, 4ρsfyɛsu)
f ′ c
(2.24)
où fy est la contrainte de plastification de l’acier, f ′ c la résistance ultime réelle, généralement
prise égale à 1,5 fois la résistance nominale et ρs le taux de confinement :
ρs = 1.5 Av
bc s ,
avec s l’espacement des cadres, Av la section totale de cadre sur la hauteur s et bc la profondeur
de la section confinée (limitée par les aciers de flexion). Les conditions de confinement du béton
ne sont souvent pas remplies pour les poteaux non dimensionnés au séisme. Une déformation
ultime du béton, forfaitairement prise égale à 0.005 est alors adoptée
50

Approche globale : Les critères de ruine pour les éléments linéiques sont généralement exprimés
en terme de rotation plastique au niveau des extrémités des éléments. Les méthodes de calcul
des rotations limites aboutissent souvent à des formules complexes basées sur l’expérimentation.
Nous présentons pour déterminer les rotations de ruine, la méthode de calcul proposée dans
l’Eurocode 8, l’approche de Priestley ainsi qu’une formule empirique.
Formules de L’EC8 : Eurocode 8 dans sa partie 3 présente des formules préconisées pour le
calcul des rotations limites de service et de ruine pour les poteaux-poutres sous flexion avec et
sans effort normal. La formule générale suivante peut être utilisée dans ce sens pour estimer la
rotation ultime (de ruine) :
θu = ast(1 − 0.38acyc)(1 + asl
1.7 )(1 − 0.37awall)(0.3) ν ×
�
max(0.01; ω ′
max(0.01; ω
�0.2 ( Lv
h )0.425 fyw
(αρsx
25 fc ) (1.45 1000ρd)
, (2.25)
où :
– ast = 0.016 pour les aciers ductiles, 0.0105 pour les aciers fragiles,
– acyc= 1 pour le chargement cyclique, 0 pour le chargement monotone,
– asl = 1 s’il y a glissement des armatures longitudinales, 0 sinon,
– awall = 1 pour les structures avec murs, 0 pour celles avec poteaux-poutres,
– ν : effort axial normalisé,
– ω et ω ′ : ratio mécanique en traction et compression respectivement,
– Lv = moment/effort tranchant,
– ρsx = Asx
bwsh : ratio d’armatures transversales (sh : espacement des cadres),
– ρd : ratio d’armatures diagonales,
– α : facteur de confinement effectif :
α =
�
1 − sh
� �
1 −
2hc
sh
� �
1
2hc
Σb2 �
i , (2.26)
6hcbc
où bc et hc sont les dimensions de l’âme du béton et bi est la distance entre les armatures
longitudinales confinées.
Une seconde formule proposée par l’Eurocode 8 est inspirée par les travaux de Priestley [70] :
où θy est la rotation limite de service :
θu = θy + (ϕu − ϕy)Lp
Lv
θy = ϕy
3
et Lp est la longueur de la rotule plastique :
�
1 − 0.5Lp
�
, (2.27)
Lv
0.25ɛdbfy
+ 0.0025 + αsl
(d − d ′ ) √ , (2.28)
fc
Lp = 0.08Lv + 1
60 αsldbfy, (2.29)
avec :
– αsl = 1 s’il y a glissement des armatures longitudinales au niveau des ancrages, 0 sinon.
– db : diamètre des armatures longitudinales,
– ϕu : courbure ultime en considérant la contrainte en compression du béton correspondant
à la déformation ultime du béton ɛcu,
– ϕy : courbure de service en considérant la contrainte en traction de l’acier correspondant
à la déformation utile de l’acier ɛsy.
51

Formules de Priestley : Priestley présente une autre définition de la rotation de ruine en fonction
des courbure de plastification ϕy et de ruine ϕu et de la longueur de la rotule plastique Lp :
θp,u = (ϕu − ϕy)Lp , (2.30)
Lp dépend de la hauteur du poteau et de la longueur de la partie plastifiée. Elle peut être prise
égale à :
,
2
où Hp est la hauteur plastifiée du poteau et qui vaut :
(2.31)
� �
Mu − My
Hp = H
= HEp(ϕu − ϕy)
,
My + Ep(ϕu − ϕy)
(2.32)
Mu
Lp = Hp
– db : diamètre des armatures longitudinales,
– fu : courbure ultime en considérant la contrainte en compression du béton correspondant
à la déformation ultime du béton ɛcu,
– fy : courbure de service en considérant la contrainte en traction de l’acier correspondant
à la déformation utile de l’acier ɛsy.
Autres approches : D’autres formules empiriques peuvent être utilisées pour calculer la longueur
de rotule plastique :
Lp = 0.08 H + 0.022fy dbl, (2.33)
où dbl est le diamètre des barres de flexion. La hauteur de la section du poteau s’avère aussi être
une approximation assez fiable de la longueur de la rotule plastique. Plusieurs auteurs ([41], [1])
présentent aussi une autre formule empirique pour estimer la rotation de ruine :
θu = 0.0634
� H
d ′
�0.93 � �0.48 max(ρt; 0.04)
max(νd; 0.05
ω −0.27
t f −0.15
c , (2.34)
où :
– d ′ : hauteur utile des poteaux (H/d ′ : élancement mécanique des poteaux). Cette formule
est valable pour 1 < H/D < 7
– νd = σn
: effort normal réduit,
fc
– ρt : ratio volumique des cadres,
– ωt : ratio mécanique d’acier longitudinal ( 0 < ωt < 0.5)
ωt = As
Ac
fy
fc
(2.35)
avec As et Ac les sections d’acier et de béton respectivement, fc la résistance en compression
du béton et fy la limite élastique de l’acier.
Résistance à l’effort tranchant
Formules du BAEL : Les règles PS92 [23] et BAEL [2] admettent que la résistance à l’effort
tranchant provient de la présence des aciers transversaux et de la résistance en traction du béton.
La résistance à l’effort tranchant est vérifiée grâce à l’Eq. (2.36).
τu = 0.3 k ftj + 0.9 Acadre
b s
fyt, (2.36)
avec :
– ftj : Résistance du béton en traction (2,1 MPa pour un béton de 25 MPa),
– fyt : contrainte de plastification de l’acier des cadres,
– b : profondeur du poteau (perpendiculairement au sens de chargement),
52

– d : largeur du poteau (dans le sens de chargement),
– Ac = b d : section du poteau,
– s : espacement des cadres,
– Acadre : section totale des cadres,
– k : facteur dépendant de l’effort normal P de la section :
|P |
– En traction : k = 1 − 10 ,
Ac fc28 |P |
Ac fc28 – En compression : k = 1 + 3 .
Cependant, les règles du BAEL sont trop conservatives et ne permettent pas une estimation
correcte de la capacité de résistance des éléments structuraux à l’effort tranchant. Il convient
de choisir d’autres formules pour fournir des valeurs de résistance plus proche des résultats
expérimentaux.
Approche de Priestley : Priestley [70] définit la résistance à l’effort tranchant des poutres et
des poteaux, comme la somme des résistances du béton Vc, de l’acier Vs et du poids propre Vp :
où
Vu = Vc + Vs + Vp, (2.37)
Vs = Av fyD ′ cotgθ
, (2.38)
s
avec Av est la section totale de cadre sur une hauteur s, D ′ le bras de levier et θ l’inclinaison de
la bielle, prise égale à 30 0 pour les poteaux comprimés ;
Vc = 0.8 Ac k � fc, (2.39)
le paramètre k dépend de la ductilité demandée en flexion et varie de 0.29 à 0.05.
Pour la contribution du poids propre, Priestley suppose que l’effort tranchant est transmis par
un mécanisme de bielles inclinée d’un angle α :
Vp = P tan α (2.40)
νp = σn tan α (2.41)
L’angle de frottement α est l’angle entre la fibre moyenne de l’élément et la droite reliant les
points d’application des résultantes des contraintes dans le béton des 2 sections situées aux
extrémités du poteau (en tête et en pied).
Autres critères de ruine
On peut utiliser les formules développées par le CEB [21] qui prennent en compte la plupart
des phénomènes pour aboutir à une analyse assez fine des longueurs d’ancrage nécessaires en fonction
des différents paramètres intervenant. Ces formules restent néanmoins assez conservatives.
Il convient, donc d’apporter quelques modifications à ces formules pour rendre les estimations
plus proches des résultats expérimentaux :
– fb peut être évalué à partir de la contrainte de traction sans coefficient de sécurité partiel,
– ftj peut être évalué à t = ∞ en prenant fc = 1.5fc28 [70], par la formule du BAEL ou
0.25f 2/3
c
(MPa),
– fy n’intervient pas dans la valeur de ls. La barre peut être tendue à sa contrainte résistante.
Pour ce qui concerne la longueur de recouvrement entre 2 barres, il a été constaté qu’elle n’est
pas nettement plus importante que la longueur d’ancrage. Cependant par prudence, B. Fouré
[44] propose de prendre lr = 1.2ls.
ls = 1.2γe
� �
emin
1 − 0.15
ϕ
�� �
− 1 1 − 8K ΣAtfyt
�
A fy
53
ϕfy
(12 − ϕ(mm)
10 ) ftj
γb
Acal
. (2.42)
A

L’enrobage d’une barre doit être égal ou supérieur à son diamètre. En situation sismique, γs et
γb peuvent être pris égaux à 1 et 1,15 respectivement.
– γe : coefficient de sécurité couvrant l’influence des cycles alternés sur l’adhérence. Il peut
être pris à 1.2 en zone courante et 1.35 en zone critique,
– emin : enrobage du paquet formé par les deux barres vis-à-vis des parements et des paquets
voisins,
– Acal/A : traduit l’influence de la surabondance de section d’acier par rapport à l’acier
calculé,
– K = :
– 0.1 si la barre est ancrée dans l’angle d’un cadre ou dans le fond d’une épingle ;
– 0.2 si la barre est dans le fond d’un étrier ;
– 0.15 dans l’angle d’un cadre en deuxième lit
– 0.05 sinon.
S’il s’agit de recouvrement dans les rotules plastiques pour lesquelles le moment ultime est calculé
avec la valeur de résistance de l’acier, il faut remplacer fy par fmax ; fyt peut être remplacé par
ft,max.
Si le recouvrement n’est pas dans une rotule plastique, γe peut être pris égal à 1. ftj peut
être évalué à t = ∞ en prenant fc = 1.5fc28
, par la formule du BAEL ou 0.25f 2/3
c
(MPa).
Pour une longueur de recouvrement donnée, la formule inversée permet de remonter à la force
de recouvrement capable. La vérification du flambement des armatures comprimées doit être
faite dans les poteaux. Le diamètre des armatures longitudinales et l’espacement des armatures
transversales sont alors liés par la relation donnant la force critique de flambement de l’armature
longitudinale :
Soit :
π(dbl) 2
4
σs ≤ Fcr = π2 Esl
4s 2 t
st ≤ 0.393dbl
= π2Esπ(dbl) 4 /64
4s2 , (2.43)
t
� Es
σs
, (2.44)
Pour σs = 400 MPa, cette relation s’écrit : st ≤ 8.79dbl Cependant, cette formule qui néglige
l’effet favorable du béton d’enrobage, peut donner des résultats plus conservatifs que les formules
des normes, auquel cas, il est préférable de s’en tenir à celles-ci.
Critères retenus et valeurs limites
Parmi les modes de ruine possibles pour une structure en portiques en béton armé avec
remplissage en maçonnerie, il convient de se limiter aux modes les plus fréquemment observés,
par le retour d’expérience, pour ce genre de structure et les plus dommageables à la tenue du
bâtiment. Ainsi, les modes de ruine des murs de remplissage en maçonnerie ne seront pas pris en
compte, car la ruine d’un ou plusieurs murs de maçonnerie n’implique pas la ruine de la structure
entière. Les murs en maçonnerie agissent, néanmoins sur la ruine globale de la structure par la
perte de résistance du portique et la transmission d’un effort horizontale supplémentaire aux
extrémités des poteaux, ce qui augmente le risque d’une rupture des poteaux par cisaillement en
tête. Les modes de ruine jugés les plus probables et les plus préjudiciables à la structure sont :
– Ruine des poteaux par flexion : on considère qu’il y a rupture par flexion dans le poteau
s’il atteint une rotation limite plastique θp,u, donnée par la formule de l’Eurocode 8 (Eq.
(2.25))
– Ruine par cisaillement en tête : on considère qu’il y a rupture en tête de poteau si l’effort
tranchant atteint l’effort tranchant limite estimé par Priestley, selon l’Eq. (2.37).
Le tableau 2.4 présente les valeurs limites en rotation ultime et en effort tranchant ultime
correspondant aux différentes types de poteaux de la structure étudiée.
54

Section 15x15 15x20 20x15 25x15 53.5x15
Sens de
chargement X Y X Y X Y X Y X Y
Rotation
limite
(rd s−1 )
0.0432 0.0432 0.0458 0.041 0.041 0.0458 0.0369 0.048 0.0305 0.0461
Effort tranchant
limite
(kN)
141.28 141.28 109.81 138.08 138.08 109.81 168.74 113.44 353.77 135.26
Tab. 2.4 – Valeurs limites dans les poteaux
55

2.4 Modélisation de la structure de référence et résultats
2.4.1 Modélisation par éléments finis
La structure de référence est modélisée à l’aide de CAST3M en utilisant l’approche globale
pour la représentation des éléments, à savoir :
– Des éléments finis de poutre d’Euler-Bernoulli représentent les poutres de toiture ainsi
que la partie centrale des poteaux et des poutres des planchers. Ces éléments ne tiennent
pas compte de la déformation de cisaillement et présentent une répartition linéaire de la
courbure,
– Des éléments finis de poutre de Timoshenko représentent la zone d’apparition des rotules
plastiques aux extrémités des poteaux et des poutres des planchers. L’élément permet
de tenir compte de la déformation de cisaillement, qui peut être importante dans les
extrémités des éléments linéiques sous chargement sismique. La courbure reste constante
sur l’élément,
– Des éléments finis de barre sur les diagonales des portiques représentent les murs en
maçonnerie. L’élément barre fonctionne uniquement en traction-compression.
– Des éléments finis de coques à 4 noeuds représentent les planchers bas et haut.
Après avoir comparé les valeurs de la longueur des rotules plastiques Lp obtenues par les Eqs.
(2.29), (2.31) et (2.33), il s’est avéré que ces valeurs restent inférieures aux hauteurs des sections
des poteaux de la structure. Le choix s’est donc porté sur l’adoption des hauteurs des sections
comme valeurs de longueurs de rotules.
La nature du sol et l’interaction sol/structure peuvent avoir une influence sur le comportement
des structures au séisme. Afin de concentrer l’étude sur le comportement de la structure, les
appuis de la structure sont supposées encastrés, dans le cadre de cette application.
Compte tenu de la complexité de la structure, les lois globales de comportement semblent les
mieux adaptées pour décrire la réponse au séisme du bâtiment. Les lois globales développées à
la section 2.3.2 sont donc utilisées.
2.4.2 Hypothèses de calcul
Chargement sismique
Dans ce travail de thèse, la réponse de la structure à un chargement sismique est étudiée. Une
secousse sismique se traduit par la propagation de différents types d’ondes, qui compte tenu de
l’hétérogénéité du sol, produit en surface un mouvement complexe. Pour identifier le mouvement
du sol sur un site, on a recours à des enregistrements du mouvement en différentes stations.
Ces enregistrements se présentent principalement sous forme d’accélérogramme, représentant
l’accélération du sol en une direction donnée en fonction du temps.
Les études menées sur les enregistrements sismiques montrent que, d’une part, il n’existe pas de
direction horizontale privilégiée ; d’autre part, que les mouvements suivant les trois directions
de l’espace sont indépendants, c’est à dire que le mouvement dans une direction ne peut pas
renseigner sur le mouvement dans une autre. Il est nécessaire de ce fait d’avoir pour chaque
direction du mouvement son propre accélérogramme.
Partant de ce constat, plusieurs règlements de construction parasismique ([22], [42], [43]) imposent
la détermination de la capacité résistante du bâtiment en vérifiant sa tenue face au
mouvement sismique dans les deux directions horizontales (X,Y) et dans la direction verticale
(Z). Le retour d’expérience montre néanmoins que les mouvements horizontaux sont le plus souvent
les plus préjudiciables aux structures. C’est pourquoi, pour notre cas, l’étude s’est restreinte
à estimer la résistance du bâtiment aux sollicitations horizontales du séisme suivant l’axe X ;
puis suivant l’axe Y.
Les règles parasismiques prévoient de superposer les mouvements en X et Y avec une règle de
pondération du type SX + 0.3SY . A ce stade de l’étude, cette procédure n’a pas été prise en
56

Fig. 2.23 – Modélisation éléments finis de la structure
F
Fig. 2.24 – Effet portique
57
∆
P

compte. Le même mouvement sismique est adopté pour SX et SY . Ce mouvement sismique est
caractérisé par l’accélérogramme présenté à la figure 2.27. Il s’agit d’un accélérogramme issu du
programme d’essais CASSBA [6]. Il correspond au spectre de référence S1 avec un amortissement
de 5% (cf. fig. 2.28).
Effet portique
On applique à la structure un déplacement horizontal dans le sens X, puis dans le sens Y,
équivalent au déplacement des masses de la structure (cf. fig. 2.24). Cette étude permet de
mesurer l’effet du déplacement horizontal des charges verticales : Effet P − ∆.
Sous l’effet des sollicitations horizontales, le déplacement de la charge verticale induit un moment
supplémentaire dans le poteau.
Pour le cas de la structure étudiée, nous remarquons que la variation de l’effort normal dans
les poteaux suite à la poussée latérale reste assez faible ; ce qui permet de considérer l’effet
P − ∆ comme négligeable, donc de ne pas prendre en compte l’effet de la charge verticale dans
le comportement de la structure sous chargement horizontal.
2.4.3 Calcul linéaire
Analyse modale
L’analyse modale de la structure est réalisée en considérant deux calculs :
– Le calcul à l’aide du code éléments finis CAST3M : les fréquences propres sont déterminées
à l’aide de CAST3M. La procédure utilisée permet de déterminer les valeurs et les modes
propres d’un système physique à partir de sa rigidité et de sa masse. Les hypothèses de
calcul et les conditions aux limites sont les mêmes que celles considérées plus haut (cf.
2.4.2),
– Calcul par les formules forfaitaires : les fréquences des premiers modes de vibration sont
calculées par les formules forfaitaires suivantes :
fx = 1
2π
fy = 1
2π
� Ry
, (2.45)
M
�
Rx
, (2.46)
M
où Rx et Ry sont les rigidités de la structure dans le sens x et y, respectivement ; et M la
masse totale au-dessus du rez-de-chaussée.
Deux cas de conditions aux limites de la structure du bâtiment sont considérées :
– Rotation des poteaux bloquée et translation hors plan de la structure bloquée : ces hypothèses
servent à comparer les résultats obtenus par le calcul éléments finis (EF) aux
résultats obtenus par les formules forfaitaires.
– Rotation libre des poteaux et translation hors plan possible : ces conditions sont plus
proches de la réalité et permettent de tenir compte de l’effet de la torsion dans la structure.
Les différents calculs sont conduits pour une structure comportant les portiques en béton armé
avec puis sans mur de remplissage en maçonnerie. Les résultats obtenus sont rassemblés dans le
tableau 2.6.
Nous remarquons que pour le cas où la rotation et la translation hors plan sont bloquées, les
valeurs obtenues par le calcul CAST3M sont proches de celles obtenues analytiquement par des
formules forfaitaires.
Concernant le deuxième cas de conditions aux limites, nous remarquons que les fréquences
obtenues par le modèle numérique sont inférieures à celles obtenues par la méthode forfaitaire.
Ceci est encore plus marqué pour la deuxième fréquence propre.
Cette différence peut être attribuée à l’effet de la torsion qui intervient dans la structure. En
effet, le centre de torsion de la structure est excentré par rapport au centre de gravité, surtout
58

Fréquence propre (Hz)
Modes propres Sans mur Avec murs
1 3,55 8,08
2 4,77 9,95
3 9,1 15,79
4 18,79 19,29
5 21,28 20.04
Tab. 2.5 – Premiers modes propres de la structure complète
Fréquence propre Sans mur Avec murs
(Hz) Rotation libre Rotation bloquée Rotation libre Rotation bloquée
Calcul EF 3.54 3.55 8.08 9.73
Fy Calcul analytique 4.1 11.0
Écart relatif 13.41% 11.5%
Calcul EF 4.77 7.58 9.95 10.04
Fx Calcul analytique 8,2 11.2
Calcul EF 7.6% 10.4%
Tab. 2.6 – Fréquences propres de la structure complète
dans le sens Y. C’est pourquoi, lors d’un mouvement du sol dans le sens X, la structure subit
une translation et une rotation conjuguées. L’effet de la rotation d’ensemble est beaucoup moins
perceptible dans l’autre sens, car l’excentricité en X est moins importante.
Réponse sismique par analyse modale et comparaison
Nous étudions dans cette partie, la réponse élastique de la structure en utilisant les spectres
de référence normalisés. Cette méthode étant largement employée dans le dimensionnement des
ouvrages aux séismes, il est utile d’estimer les déplacements maximaux de la structure par la
méthode «réglementaire» - conçue pour les ouvrages neufs - et de les comparer avec ceux obtenus
par les calculs non linéaires push-over et dynamique exposés à la section 2.4.4.
Le spectre de référence utilisé est le spectre S1 des règles PS92 [23] (cf. fig. 2.28).
L’accélération maximale du plancher γp,max due aux oscillations de la structure s’écrit en fonction
de son déplacement d et de la pulsation propre ω du bâtiment :
γp,max = ω 2 dmax. (2.47)
En introduisant le coefficient d’amplification dynamique RD(T ), où T est la période fondamentale
de la structure, déterminé à l’aide du spectre S1, le déplacement en tête des poteaux
s’écrit :
d = RD(T ) γs,max
ω 2 . (2.48)
L’effort horizontal F généré en haut du plancher par l’accélération du sol s’exprime :
F = Mγp,max =⇒ F = RD(T )Mγs,max, (2.49)
où γs,max est l’accélération au sol. Les valeurs de déplacements en tête des poteaux (au niveau du
plancher haut du RDC), correspondant à une accélération au sol γs,max = 1 ms −2 sont résumés
dans le tableau 2.7.
Sens X :
Poteaux seuls :
La limite du comportement élastique de la structure est définie en déterminant le moment limite
élastique dans chaque poteau. En effet, chaque poteau transmet une part de l’effort tranchant
59

Déplacement (m) Effort tranchant (kN)
Avec murs Sans mur Avec murs Sans mur
Sens X 0.43 10 −3 0.89 10 −3 170.5 192.1
Sens Y 0.48 10 −3 4.6 10 −3 173.5 245
Tab. 2.7 – Déplacements et efforts tranchant pour γs(t) = 1 m s −2
Accélération maximale (m s −2 )
Déplacement maximal (m)
Avec murs Sans mur
Sens X 1.29 0.55 10 −3 1.1 10 −3
Sens Y 0.89 0.43 10 −3 4.41 10 −3
Tab. 2.8 – Accélérations et déplacements maximaux en phase élastique
et supporte donc un moment fléchissant à ses deux extrémités. Le moment limite est déterminé
en prenant en compte l’effort normal. En comparant le rapport du moment fléchissant limite au
moment supporté par le poteau lors d’une accélération sismique égale à 1 m s−2 , on identifie le
poteau le plus vulnérable Ainsi l’accélération sismique correspondant à la limite élastique de la
structure est égale à :
γs,max,elas = Inf( My(limite)
My(γs = 1m s−2 ). (2.50)
)
En utilisant l’Eq. (2.48), on peut déterminer le déplacement maximal dans la phase élastique du
comportement de la structure. Les résultats sont présentées dans le tableau 2.8. Pour estimer
le comportement post-élastique, les règles de calcul parasismique préconisent l’application d’un
coefficient de comportement q pour majorer l’accélération maximale à laquelle peut résister une
structure :
γs,max = qγs,max,elas. (2.51)
Ce coefficient de comportement est égal à 1,5 pour les bâtiments à portiques en béton armé.
D’où les accélérations maximales qui s’en déduisent :
– Sens X : γs,max = 1.94m s −2 ,
– Sens Y : γs,max = 1.26m s −2 .
Compte tenu de la méthode du coefficient de comportement, la structure résisterait à une
accélération de 1,26 m s −2 .
60

2.4.4 Calcul non linéaire
Réponse de la structure sous chargement monotone - (push-over)
Chargement : Pour étudier le comportement sous chargement monotone, la structure est soumise
à un déplacement imposé au niveau du plancher haut dans les deux axes horizontaux et les
forces de réaction induites par ces déplacements sont calculées. La structure est aussi soumise à
son poids propre.
Les courbes représentées sur la figure 2.25 correspondent aux cas de charges suivants :
– Déplacement imposé suivant l’axe X pour la structure sans mur en maçonnerie,
– Déplacement imposé suivant l’axe Y pour la structure sans mur en maçonnerie,
– Déplacement imposé suivant l’axe X pour la structure avec un mur en maçonnerie,
– Déplacement imposé suivant l’axe Y pour la structure avec 2 murs en maçonnerie.
Analyse des résultats numériques :
L’analyse des courbes obtenues par la modélisation du chargement monotone montre que les
courbes de capacité de la structure sans mur en maçonnerie pour les deux sens de déplacements
sont assez différentes. La résistance maximale atteinte pour le sens X pour la structure en
portiques seuls est égale à 624 KN, alors que pour la même structure dans le sens Y, cette
résistance est de 379 KN. La différence entre la résistance maximale dans les deux sens montre
une forte disparité entre le comportement de la structure en X et en Y.
En comparant la courbe de capacité de la structure sans mur à celle de la structure avec murs,
une nette augmentation de la capacité résistante de la structure est notable, bien que le nombre
de murs ne soit pas important. Cette augmentation est plus importante au début du chargement,
jusqu’à atteindre un premier palier.
Une baisse de résistance, qui ramène la courbe à un second palier, est ensuite observée.
La première phase est antérieure à la phase de fissuration de la maçonnerie. Le portique et le
mur se comportent comme une structure homogène, d’où une augmentation de la rigidité et de
la résistance de l’ensemble (on peut atteindre une résistance maximale 3 fois supérieure à la
résistance déterminée sans maçonnerie).
La deuxième phase où on observe un premier palier correspond à la rupture du joint entre la
maçonnerie et le portique au niveau des liaisons poteau-poutre.
La phase de baisse de résistance est associée à la fissuration de la maçonnerie, essentiellement due
à la rupture par cisaillement des joints entre les blocs de maçonnerie. Les charges horizontales
se reportent progressivement sur le portique.
La dernière phase correspond à la rupture quasi totale des joints entre les blocs de maçonnerie
et le panneau ne résiste plus que par frottement entre les blocs de maçonnerie, ce qui permet
de garder une résistance totale de l’ensemble légèrement supérieure à celle des portiques seuls
(d’environ 50%).
Ces observations coincident avec les résultats d’autres études ([17],[96]) et essais, notamment
au CSTB [29], qui montrent que la présence de murs en maçonnerie augmente la rigidité et la
résistance du portique, même après fissuration. Il est à noter aussi qu’en contre partie, les murs
en maçonnerie transmettent aux portiques un effort tranchant supplémentaire aux extrémités
des poteaux, dû à l’apparition de bielles en compression dans les murs. Ces efforts peuvent causer
la ruine des poteaux par cisaillement, il est donc essentiel de prendre en compte ce mode de ruine
en présence de la maçonnerie.
Réponse de la structure sous chargement dynamique
Chargement :
Dans ce paragraphe, on s’intéresse au comportement de la structure sous chargement dynamique.
La procédure du calcul dynamique non linéaire est la procédure qui se rapproche le plus du cas
réel d’une sollicitation sismique. En effet, une structure soumise à un chargement sismique,
61

Effort tranchant (N)
x 105
7
6
5
4
3
2
1
0
IF − Y
BF − X
IF − X
BF − Y
−1
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
Déplacement (m)
Fig. 2.25 – Courbes de capacité sous chargement horizontal monotone : Dans le sens X avec murs
(IF-X), et sans mur (BF-X) et dans le sens Y avec murs (IF-Y) et sans (BF-Y). Les courbes
correspondent à l’effort tranchant global de la structure résultant du déplacement horizontal
imposé au plancher haut. La dégradation de résistance est due à la rupture des aciers dans les
poteaux
Effort tranchant (MN)
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0.02
0
0 0.05 0.1 0.15
Déplacement en tête(m)
Fig. 2.26 – Comportement des poteaux sous déplacement horizontal imposé : Courbes effort
tranchant-déplacement des poteaux de la structure. La ruine de la structure s’initialise dans
les poteaux les moins ductiles. La baisse de résistance de la structure avec murs est due à
l’écrouissage négatif de la maçonnerie
62

caractérisé par l’accélération γs(t), peut être modélisée par le système dynamique 2.52 :
[M] a(t) + [C] v(t) + [K(x)] x(t) = − [M] γs(t) (2.52)
où [M], [K] et [C] sont, respectivement, les matrices de masse, de raideur et d’amortissement
de la structure et a(t), v(t) et x(t) représentent les vecteurs, respectivement, d’accélération, de
vitesse et de déplacement des degrés de liberté de la structure dans son repère relatif.
Les forces appliquées lors du séisme sont, en plus du poids propre de la structure, les forces
d’inertie, qui résultent de la mise en mouvement des masses. Le calcul dynamique non-linéaire
consiste donc à résoudre l’Eq. (2.52), en utilisant l’accélérogramme de la figure 2.27.
Cet accélérogramme reproduit le spectre de réponse de type ”S1” défini dans les règles AFPS92
pour une accélération nominale de 0,23g.
Analyse des résultats du calcul pas à pas : L’application à la structure de plusieurs niveaux
d’accélération permet de déterminer l’effort maximal subi par celle-ci et le déplacement maximal
du plancher lors des cycles de chargement. Ainsi, en relevant ces valeurs maximales de
déplacement du plancher haut pour chaque niveau d’accélération, la courbe de capacité dynamique
peut être tracée.
Nous remarquons que la courbe obtenue présente un palier horizontal qui est atteint lorsqu’il y
a rupture de la rotule plastique et chute de la résistance. Le calcul étant effectué en imposant un
effort d’inertie sur la structure, une décroissance rapide au niveau du palier est observée lorsqu’il
y a chute de résistance de la structure correspondant à la ruine.
Par des calculs de proche en proche, il est possible alors d’estimer l’accélération du sol correspondant
à la ruine dans chaque cas :
– Sens X : L’accélération maximale supportée par la structure est égale à :
– 0.64 g = 6.25m s −2 ; pour la structure sans mur.
– 0.67 g = 6.56m s −2 ; pour la structure avec murs.
– Sens Y : L’accélération maximale supportée par la structure est égale à :
– 0.4 g = 3.9m s −2 ; pour la structure sans mur.
– 0.49 g = 4.8m s −2 ; pour la structure avec murs.
Comparaison entre les comportements sous chargement statique et dynamique : Dans ce paragraphe,
les courbes de capacité obtenues lors du chargement statique et celles obtenues par les
chargements dynamiques sont comparées.
Les courbes «Effort tranchant global - Déplacement en tête» de la figure 2.31 montrent une
bonne concordance entre les résultats du calcul pseudostatique et ceux du calcul dynamique.
Nous observons que les courbes coincident. Les résistances aux séismes sont proches entre les
deux calculs. Il en est de même pour les valeurs des déplacements maximaux en haut du plancher,
qui correspondent au début de la dégradation de résistance dans le cas statique, et au
début du palier horizontal, dans le cas dynamique.
Pour déduire les accélérations maximales au sol correspondant au calcul pseudo-statique par
la courbe effort tranchant-déplacement, le raisonnement suivant peut être utilisé : Les efforts
résultant du déplacement imposé à la structure sont :
Ft = Kd où K est la raideur sécante de la structure.
Or, on peut écrire que :
a = ω2d avec ω2 = K
M , où M la masse de la structure.
D’où :
Ft = M a ⇒ a = Ft
M
a étant l’accélération relative, déduite du spectre de référence S1 en fonction de l’accélération
nominale aN par la formule :
a(T ) = aNρτRD(T ) (2.53)
63

Accélération du sol (m/s²)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
0 2 4 6 8 10
Temps (s)
R d (T)
Fig. 2.27 – Accélérogramme du programme CASSBA
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Spectre normalisé de référence S1(PS92)
Spectre normalisé de l’accélérogramme
0
0 0.5 1 1.5
Période T (s)
2 2.5
Fig. 2.28 – Spectre de référence normalisé S1 ( amortissement 5%) et comparaison avec le
spectre de réponse de l’accélérogramme utilisé (CASSBA)
64

Effort tranchant (MN)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
x 10 −3
−0.5
Déplacement en tête (m)
Fig. 2.29 – Courbe Effort tranchant Déplacement sous sollicitation sismique.
Accélération du sol(m/s²)
7
6
5
4
3
2
1
0
BF Y
IF Y
BF X
IF X
0.02 0.04 0.06
Déplacement en tête (m).
0.08 0.1
Fig. 2.30 – Courbes de capacité sous chargement dynamique : Courbes accélération du soldéplacement
en tête pour la structure avec murs (IF) et sans mur (BF) dans le sens X et Y.
Les extrémités des courbes correspondent à la ruine de la structure
65

Calcul statique Calcul dynamique Calcul analytique
Sens X Sans mur 0.41 0.64 0.41
Avec murs 0.42 0.67 0.42
Sens Y Sans mur 0.39 0.4 0.39
Avec murs 0.43 0.49 0.43
Tab. 2.9 – Comparatif des accélérations au sol admissibles par la structure (en valeurs de
l’accélération de la pesanteur g)
où ρ la correction d’amortissement, prise égale à 1 ; τ la correction topographique égale à 1 et
RD(T ) l’ordonnée du spectre de dimensionnement normalisé à la période T. L’expression de
l’accélération nominale au sol devient alors :
aN =
Ft
(M RD(T ))
Sur la figure 2.31, on note que les courbes de capacité accélération-déplacement issues du chargement
pseudostatique ne correspondent pas à celles obtenues sous chargement dynamique. Ce
résultat montre que l’estimation des accélérations au sol à partir du chargement statique par
l’intermédiaire de spectres normalisés réglementaires n’est pas bien adaptée dans le cas du comportement
non-linéaire. En effet, même en considérant la raideur sécante (raideur endommagée),
les accélérations obtenues restent inférieurs à celles correspondant au chargement dynamique.
Le biais de la méthode d’estimation des accélérations au sol peut être expliqué par le fait que
les spectres normalisés réglementaires supposent un amortissement fixe (5% dans ce cas), alors
que du fait des nonlinéarités, l’amortissement varie dans la structure. Cette hypothèse peut
être vérifiée en traçant les courbes de capacité correspondant à plusieurs niveaux d’amortissement.
Sur la figure 2.32, on peut noter que l’accélération obtenue par chargement dynamique
correspond grossièrement à un amortissement de 15%, largement supérieur aux 5% adoptés.
Les accélérations au sol maximales calculées par les différentes méthodes exposées sont
rassemblées dans le tableau 2.9. Il en resort que les résultats du calcul analytique coincident
bien avec ceux du calcul pseudo-statique. Par contre, un écart important apparaît entre les
accélérations admissibles obtenues par le calcul pseudo-statique et celles obtenues par le calcul
dynamique.
66

Effort tranchant (MN)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
XBFstat
XIFstat
YBFstat
0.2
YIFstat
XBFdyna
0.1
XIFdyna
YBFdyna
YIFdyna
0
0 0.05 0.1 0.15
Déplacement en tête (m)
Fig. 2.31 – Comparaison des courbes de capacité sous chargements horizontaux statique et dynamique
: Il y a correspondance au niveau des déplacements maximaux et des efforts maximaux
obtenus par les deux types de chargement
Accélération au sol (m.s-²)
7
6
5
4
3
2
1
BF X dynamique
BF X statique amort. 15%
BF X statique amort. 5%
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Déplacement en tête (m)
Fig. 2.32 – Influence de l’amortissement sur la résistance au séisme : la courbe obtenue avec un
amortissement de 15% est la plus proche de l’accélération observée lors du chargement dynamique
67

2.4.5 Modèle éléments finis simplifié de la structure
La finesse du maillage de la modélisation éléments finis de la structure de référence est
imposée par la bonne convergence des résultats du calcul déterministe pour différents cas de
chargement, dynamique et monotone, suivant les deux directions horizontales, en présence et
en absence des murs de remplissage en maçonnerie. Cependant, un maillage plus grossier bien
qu’inefficace pour l’ensemble de ces cas d’étude, s’avère suffisant pour des cas particuliers de
chargement. Étant donné que dans la modélisation probabiliste, nous nous limitons à la structure
sans murs de remplissage et que les lois non linéaires utilisées ne tiennent pas compte des
critères de ruine, il est utile de chercher une modélisation plus simplifiée de la structure qui
donne des résultats proches de ceux du modèle utilisé jusque là.
L’avantage du changement de l’échelle du maillage est double :
– la réduction du nombre de DDLs du modèle moyen, donc de la dimension de la matrice
modale, d’où un gain en coût de calcul ;
– la prise en compte, par la modélisation nonparamétrique, des erreurs de modélisation
induites par le passage à un maillage plus grossier.
En gardant le même maillage pour les poteaux et en simplifiant le maillage des éléments
linéaires (plancher, toiture et poutres), la structure de référence peut être représentée par le
modèle éléments finis de la fig. 2.33.
Fig. 2.33 – Modélisation éléments finis ”simplifiée” de la structure
La comparaison des réponses des deux modèles, simplifié et complexe, dans le cas d’un chargement
monotone (cf.fig. 2.34) et dans le cas d’un chargement sismique (cf. fig. 2.35), suivant la
direction X, montre une correspondance parfaite des résultats. Le modèle éléments finis ”simplifié”
peut donc se substituer au modèle éléments finis ”complexe” pour la conception du modèle
probabiliste. De ce fait, il constituera le modèle moyen de la modélisation probabiliste.
68

Effort tranchant gloabl (N)
x 105
7
6
5
4
3
2
1
0
Simplifiée
Complexe
−1
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
Déplacement en tête (m)
Fig. 2.34 – Comparaison des courbes Déplacement-Effort tranchant global en fonction du
maillage dans le cas d’un déplacement imposé.
Effort tranchant global (N)
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
x 105
4
Simplifiée
Complexe
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6
x 10 −3
−5
Déplacement en tête (m)
Fig. 2.35 – Comparaison des courbes Déplacement-Effort tranchant global en fonction du
maillage dans le cas d’un chargement sismique.
69

2.4.6 Conclusions
L’objectif du calcul déterministe d’un exemple de bâtiment à portiques en béton armé était :
– d’une part, de mettre en évidence la complexité du problème et de proposer une méthodologie
de détermination du comportement de la structure soumise aux séismes ;
– d’autre part, de fournir une modélisation par éléments finis qui constitue un ”modèle
moyen” vis à vis de la modélisation probabiliste développée dans la suite de ce travail.
L’approche locale-globale permet d’aboutir à des éléments de structure avec des lois de comportement
globales adaptées à la modélisation de structure complexes, tout en représentant le comportement
non-linéaire et les phénomènes hystérétiques liés au mouvement sismique. Ces lois globales
restent perfectibles afin de tenir compte d’autres phénomènes observés expérimentalement
ou à l’échelle locale, comme le couplage flexion/torsion, le comportement hors plan des murs en
maçonnerie...
La comparaison entre le calcul pseudostatique et le calcul dynamique a montré que la structure
atteint pratiquement les mêmes résistances aux sollicitations horizontales et la même ductilité
dans les deux cas. Cependant, il s’avère que la détermination des accélérations au sol à partir
du calcul push-over en utilisant les formules réglementaires ne permettent pas de retrouver
les accélérations au sol appliquées lors du chargement dynamique. Ce résultat montre que l’approche
réglementaire n’est pas bien adaptée à l’étude du comportement de la structure lorsqu’on
se situe loin de la phase élastique de la structure.
La structure ainsi modélisée servira de modèle de référence pour la construction et la validation
du modèle réduit moyen dans les modèles probabilistes développés dans la suite de ce travail.
70

Chapitre 3
Modélisation probabiliste non
paramétrique en dynamique linéaire
Sommaire
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Construction du modèle réduit moyen en dynamique linéaire . . . . 72
3.2.1 Construction par analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.2 Résolution numérique du problème matriciel réduit . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Construction du modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.1 Information disponible sur les matrices aléatoires . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.2 Normalisation des matrices aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.3 Paramètres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Mise en oeuvre du modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1 Génération des réalisations des matrices aléatoires . . . . . . . . . . . . 79
3.4.2 Etude de la convergence stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.3 Choix d’observables et de grandeurs statistiques . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Application à la structure de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5.1 Modèle réduit moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5.2 Modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.3 Sensibilité du modèle aux paramètres de dispersion . . . . . . . . . . . . 96
3.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
71

3.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la modélisation probabiliste du comportement
linéaire de la structure sous chargement sismique. L’hypothèse d’un comportement linéaire de la
structure a un double intérêt : d’une part, les règles parasismiques se limitent souvent à la partie
élastique de la résistance du bâtiment. Afin de juger de la robustesse des modèles déterministes
dynamiques du bâtiment, il est souhaitable de quantifier la sensibilité de la réponse de la structure
aux incertitudes sur la partie élastique de la résistance du bâtiment. Il s’agit donc de
quantifier l’influence de l’incertitude de la partie linéaire du modèle dans la réponse d’une structure
en viscoélastodynamique linéaire.
Afin de modéliser les incertitudes liées à une structure viscoélastique linéaire, la modélisation
non paramétrique des incertitudes est utilisée ([87],[88]). Cette modélisation tient compte des
incertitudes de modélisation en introduisant un modèle probabiliste, non sur les paramètres de la
structure, mais sur les matrices généralisées de masse, de raideur et d’amortissement. Une telle
formulation probabiliste non paramétrique des incertitudes modélise ces matrices généralisées du
problème par des variables aléatoires à valeurs dans l’ensemble des matrices réelles, symétriques
et définies positives. La construction du modèle probabiliste s’appuie donc sur le modèle réduit
moyen de la structure obtenu par décomposition modale.
Nous commencerons donc ce chapitre par l’exposé de la méthode de construction du modèle
réduit moyen, à partir duquel sera construit le modèle probabiliste. Ce dernier suit la modélisation
probabiliste non paramétrique introduite par C. Soize ([87],[88]) et rappelée dans ce chapitre.
Enfin, nous présentons les résultats de l’application du modèle probabiliste au cas de la structure
de référence sans mur en maçonnerie, représentée par sa modélisation éléments finis simplifiée
définie au paragraphe 2.4.5 et soumise à un chargement sismique de direction X.
3.2 Construction du modèle réduit moyen en dynamique linéaire
Afin de mettre en oeuvre l’approche non paramétrique des incertitudes, il est nécessaire
d’établir préalablement le modèle réduit moyen du système dynamique linéaire. En effet, la
factorisation de ces matrices est nécessaire pour construire les matrices aléatoires du modèle
réduit stochastique [M], [D] et [K] (voir Eqs. (3.43)-(3.44)), en projetant le modèle discrétisé
par éléments finis sur les n premiers modes propres du système.
3.2.1 Construction par analyse modale
La modélisation par éléments finis de la structure de référence conduit à résoudre en dynamique
linéaire le système matriciel moyen suivant, que nous désignerons par la suite comme
étant le modèle matriciel moyen :
[M] ü(t) + [D] ˙u(t) + [K] u(t) = − [M] üs(t); (3.1)
avec t ∈ [0, T ] où T est la durée du signal sismique et où [M], [D] et [K] sont les matrices (N ×N)
de masse, d’amortissement et de rigidité, respectivement ; u(t) le vecteur des déplacements des
N DDLs de la modélisation éléments finis de la structure et üs(t) est le vecteur des accélérations
imposées aux N DDLs du modèle éléments finis dues au chargement sismique.
Les valeurs propres λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λN et les vecteurs propres associés {ϕ α }1≤α≤N sont
solutions du problème généralisé aux valeurs propres :
Trouver λ et ϕ �= 0 tels que :
([K] − λ [M])ϕ = 0 (3.2)
Les vecteurs propres {ϕ }1≤α≤N forment une base vectorielle sur laquelle u(t) et us(t) peuvent-
α
être décomposés, à t fixé dans [0, T ]. On a donc :
N�
u(t) = qα(t)ϕ (3.3)
α
α=1
72

us(t) =
N�
qs,α(t)ϕ
α
α=1
Pour tout t fixé dans [0, T ], {qα(t)}1≤α≤N est l’ensemble des coordonnées généralisées de la
réponse u(t) sur les modes {ϕ α }1≤α≤N et {qs,α(t)}1≤α≤N est l’ensemble des coordonnées généralisées
de la réponse us(t) sur les modes {ϕ α }1≤α≤N. On note u n (t) et u n s (t) les projections de u(t)
us(t), respectivement sur les n < N premiers modes propres ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n . On a donc :
u(t) =
us(t) =
n�
qα(t)ϕ
α
α=1
n�
qs,α(t)ϕ
α
α=1
On introduit la matrice modale [Φ n] qui est une matrice (N × n) réelle dont les éléments sont
les composantes des vecteurs propres {ϕ α }1≤α≤n, on a donc :
Les Eqs. (3.5, 3.6) peuvent alors être réécrites :
[Φ n]jα = {ϕ α }j
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
u n (t) = [Φ n] q n (t), (3.8)
u n s (t) = [Φ n] q n s (t), (3.9)
où les vecteurs des coordonnées généralisées q n (t) q n s (t) sont définis, pour tout 1 ≤ α ≤ n par :
{q n (t)}α = qα(t) (3.10)
{q n s (t)}α = qs,α(t) (3.11)
En multipliant à gauche par [Φ n] T l’Eq. (3.1), en substituant u(t) par u n (t) et us(t) par u n s (t) ;
et en utilisant les Eqs. (3.10) et (3.11), on montre que q(t) est tel que
[M] ¨q n (t) + [D] ˙q n (t) + [K] q n (t) = − [M] ¨q n s (t), (3.12)
où les matrices (n × n) réelles, symétriques, définies positives [M], [D] et [K] sont définies par :
[M] = [Φ n] T [M] [Φ n] (3.13)
[D] = [Φ n] T [D] [Φ n] , (3.14)
[K] = [Φ n] T [K] [Φ n] . (3.15)
Les vecteurs propres {ϕ α } étant orthogonaux par rapport aux matrices de masse [M] et de
raideur [K], on a :
[M] αβ = µαδαβ, (3.16)
[K] αβ = µαλαδαβ; (3.17)
où δαβ désigne le symbole de Kronecker et µα la masse généralisée telle que
µα =< [M] ϕ α , ϕ α >; (3.18)
où < ., . > désigne le produit scalaire euclidien de R n .
Les matrices de masse généralisées [M] et de raideur généralisée [K] sont diagonales. Toutefois,
la matrice d’amortissement généralisée n’est, en générale, pas diagonale. Il est très difficile de
construire le modèle mécanique de l’amortissement dans le cas le plus générale. On suppose ici
73

que l’amortissement est de type Rayleigh, c’est à dire qu’il existe deux constantes réelles a et b
telles que :
[D] = a [M] + b [K] . (3.19)
La matrice d’amortissement généralisée [D] s’écrit alors :
[D] est alors une matrice diagonale dont les composantes sont :
[D] = a [M] + b [K] . (3.20)
�
[D] αβ = 2ξαµα λαδαβ; (3.21)
où ξα est le taux d’amortissement généralisé du mode (λα, ϕ α ) tel que :
ξα = < [D] ϕ α , ϕ α >
√
2µα λα
3.2.2 Résolution numérique du problème matriciel réduit
(3.22)
Pour chercher la solution u n (t) du problème matriciel moyen, il est nécessaire de déterminer la
solution q n (t) du système matriciel défini par l’Eq. (3.12). S’agissant d’un problème d’évolution,
les conditions initiales doivent être réécrites dans le domaine des coordonnées généralisées et sont
q n (0) = 0 et ˙q n (0) = 0. La résolution du problème est obtenue, par approximation numérique,
en utilisant la méthode numérique d’intégration de Newmark à deux paramètres � δ et �α.
La méthode de Newmark se base sur les expressions suivantes :
˙xk+1 = ˙xk + [(1 − � δ)¨xk + � δ¨xk+1]∆t, (3.23)
xk+1 = xk + ˙xk∆t + [(0.5 − �α)¨xk + �α¨xk+1]∆t 2 . (3.24)
où pour tout entier k ≥ 0, xk = qn (k∆t), ˙xk = ˙q n (k∆t) et ¨xk = ¨q n (k∆t). ∆t est le pas
d’intégration. Afin d’assurer la stabilité du schéma d’intégration, les paramètres � δ et �α doivent
être choisis de sorte que :
�δ ≥ 0.5 ; �α ≥ 0.25(0.5 + � δ) 2
(3.25)
Le choix de ∆t est conditionné par la vérification de deux critères :
– Premier critère correspondant à la période propre de l’oscillateur amorti. Il doit y avoir
suffisamment de points sur une période TD.
– Deuxième critère correspondant à la variation de la force excitatrice : Il doit y avoir
suffisamment de points sur la période correspondant au rang le plus élevé encore significatif
pour la force appliquée.
Un nombre de 10 points par période est une valeur courante représentant un bon compromis.
L’équation d’équilibre à l’instant t = (k + 1)∆t s’écrit :
[M] ¨xk+1 + [D] ˙xk+1 + [K] xk+1 = Fk+1, (3.26)
où Fk+1 = − [M] ¨q n s (k∆t). Donc, en exprimant ¨xk+1 et ˙xk+1 en fonction de xk+1 à l’aide des
Eqs. (3.23) et (3.24). L’Eq. (3.26) est réécrite en fonction de la seule inconnue xk+1. Cette
inconnue est déterminée par la résolution de l’équation :
[ � K]xk+1 = � Fk+1
(3.27)
où [ � K] est la raideur efficace définie par : [ � K] = [K]+a0 [M]+a1 [D], et � Fk+1 est la force effective
à l’instant t = (k + 1)∆t, telle que :
�Fk+1 = Fk+1 + [M] (a0xk + a2 ˙xk + a3¨xk) + [D] (a1xk + a4 ˙xk + a5¨xk)
74

pour chaque instant t
Initialisation :
x0, ˙x0,
¨x0 = [M] −1 (F0 − [D] ˙x0 − [K]x0)
[M]
[D]
réduction modale
[M] , [D] , [K]
Calcul de la raideur efficace
Calcul de la force efficace
Résolution de l’équation
[ � K]xk = � Fk
[K]
[ � K] = [K] + a0[M] + a1[D]
Détermination de ¨xk et ˙xk
¨xk = a0(xk − xk−1) − a2 ˙xk−1 − a3¨xk−1
˙xk = ˙xk−1 + a6¨xk−1 + a7¨xk
Initialisation:
Choix du temps d’échantillonnage
Choix des paramètres
�α, � β
∆t
Calcul des constantes d’intégration: (a1, ..., a7)
�Fk = Fk + [M](a0xk−1 + a2 ˙xk−1 + a3¨xk−1) + [D](a1xk−1 + a4 ˙xk−1 + a5¨xk−1)
où a0, ..., a7 sont les constantes du schéma d’intégration définies par :
a0 = 1
�α∆t 2 , a1 = � δ
�α∆t , a2 = 1
�α∆t
a3 = 1
2�α − 1 , a4 = � δ
�α − 1 , a5 = ∆t
2 ( � δ
− 2);
�α
a6 = ∆t(1 − � δ) , a7 = � δ∆t.
75

3.3 Construction du modèle probabiliste
Ce sous-chapitre reprend la construction du modèle probabiliste non paramétrique des matrices
aléatoires généralisées, développé par Soize ([87],[91]).
3.3.1 Information disponible sur les matrices aléatoires
Le modèle probabiliste des matrices aléatoires du modèle probabiliste non paramétrique
est construit en utilisant le principe du maximum d’entropie et en considérant l’information
objective disponible sur les matrices aléatoires du problème. L’entropie de Shannon [83] est une
mesure quantitative de l’incertitude associée à la densité de probabilité d’une variable aléatoire.
En se fixant comme contraintes l’information utilisable concernant une variable aléatoire, on
cherche à déterminer la densité de probabilité qui permet de maximiser l’entropie de Shannon ;
ce qui revient à choisir parmi toutes les distributions de probabilité qui vérifient les contraintes,
celle qui comporte l’incertitude la plus importante [53]. En modélisant les matrices réduites de
masse, de raideur et d’amortissement par les matrices aléatoires [M], [K] et [D], la réponse du
système est alors un processus stochastique U indexé sur [0, T ] qui s’écrit :
où Q est un processus stochastique indexé sur [0, T ] tel que :
avec les conditions aux limites suivantes :
U(t) = [Φ n] Q(t), (3.28)
[M] ¨ Q(t) + [D] ˙ Q(t) + [K] Q(t) = − [M] ¨q n s ((t), (3.29)
Q(0) = 0 ; ˙ Q(0) = 0. (3.30)
Les informations utilisables pour la construction des matrices généralisées aléatoires [M], [D] et
[K] sont les suivantes :
1. Les matrices [M], [D] et [K] sont des matrices aléatoires à valeurs dans l’ensemble M + n (R)
des matrices (n × n) symétriques définies positives
[M] ∈ M + n (R), (3.31)
[D] ∈ M + n (R), (3.32)
[K] ∈ M + n (R); (3.33)
2. [M], [D] et [K] sont des variables aléatoires dont les valeurs moyennes sont égales aux
matrices généralisées du système matriciel réduit moyen :
où E{.} est l’opérateur d’espérance mathématique ;
E{[M]} = [M] , (3.34)
E{[D]} = [D] , (3.35)
E{[K]} = [K] ; (3.36)
3. Les matrices aléatoires sont définies positives, elles sont donc inversibles presque sûrement.
Pour que la variable aléatoire U(t) soit du second ordre, à chaque instant t fixé dans [0, T ],
on montre ([87],[88]) qu’il est nécessaire que [M] −1 , [D] −1 et [K] −1 soient des variables
aléatoires du second ordre à valeurs dans M + n (R) :
où � [A] �F = (tr([A] [A] T ) 1/2 est la norme de Frobenius.
E{� [M] −1 � 2 F } < +∞, (3.37)
E{� [D] −1 � 2 F } < +∞, (3.38)
E{� [K] −1 � 2 F } < +∞; (3.39)
76

3.3.2 Normalisation des matrices aléatoires
Les matrices aléatoires réduites [M], [D] et [K] sont relatives à des quantités de nature
différente. Il est donc utile de normaliser ces matrices en introduisant des matrices aléatoires
dont la valeur moyenne soit la matrice identité. La normalisation des matrices aléatoires réduites
est faite en considérant la factorisation de Cholesky des matrices réduites moyennes.
[M] = [L M] T [L M] , (3.40)
[D] = [L D] T [L D] , (3.41)
[K] = [L K] T [L K] , (3.42)
où [L M], [L K] et [L D] sont des matrices triangulaires supérieures.
Il est possible alors d’écrire [M], [D] et [K] sous la forme des produits matriciels :
[M] = [L M] T [GM] [L M] , (3.43)
[D] = [L D] T [GD] [L D] ; [K] = [L K] T [GK] [L K] , (3.44)
(3.45)
où [GM], [GD] et [GK] sont des variables aléatoires à valeurs dans M + n (R) dont les valeurs
moyennes sont égales à la matrice identité de R n que nous notons [In].
Nous avons donc :
E{[GM]} = [In] , (3.46)
E{[GD]} = [In] , (3.47)
E{[GK]} = [In] ; (3.48)
Compte tenu de ces informations, le modèle probabiliste des matrices aléatoires peut être
construit en utilisant le principe du maximum d’entropie. Soit [G] une matrice aléatoire réelle
symétrique définie positive représentant les matrices aléatoires réduites normalisées [GM], [GD]
et [GK]. On suppose que la distribution de probabilité P [G] de la matrice aléatoire [G] admet
une densité de probabilité p [G] par rapport à la mesure � dG définie sur l’ensemble M S n(R) des
matrices réelles et symétriques, telle que (voir ([87],[88]) :
On a donc :
˜
dG = 2 n(n−1)
4 Π1≤i≤j≤nd [G] ij , (3.49)
P [G]( ˜
dG) = p [G]([G]) ˜
dG (3.50)
La fonction densité de probabilité doit vérifier la condition de normalisation, à savoir :
�
p [G]([G]) ˜ dG = 1 (3.51)
M + n (R)
En considérant les Eqs. (3.37)-(3.39) et (3.46)-(3.48), les informations utilisables pour la construction
du modèle probabiliste de la matrice aléatoire [G] sont :
[G] ∈ M + n (R), (3.52)
E{[G]} = [In] , (3.53)
E{� [G] −1 � 2 F } < +∞. (3.54)
On montre que la condition 3.54 est vérifiée s’il existe un réel ν tel que :
�
ln(det [G])p [G]([G]) ˜ dG = ν, | ν |< ∞ (3.55)
M + n (R)
77

D’autre part, l’équation 3.53 est réécrite :
�
[G] p [G]([G]) ˜ dG = [In] (3.56)
M + n (R)
Pour résumer, le modèle probabiliste de la matrice aléatoire [G] introduite dans la normalisation
des matrices aléatoires [M], [D] et [K] est construit en utilisant le principe du maximum
d’entropie sous la contrainte des informations objectives disponibles suivantes :
[G] ∈ M + � n (R)
M + n (R) [G] p [G]([G]) ˜ dG = [G]
�
M + n (R) p [G]([G]) ˜ dG = 1
�
M + n (R) ln(det [G])p [G]([G]) ˜ dG = ν, | ν |< ∞
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(3.57)
L’entropie de la densité de probabilité de la matrice aléatoire [G] s’écrit sous la forme :
�
S(p [G]) = − p [G]([G]) ln(p [G]([G])) ˜ dG (3.58)
M + n (R)
Le principe du maximum d’entropie s’énonce alors :
Trouver p [G] Max(S(p [G])) / p [G] vérifie les contraintes (3.57) (3.59)
Il s’agit d’un problème d’optimisation sous contraintes résolu en utilisant l’approche des multiplicateurs
de Lagrange. D’après [88], la fonction densité de probabilité solution d’un tel problème
s’écrit sous la forme
p [G]([G]) = I +
M n (R) ([G]) × CG
1−δ2
(n+1)
× (det([G])) 2δ2 n+1
−
× e 2δ2 tr([G]) , (3.60)
où I M + n (R) est la fonction indicatrice de M+ n (R), CG est une constante positive de normalisation
telle que,
CG = (2π)−n(n−1)/4 ( n+1
2δ2 ) n(n+1)(2δ2 ) −1
Πn j=1
n+1 Γ( 2δ2 + 1−j
2 )
où z ↦→ Γ(z) est la fonction gamma définie pour tout z > 0 par
� ∞
Γ(z) =
0
, (3.61)
t z−1 e −t dt, (3.62)
et δ un paramètre scalaire adimensionnel appelé paramètre de dispersion et pilotant la dispersion
de la matrice aléatoire autour de sa moyenne [In]. Les modèles probabilistes des matrices [GM],
[GD] et [GK] sont les mêmes que celui de [G] mais avec des paramètres de dispersion δM, δD
et δK propres à chacune des matrices [GM], [GD] et [GK].
3.3.3 Paramètres de dispersion
Comme il a été remarqué au paragraphe §3.3.2, le niveau de dispersion des matrices aléatoires
de masse, de raideur et d’amortissement est contrôlé par les niveaux de dispersion des matrices
[GM], [GD] et [GK] (voir Eqs. (3.43)-(3.44)), qui sont eux-mêmes pilotés par les paramètres de
dispersion δM, δD et δK. Ces paramètres contrôlent donc la dispersion dans les matrices [M],
[D] et [K], respectivement.
Afin de donner un sens ”physique” à δM, δD et δK, il est possible de montrer que
δM = { E{� [GM] − [GM] �2 F }
� [GM] �2 }
F
1/2 , (3.63)
δK = { E{� [GK] − [GK] �2 F }
� [GK] �2 }
F
1/2 , (3.64)
δD = { E{� [GD] − [GD] �2 F }
� [GD] �2 }
F
1/2 . (3.65)
78

Les paramètres de dispersion δM, δD et δK sont indépendants de la dimension n et doivent être
choisis tel que pour un entier n0 ≥ 1 fixé :
�
n0 + 1
0 < δM <
(3.66)
n0 + 5
�
n0 + 1
0 < δD <
(3.67)
n0 + 5
�
n0 + 1
0 < δK <
(3.68)
n0 + 5
Dans le cadre de ce travail, nous choisissons dans un premier temps de fixer ces paramètres
de dispersion. Dans un second temps, une étude paramétrique en fonction des paramètres de
dispersion sera effectuée pour estimer l’influence de la dispersion dans les différentes matrices
sur la réponse dynamique de la structure.
3.4 Mise en oeuvre du modèle probabiliste
3.4.1 Génération des réalisations des matrices aléatoires
La méthode de simulation numérique de Monte-Carlo est utilisée comme solveur stochastique
du modèle probabiliste. La mise en oeuvre de cette méthode nécessite un générateur de
réalisation des matrices aléatoires [GM], [GD] et [GK] suivant les lois de probabilité appropriées
et construites au paragraphe § 3.1.
Un tel générateur est présenté dans ([87],[88]). Nous rappelons dans ce paragraphe comment
construire un tel générateur de sorte que les réalisations de la matrice aléatoire [G] suivent la
loi de distribution de probabilité P [G] définie par l’Eq. (3.50) du paragraphe §3.3.2. La matrice
[G] étant symétrique et définie positive, elle admet une factorisation de Cholesky. On a donc :
[G] = [LG] T [LG] , (3.69)
où [LG] est une matrice aléatoire à valeurs dans l’espace des matrices (n×n) réelles triangulaires
supérieures.
La matrice aléatoire [LG] est construite selon [87] de la façon suivante :
1. Les composantes [LG] ij de la matrice [LG] sont des variables aléatoires indépendantes,
2. On montre que les variables aléatoires [LG] ij tels que i < j < n s’écrivent
[LG] ij = σnUij
σn = δ(n + 1) −1/2
où Uij est une variable aléatoire gaussienne centrée et de variance égale à 1.
3. On montre que les éléments de la diagonale de [LG] s’écrivent :
�
[LG] ii = σn 2Vi
(3.70)
(3.71)
(3.72)
où Vi est une variable aléatoire gamma à valeurs positives dont la fonction de densité de
probabilité pVi (v) par rapport à la mesure de Lebesgue dv est définie par :
pVi (v) = IR +(v)
1
Γ( n+1
2δ2 + 1−i
2
n+1 1+j
2δ2 − 2 e
)v −v
(3.73)
Si [A] désigne [M], [D] ou [K] et si [A(θ)] désigne une réalisation de [A], alors [A(θ)] est
construite de la façon suivante :
1. choix de la valeur de dispersion δA ;
79

2. calcul du paramètre σn (voir Eq. (3.70)) ;
3. génération de la réalisation Uij(θ) des variables aléatoires Uij pour tout i < j ≤ n ;
4. génération de la réalisation Vi(θ) des variables aléatoires Vi pour tout i ≤ n ;
5. construction de la réalisation [LG(θ)] de la matrice aléatoire [LG] en utilisant les Eqs
(3.70)- (3.72). On a donc :
pour tout i < j ≤ n , [LG(θ)] ij = σnUij(θ) (3.74)
�
pour tout i ≤ n , [LG(θ)] ii = σn 2Vi(θ) (3.75)
6. construction de la réalisation [G(θ)] de la matrice [G] en utilisant l’Eq. (3.69). On a donc :
[G(θ)] = [LG(θ)] T [LG(θ)] , (3.76)
7. construction de la réalisation [A(θ)] de la matrice aléatoire [A] telle que :
[A(θ)] = [L A] T [G(θ)] [L A] , (3.77)
où [L A] désigne respectivement [L M], [L D] et [L K] si [A] désigne respectivement [M], [D]
et [K]
3.4.2 Etude de la convergence stochastique
La convergence du modèle probabiliste non paramétrique est étudiée a posteriori pour estimer
d’une part le nombre de modes nécessaires pour représenter correctement le comportement réel
de la structure, d’autre part le nombre de réalisations suffisant pour garantir la convergence des
estimateurs statistiques considérés.
La convergence du modèle réduit moyen vis-à-vis du nombre de modes peut-être analysée en
étudiant l’application n ↦→ � T
0 �qn (t)� 2 dt où �.� est la norme euclidienne de R n et T est la
durée du signal sismique. De même, la convergence du modèle réduit stochastique vis-à-vis
du nombre de modes peut-être analysée en étudiant l’application n ↦→ E{ � T
0 �Qn (t)� 2 dt}. Les
valeurs de cette application sont estimées par simulations numériques de Monte-Carlo. Pour
cela, on introduit l’application n ↦→ Conv 2 (n, nS) définie par :
Conv 2 (n, nS) = 1
nS
nS�
ℓ=1
� T
0
� Q n (t, θℓ) � 2 dt. (3.78)
A n et nS fixés, Conv2 (n, nS) est un estimateur statistique de E{ � T
0 �Qn (t)�2dt}. On a donc :
lim
nS→+∞ Conv2 � T
(n, nS) = E{ �Q
0
n (t)� 2 dt}. (3.79)
Pour chaque n fixé, le graphe de nS ↦→ Conv 2 (n, nS) doit être construit. Pour n fixé, la fonction
nS ↦→ Conv2 (n, nS) converge vers une valeur limite � Cn. Pour tout n ≥ 1, la suite { � Cn}n≥1
converge vers une valeur limite notée � C telle que :
� T
�C = E{ �Q
0
n (t)� 2 dt}. (3.80)
On estime que la convergence stochastique est atteinte, pour tout n et nS suffisamment grands,
lorsque pour tout n ′ ≥ n et n ′ S ≥ on a :
où ε est l’erreur tolérée sur l’estimateur de E{ � T
0 �Qn (t)� 2 dt}.
|Conv 2 (n ′ , n ′ S) − � C| < ε (3.81)
80

3.4.3 Choix d’observables et de grandeurs statistiques
Définition des observables
Le choix des observables est étroitement lié à la nature du problème dynamique étudié. Pour
le cas du génie parasismique et de la prévention du risque sismique dans les bâtiments courants,
sujet de cette étude, l’attention est particulièrement portée sur l’estimation des efforts transmis
à la structure et des déformations résultant d’un chargement sismique.
Pour le cas des bâtiment en portique en béton armé, la ruine de la structure est essentiellement
due à la rupture des poteaux par cisaillement, lorsque l’effort tranchant maximal est dépassé ou
par rupture de la rotule plastique, dans le cas où la limite de la rotation plastique est atteinte.
Soit T Ng (t) le vecteur des efforts internes calculés, aux points de Gauss du modèle discrétisé
par éléments finis. A chaque instant t, le vecteur T Ng (t) est fonction du vecteur déplacement
des DDLs du modèle éléments finis. Il existe une application u ↦→ t(u) telle que
T Ng (t) = t(U n (t)) = t([Φ n]Q n (t)) (3.82)
Les grandeurs observées dans la suite sont :
– l’effort tranchant TP i(t) = {T Ng }XP i , où XP i est le numéro du point de Gauss correspondant
à l’effort tranchant en tête du poteau Pi dans la direction −→ X, qui est la direction du
chargement sismique (voir figure 3.1),
– l’effort tranchant global Tg(t) supporté par l’ensemble de la structure suivant la direction
X, calculé en sommant les efforts tranchants en tête des poteaux de la structure :
Np �
Tg(t) = TP i(t) (3.83)
avec Np le nombre total de poteaux.
– la rotation RP i = {(U n (t)}YP i , où YP i est le numéro du DDL correspondant à la rotation
autour de l’axe −→ Y de l’élément extrémité du poteau Pi,
– les spectres d’accélération (en g) aux noeuds des poteaux.
La méthode de simulation numérique de Monte Carlo permet d’estimer la moyenne et l’écarttype
de chacune des observables. Nous obtenons ainsi pour les efforts tranchants TP i :
T P i(t) = E{TP i(t)} � 1
ns �
TP i(t; θℓ) (3.84)
i=1
σTP i (t) = (E{(TP i(t) − T P i(t)) 2 }) 1/2 � ( 1
ns
ℓ=1
ns �
(TP i(t; θℓ) − T P i(t))
ns
ℓ=1
2 ) 1/2
(3.85)
où TP i(t; θ1), ..., TP i(t; θnS ) sont les nS réalisations de la variable aléatoire TP i(t). De même, on
a pour l’effort tranchant global Tg(t) :
T g(t) = E{Tg(t)} � 1
ns �
Tg(t; θℓ) (3.86)
ns
ℓ=1
σTg(t) = (E{(Tg(t) − T g(t)) 2 }) 1/2 � ( 1
ns
(Tg(t; θℓ) − T g(t))
ns
ℓ=1
2 ) 1/2
�
(3.87)
où Tg(t; θ1), ..., Tg(t; θnS ) sont les nS réalisations de la variable aléatoire Tg(t).
Aussi, la moyenne et l’écart-type des rotations RP i s’écrivent respectivement :
RP i(t) = E{RP i(t)} � 1
ns �
RP i(t; θℓ) (3.88)
σRP i (t) = (E{(RP i(t) − R P i(t)) 2 }) 1/2 � ( 1
ns
ℓ=1
ns �
(RP i(t; θℓ) − RP i(t))
ns
ℓ=1
2 ) 1/2
où RP i(t; θ1), ..., RP i(t; θnS ) sont les nS réalisations de la variable aléatoire RP i.
81
(3.89)

Spectre de réponse
La réponse transitoire stochastique d’un degré de liberté libre j peut être caractérisée par
son pseudo-spectre des réponses en accélération Sj(ξ, ω) ([14],[85]). Ce spectre représente les
accélérations maximales (normalisées par rapport à l’accélération de la pesanteur) d’un ensemble
d’oscillateurs simples, de taux d’amortissement ξ et de pulsation propre ω, soumis à un
déplacement de leurs supports égal à la réponse transitoire du degré libre j.
Ainsi, la réponse du système dynamique au degré de liberté j est notée U n j (t) = {U n (t)}j et
nous considérons un famille d’oscillateurs simples de paramètres (ξ, ω) tels que :
ξ ∈]0, 1[, (3.90)
ω ∈ [ωmin, ωmax] (3.91)
Le support de chaque oscillateur est supposé soumis à l’excitation U n j
déplacement relatif de l’oscillateur par rapport à son support est noté Xn j
(t) avec t ∈ [0, T ]. Le
(t) et est tel que :
¨X n j (t) + 2ξω ˙ X n j (t) + ω 2 X n j (t) = − Ü n j (t) , t ∈ [0, T ], (3.92)
Xj(0) = ˙ Xj(0) = 0. (3.93)
Le spectre de réponse en déplacement est obtenu en déterminant pour chaque oscillateur défini
par le couple (ξ, ω) ∈]0, 1[×[ωmin, ωmax], la valeur maximale de X n j (t)
Le pseudo-spectre de réponse en accélération est défini par :
Sdj(ξ, ω) = max
t∈[0,T ] �Xn j (t)�, (3.94)
Saj(ξ, ω) = ω 2 Sdj(ξ, ω) (3.95)
Le spectre normalisé en g est déduit du pseudo-spectre de réponse en accélération en le normalisant
par rapport à l’accélération de la pesanteur g :
Sj(ξ, ω) = 1
g Saj(ξ, ω) (3.96)
Dans le cadre du modèle probabiliste, U n j (t) est un processus stochastique indexé sur [0, T ].
Ainsi, d’après les Eqs. (3.94)-(3.96), pour tout ξ et ω fixés, Sj(ξ, ω) est une variable aléatoire
caractérisée par sa moyenne m1j(ξ, ω), son moment du second ordre m2j(ξ, ω), sa variance
Vj(ξ, ω) et son écart-type σj(ξ, ω), définis par :
m1j(ξ, ω) = E{Sj(ξ, ω)} (3.97)
m2j(ξ, ω) = E{Sj(ξ, ω) 2 } (3.98)
Vj(ξ, ω) = m2j(ξ, ω) − m1j(ξ, ω) 2
�
(3.99)
σj(ξ, ω) = Vj(ξ, ω) (3.100)
En définissant la variable aléatoire dBj(ξ, ω) = log10(Sj(ξ, ω)), il est possible de construire
le domaine de confiance de la variable aléatoire dBj(ξ, ω) associé au niveau de confiance Pc par
la méthode des quantiles que nous rappelons au paragraphe suivant.
Domaines de confiance
Cas des spectres d’accélération :
Ce paragraphe est concerné par la construction du domaine de confiance du processus stochastique
{Sj(ξ, ·), indexé sur la bande fréquentielle ]ωmin, ωmax[ pour tout ξ fixé dans R + .
82

Soit ω ↦→ Sj(ξ, ω; θ) une réalisation du processus stochastique Sj(ξ, ·) pour ξ fixé. Le domaine
de confiance de Sj(ξ, ·) pour un niveau de confiance donné Pc ∈ [0, 1] est le domaine du plan
délimité par les enveloppes supérieures ω ↦→ s + j (ξ, ω) et inférieure ω ↦→ s− j (ξ, ω) telles que pour
tout ξ et ω fixés :
P roba(s − j (ξ, ω) < Sj(ξ, ω) ≤ s + j (ξ, ω)) = Pc, (3.101)
La méthode des quantiles est utilisée pour construire les enveloppes supérieure s + j et inférieure
s − j . Nous rappelons ici, la procédure mise en oeuvre dans le cadre de la méthode des quantiles.
Soit FSj(ξ,ω), la fonction de répartition de la variable aléatoire Sj(ξ, ω), pour ξ et ω fixés telle
que :
FSj(ξ,ω)(s) = P roba(Sj(ξ, ω) ≤ s). (3.102)
Pour 0 < p < 1, la fonction quantile (ou fractile) p ↦→ ζ(ξ, ω; p) de Sj(ξ, ω) est définie par :
ζ(ξ, ω; p) = inf{s/F Sj(ξ,ω)(s) ≥ p} (3.103)
Les valeurs extrêmes s − (ξ, ω) et s + (ξ, ω) du domaine de confiance sont alors définies par :
s − (ξ, ω) = ζ(ξ, ω;
1 − Pc
) ; s
2
+ (ξ, ω) = ζ(ξ, ω;
1 + Pc
) (3.104)
2
Les estimateurs statistiques de ces enveloppes supérieure et inférieure sont obtenus en considérant
l’estimateur � F Sj(ξ,ω)(s) de la fonction de répartition F Sj(ξ,ω)(s) par simulations numériques de
Monte-Carlo.
Notons par s 1 j (ξ, ω) = Sj(ξ, ω; θ1), ..., s nS
j (ξ, ω) = Sj(ξ, ω; θnS ) les ns réalisations indépendantes
de la variable aléatoire Sj(ξ, ω) et par �s 1 j
sociées à s 1 j
(ξ, ω) < ... < �sns
j
(ξ, ω) les réalisations ordonnées as-
(ξ, ω), ..., snS
j (ξ, ω). Les estimateurs de s− (ξ, ω) et s + (ξ, ω) sont définis par :
s − j
s + j
(ξ, ω) � �sk−
j (ξ, ω), avec k − = fix[ns(1 − Pc)/2] (3.105)
(ξ, ω) � �sk+
j (ξ, ω), avec k + = fix[ns(1 + Pc)/2] (3.106)
où fix(z) est la partie entière du réel z.
Cas des efforts tranchants :
La construction des domaines de confiance des efforts tranchants TP i dans les poteaux se fait
aussi par la méthode des quantiles. Ainsi l’effort tranchant sur chaque poteau définit un champ
stochastique TP i, indexé sur l’intervalle de temps [0, T ]. Le domaine de confiance de TP i au
niveau de confiance Pc ∈ [0, 1] est délimité par les enveloppes supérieure t ↦→ t + i (t) et inférieure
t ↦→ ti(t) telles que pour t fixé, on a :
P roba(t − i (t) < TP i(t) ≤ t + i
(t)) = Pc
(3.107)
i (t) les réalisations ordonnées associées à t1i Les estimateurs de t− (t) et t + (t) sont définis par :
où pour tout z ∈ R, fix(z) est la partie entière de z. Les estimateurs statistiques de ces enveloppes
supérieure et inférieure sont construits par simulations numériques de Monte-Carlo. Notons
par t1 i (t) = TP i(t; θ1), ..., t nS
i (t) = TP i(t; θnS les ns réalisations indépendantes de la variable
aléatoire TP i(t)) et par �t 1 i (t) < ... < �t ns
(t), ..., tnS
i (t).
t − i (t) � �t k−
i (t), avec k − = fix[ns(1 − Pc)/2] (3.108)
t + i (t) � �t k+
i (t), avec k + = fix[ns(1 + Pc)/2] (3.109)
Cas des rotations :
De la même façon que pour l’effort tranchant TP i, les rotations aux poteaux définissent un champ
stochastique RP i, indexé sur l’intervalle de temps [0, T ]. Le domaine de confiance de RP i(t) au
83

niveau de confiance Pc ∈ [0, 1] est délimité par les enveloppes supérieure t ↦→ r + i (t) et inférieure
t ↦→ ri(t) telles que pour t fixé, on :
P roba(r − i (t) < RP i(t) ≤ r + i
(t)) = Pc
(3.110)
Les estimateurs statistiques de ces enveloppes supérieure et inférieure sont construits par simulations
numériques de Monte-Carlo. Notons par r1 i (t) = RP i(t; θ1), ..., r nS
i (t) = RP i(t; θnS )
les ns réalisations indépendantes de la variable aléatoire RP i(t)) et par �r 1 i (t) < ... < �rns i (t) les
réalisations ordonnées associées à r 1 i
r − i
r + i
(t), ..., rnS
i (t). Les estimateurs de r− et r + sont définies par :
(t) � �rk−
i (t), avec k − = fix[ns(1 − Pc)/2] (3.111)
(t) � �rk+
i (t), avec k + = fix[ns(1 + Pc)/2] (3.112)
3.5 Application à la structure de référence
3.5.1 Modèle réduit moyen
La méthode de résolution du système dynamique linéaire par analyse modale, présentée en 3.2
est appliquée au cas de la structure de référence sans mur en maçonnerie, modélisée par éléments
finis au paragraphe §2.4.5 (cf. fig. 2.33) et soumise à l’accélération sismique définie dans §2.4.4
(cf. fig. 2.27). L’accélération est supposée déterministe dans toute l’étude. Par souci de clarté de
la méthodologie, nous nous limitons dans toute la modélisation probabiliste des incertitudes à
appliquer l’accélération sismique dans la direction X (cf. fig. 3.1). La direction X a été choisie
parce que la première ruine par flexion des poteaux est atteinte dans cette direction (cf. figs.
2.25 et 2.30). Néanmoins, les mêmes raisonnement et processus de calcul peuvent s’appliquer,
de la même façon, à la direction Y . La transformée de Fourier de l’accélérogramme montre que
l’accélération sismique présente un spectre compris dans la bande de fréquence [0 ;50]Hz (cf. fig.
3.2).
Concernant le temps d’échantillonnage du schéma d’intégration, il doit être choisi suffisamment
petit pour correspondre à la fois, aux périodes de tous les modes retenus et à la période de
l’accélération imposée.
Étant donné que le pas de temps de l’accélérogramme est assez faible
pour satisfaire ces deux critères, nous l’utiliserons comme temps d’échantillonnage ∆t pour le
cas du système dynamique linéaire :
∆tL = 4.53ms
La convergence du modèle réduit moyen est étudiée en analysant l’application n ↦→ Conv 2 (n)
définie par :
Conv 2 (n) =
� T
0
� q n (t) � 2 dt (3.113)
� q �2 = q2 1 + .... + q2 n.
La convergence peut être aussi étudiée en analysant l’application Conv2 T (n) définie par :
Conv 2 � T
T (n) =
0
� t n ([Φ n]q n (t)) � 2 dt (3.114)
où t(u) est le vecteur des efforts tranchants associé à un déplacement u (voir paragraphe §3.4.3).
La convergence est obtenue à partir du nombre de modes pour lequel les fonctions n ↦→ Conv2 (n)
ou n ↦→ Conv2 T (n) atteignent un plateau.
La figure 3.3 représente l’évolution de Conv2 (n) en fonction du nombre de modes. La convergence
du modèle réduit est atteinte pour 3 modes. Ce résultat confirme l’approximation souvent faite
pour le cas de bâtiments courants de forme régulière (sans forte dissymétrie) et de hauteur
84

P6
P3
P5
P2
P4
P10
P1
P9
P15
P14
P8
P20 P19
P13
P7
P18
P12
P17
P11
P16
section 53.5x15
section 25x15
section 20x15
section 15x20
section 15x15
Fig. 3.1 – Désignation des poteaux dans la structure de référence.
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
10 −8
10 −9
10 −10
10
0 20 40 60 80 100
−11
Fréquence (Hz)
Fig. 3.2 – spectre de puissance de l’accélération imposée. La bande de fréquences du signal est
[0 ;50]Hz.
85

dominante, de considérer le premier mode de la structure relatif à une flexion dans le sens de
l’accélération imposée comme suffisant pour décrire son comportement dynamique [23].
La comparaison des résultats obtenus par la méthode de l’analyse modale avec ceux obtenus par
la modélisation éléments finis dans le cas dynamique linéaire montre une bonne cohérence entre
les deux résultats. En effet, aussi bien les déformations dans les poteaux (cf. fig. 3.4, 3.5) que
les efforts tranchants et moments fléchissants (cf. figs. 3.6, 3.7) montrent une bonne coïncidence
entre les deux méthodes de calcul. Cette vérification permet de valider le modèle réduit moyen
qui servira de base au modèle probabiliste. Le modèle réduit matriciel moyen nous permet de
déterminer les spectres d’accélération définis au paragraphe §3.4.3. Dans le cadre de ce travail,
nous déterminons les spectres d’accélération correspondant au déplacement dans la direction de
l’accélération sismique, notée direction X. Ces spectres sont calculées aux noeuds des poteaux
de la structure. La figure 3.8 présente, comme exemple, les spectres d’accélération obtenus aux
noeuds du poteau P 13.
86

x 10−3
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10 0
10 1
10 2
dimension n du modèle réduit
Fig. 3.3 – Etude de la convergence en modes du modèle réduit moyen : Graphes des fonctions
n ↦→ Conv 2 (n). La convergence est observée pour 3 modes.
(a)
(b)
Déplacement en tête (m)
Déplacement en tête (m)
3
2
1
0
−1
−2
x 10−3
4
10 3
−3
Calcul EF
Calcul modal
−4
0 2 4 6 8 10
Temps (s)
3
2
1
0
−1
−2
x 10−3
4
−3
Calcul EF
Calcul modal
−4
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
Fig. 3.4 – Comparaison entre le calcul EF et le calcul par analyse modale du déplacement suivant
X à l’extrémité du poteau P13, calcul complet (a) et détaillé (b)
87
10 4

(a)
Rotation (rd)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
x 10−3
1
Calcul EF
Calcul modal
0 2 4 6 8 10
Temps (s)
(b)
Rotation (rd)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
x 10−3
1
Calcul EF
Calcul modal
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
Fig. 3.5 – Comparaison entre le calcul EF et le calcul par analyse modale de la rotation Ry à
l’extrémité du poteau P13, calcul complet (a) et détaillé (b)
(a)
Effort tranchant (N)
x 105
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
Calcul EF
Calcul modal
−2
0 2 4 6 8 10
Temps (s)
(b)
Effort tranchant (N)
x 105
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
Calcul EF
Calcul modal
−2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Temps (s)
Fig. 3.6 – Comparaison entre le calcul EF et le calcul par analyse modale de l’effort tranchant
Tx à l’extrémité du poteau P13, calcul complet (a) et détaillé (b)
88

(a)
Moment (N.m)
x 105
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
Calcul EF
Calcul modal
−2
0 2 4 6 8 10
Time(s)
(b)
Moment (N.m)
x 105
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
Calcul EF
Calcul modal
−2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Time(s)
Fig. 3.7 – Comparaison entre le calcul EF et le calcul par analyse modale du moment fléchissant
My à l’extrémité du poteau P13, calcul complet (a) et détaillé (b)
7
6
5
4
3
2
1
log10(S j (ω))
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
10 0
10 1
Fréquence (Hz)
Fig. 3.8 – Spectres d’accélération (en g) aux noeuds du poteau P13 dans le modèle moyen- cas
linéaire.
89
10 2

3.5.2 Modèle probabiliste
Analyse de convergence
La simulation numérique de Monte Carlo du modèle probabiliste est appliquée à la structure
de référence sans mur en maçonnerie. Les paramètres de dispersion des matrices aléatoires de
masse, de rigidité et d’amortissement généralisées (δM, δD, δK) sont choisis tous égaux à 15%.
Afin d’étudier la convergence stochastique du modèle, nous étudions différentes dimensions du
modèle réduit, allant de 2 modes considérés jusqu’à 1897 modes, le nombre total de modes de
la structure. Pour chaque dimension n du modèle réduit, le nombre de réalisations effectuées
est ns = 600. La figure 3.9 représente les graphes des fonctions nS ↦−→ Conv 2 (n, nS). L’étude
de convergence stochastique ainsi menée montre que le modèle probabiliste converge pour un
nombre de modes égal à 15 modes, et que le nombre de réalisations nécessaires à la convergence
des estimateurs statistiques du second ordre est de 300 réalisations (cf. fig. 3.9). Nous remarquons
que le nombre de modes est supérieur à celui pour le quel le modèle réduit moyen converge. Ceci
s’explique par le fait que la génération des matrices aléatoires généralisées implique la génération
d’un nouveau modèle matriciel réduit. Ce modèle généré est donc associé à une base de modes
propres différente de celle du modèle réduit moyen. De ce fait, la projection de ce modèle réduit
généré sur la base des modes propres du modèle moyen ne permet pas de bien représenter
la dynamique du système. Il faut donc un nombre de modes plus important que dans le cas
déterministe pour bien représenter la dynamique du modèle probabiliste généré. Les calculs et
les résultats du modèle probabiliste linéaire qui suivent sont donc obtenus avec une matrice
modale (15 × 15), représentant les 15 premiers modes et pour 300 échantillons de la simulation
numérique de Monte-Carlo.
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
2 modes
3 modes
8 modes
10 modes
15 modes
20 modes
200 modes
1897 modes
0 100 200 300 400 500 600
Fig. 3.9 – Convergence stochastique du modèle probabiliste linéaire : en abscisse, le nombre
de réalisations de Monte Carlo ; en ordonnée, les normes des déplacements généralisés de la
structure. La convergence est observée pour 15 modes et 300 réalisations.
Domaines de confiance
Dans l’analyse stochastique linéaire, nous nous intéressons à deux observables caractéristiques
de la ruine dans les structures en portiques en béton armé soumis à un chargement sismique
et qui sont les efforts tranchants t(u n (t)) et les rotations r(u n (t)) dans les poteaux. La ruine
peut se produire dans un ou plusieurs poteaux par le dépassement des valeurs limites d’effort
tranchant (rupture du poteau par cisaillement) ou de rotation (rupture de la rotule plastique). Il
90

est donc nécessaire d’observer tout au long du chargement sismique le comportement de chaque
poteau et de calculer, à chaque instant t, l’effort et la rotation à ses extrémités. A titre d’exemple
les résultats relatifs au poteau P 13 sont présentés (cf. 3.1). Les critères du choix de ce poteau
sont
– Les dimensions importantes de sa section font que l’effort tranchant transmis au poteau
est également important.
– La grande rigidité du poteau rend sa ductilité faible, ce qui réduit sa rotation limite.
– La position du poteau au milieu du plancher, conjugué à sa grande capacité portante rend
très préjudiciable la ruine de ce poteau. On peut même supposer que la ruine de ce poteau
entraîne la ruine de toute la structure.
Il est de ce fait primordial de bien observer la résistance du poteau P 13 au cisaillement et à
la rupture de rotule plastique, sans pour autant négliger le contrôle des autres poteaux de la
structure.
Les domaines de confiance pour un niveau de probabilité Pc = 95% sont déterminés par
la méthode des quantiles exposée au paragraphe §3.4.3. La figure 3.12 présente la région de
confiance pour Pc = 95% pour l’effort tranchant au niveau d’un élément du poteau P 13. Nous
pouvons ainsi délimiter les enveloppes maximales de l’effort tranchant dans chaque poteau et
pour l’ensemble de la structure et quantifier l’influence des incertitudes de modélisation sur
la réponse du bâtiment au séisme. De la même façon, nous pouvons obtenir les domaines de
confiance du déplacement en tête du poteau P 13 (cf. fig. 3.10) et de la rotation dans la zone
d’apparition d’une rotule plastique (cf. fig 3.11).
Spectres d’accélération
Comme pour le cas déterministe, les spectres d’accélération ont été déterminés pour le
déplacement suivant −→ X, pour chaque réalisation numérique de Monte-Carlo. L’ensemble des
réalisations permet d’estimer une moyenne des réalisations et de déterminer les domaines de
confiance des ces spectres pour un niveau de confiance Pc donné. Ainsi, la figure 3.14 présente
les moyennes des spectres d’accélération normés par rapport à l’accélération de la pesanteur g
aux noeuds du poteau P 13, en considérant 300 réalisations, avec les paramètres de dispersion
δM, δD et δK égaux à 15%. On remarque une bonne coïncidence entre les valeurs moyennes
des spectres et les spectres du modèle moyen (cf. fig. 3.8), ce qui montre que la convergence de
l’estimateur de la moyenne de ces spectres est réalisée pour ce nombre de réalisations et pour
les noeuds considérés.
En considérant un niveau de confiance Pc = 95%, nous déterminons les domaines de confiance
des spectres d’accélération (en g) par la méthode des quantiles (cf. paragraphe §3.4.3). Nous
remarquons que les domaines de confiance des spectres restent constants sur la hauteur du poteau.
La largeur du domaine de confiance varie avec la fréquence : Dans les basses fréquences
(inférieures à 10 Hz), nous observons une largeur importante, s’ensuit une partie étroite du
domaine de confiance, correspondant aux fréquences entre 10 et 70Hz, enfin la largeur devient
constante au-delà de 70Hz et les enveloppes supérieures et inférieures sont parallèles au spectre
du modèle moyen. Cela montre que, dans le domaine des basses fréquences qui contient les
fréquences des modes propres les plus importants dans le comportement dynamique de la structure,
le modèle est plutôt sensible aux incertitudes de modélisation introduites par le modèle
non paramétrique. A l’opposé, le modèle est assez robuste par rapport aux incertitudes pour des
fréquences supérieures à 10Hz.
Traitement statistique des observables
Nous avons choisi au paragraphe §3.4.3 de nous intéresser à l’étude statistique des observables
suivants :
91

6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
x 10 −3 zones de confiance des déplacements en tête
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Fig. 3.10 – Graphe de la région de confiance pour Pc = 0.95 du déplacement en tête du poteau
P 13
Rotation (rd)
0.5
0
−0.5
−1
x 10−3
1
−1.5
3 3.5 4
Temps (s)
4.5 5
Fig. 3.11 – Graphe de la région de confiance pour Pc = 0.95 de la rotation à l’extrémité
supérieure du poteau P 13
Effort tranchant (N)
x 105
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
Fig. 3.12 – Graphe de la région de confiance pour Pc = 0.95 de l’effort tranchant dans le poteau
P 13
92

– les efforts tranchants TP i(t) aux extrémités des poteaux dans la direction du chargement
sismique,
– l’effort tranchant global Tg(t) sur l’ensemble des poteaux dans la direction du chargement
sismique,
– les rotations RP i(t) dans les zones d’apparition des rotules plastiques.
Afin de considérer les cas extrêmes de chargement, nous étudions les valeurs maximales pendant
le temps T du séisme. Les observables se réduisent ainsi à des grandeurs scalaires.
T max
Pi
T max
g
R max
Pi
= max
t∈[0,T ] �TP i(t)� (3.115)
= max
t∈[0,T ] �Tg(t)� (3.116)
= max
t∈[0,T ] �RP i(t)� (3.117)
L’estimation des densités de probabilité et des écart-types des observables T max
Pi
, T max
g
et R max
P i
requiert un nombre de réalisations supérieur à celui nécessaire à la convergence stochastique du
modèle probabiliste. Une simulation numérique composée de 5000 réalisations a donc été réalisée
pour approcher ces grandeurs statistiques. La figure 3.15 représente les graphes des fonctions
densité de probabilité de l’effort tranchant maximal du poteau P 13 et de l’effort tranchant global
(respectivement a) et b)). Les estimateurs des moyennes de ces variables aléatoires obtenues avec
la simulation de Monte-Carlo sont 190 KN pour l’effort tranchant maximal dans le poteau P 13
et 730 KN pour l’effort global maximal dans l’ensemble de la structure.
La figure 3.16 représente les graphes des fonctions de répartition des variables aléatoires T max
P13
(a) et T max
g
de confiance Pc = 95%.
(b). Les graphes montrent que T max
P13
93
< 211KN et T max
g
< 813KN avec un niveau

7
6
5
4
3
2
1
log10(S j (ω))
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
10 0
Cas linéaire − δ M =δ D =δ K =15%
10 1
Fréquence (Hz)
Fig. 3.13 – Moyennes des réalisations de Monte-Carlo des spectres d’accélération(en g) pour les
noeuds du poteau P13
7
6
5
4
3
2
1
log 10 (S j (ω)
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
10 0
10 1
Fréquence (Hz)
Fig. 3.14 – Domaines de confiance des spectres d’accélération (en g) pour les noeuds du poteau
P13
94
10 2
10 2

a)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x 10−5
4
1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
x 10 5
0
Effort tranchant maximal (N)
b)
x 10−5
1.2
Fig. 3.15 – Graphes des fonctions densité de probabilité de T max
Pi
δM = δD = δK = 0.15
a)
niveau de confiance
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
95%
1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
x 10 5
0
Effort tranchant maximal (N)
Fig. 3.16 – Graphes des fonctions densité de répartition de T max
Pi
δM = δD = δK = 0.15
b)
95
Niveau de confiance
1
0.8
0.6
0.4
0.2
5 6 7 8 9 10 11
x 10 5
0
Effort tranchant maximal (N)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
95%
(a) et de T max
g
5 6 7 8 9 10
x 10 5
0
Effort tranchant maximal (N)
(a) et de T max
g
(b) pour
(b) pour

3.5.3 Sensibilité du modèle aux paramètres de dispersion
L’étude de la sensibilité du modèle probabiliste aux paramètres de dispersion a un double
intérêt : Le premier est une information sur la robustesse du modèle. En effet, la variation de
la dispersion dans les matrices aléatoires au moyen des paramètres de dispersion fait varier les
incertitudes dans le modèle. Une variation trop importante de la réponse du modèle vis à vis
de cette variation d’incertitude montre qu’il est sensible aux incertitudes et que la modélisation
n’est pas assez robuste.
Le deuxième intérêt de cette étude de sensibilité réside dans l’établissement d’une corrélation,
pour une sollicitation donnée, entre les efforts tranchants ou les rotations maximales dans les
poteaux et un niveau d’incertitude, correspondant à un état de connaissance de la structure. Une
telle relation peut être développée pour aboutir à une échelle des risques de ruine en fonction,
d’une part, de l’amplitude du séisme et d’autre part de la mesure d’incertitude dans la structure
étudiée. L’étude de sensibilité sert aussi d’outil de calibrage des paramètres de dispersion pour
retrouver les intervalles de confiance correspondant aux résultats expérimentaux. La sensibilité
du modèle probabiliste peut être observée par rapport à deux approches :
– La variation du niveau d’incertitude dans l’ensemble des matrices aléatoires, traduite par
une variation simultanée des paramètres de dispersion δM, δD et δK ;
– Une variation indépendante des paramètres de dispersion δM, δD et δK.
Variation simultanée des niveaux d’incertitude
La première approche permet d’observer l’évolution de la réponse de la structure en fonction
du niveau d’incertitude dans le système. Nous pouvons ainsi juger de la sensibilité du modèle
au niveau d’incertitude. Pour cela, nous traitons plusieurs cas de modèles probabilistes vérifiant
la condition
δM = δD = δK = δA.
Les valeurs prises par δA dans les différents cas sont 5%, 10%, 15%, 20%, 25%, 33% et 40%. Par
souci de clarté, nous ne présenterons sur certaines figures comparatives que les résultats relatifs
aux cas δA = 5%, δA = 15% et δA = 40%. Les figures 3.17-a, 3.18-a et 3.19-a montrent les
régions de confiance obtenues pour Pc = 95% pour les différentes cas traités. Les figures 3.17-b,
3.18-b et 3.19-b, représentent les graphes de la fonction t ↦→ ɛ(t) qui à chaque t associe l’écart
relatif entre l’enveloppe supérieure et la réponse du modèle moyen en effort tranchant :
ɛ(t) = �t+ s (t) − T P i(t)�
max �T P i�
(3.118)
Les courbes montrent des écarts relatifs maximaux égaux à 6% , 23% et 82% respectivement aux
cas δA = 5%, δA = 15% et δA = 40%, ce qui donne une augmentation croissante avec le niveau
d’incertitude de la largeur des zones de confiance en fonction des paramètres de dispersion (cf.
3.20). Nous remarquons aussi que pour un niveau d’incertitude faible (δA ≤ 25%), les enveloppes
du domaine de confiance suivent assez bien la réponse du système moyen. L’incertitude
n’introduit donc pas de décalage par rapport à la réponse du modèle moyen ; ces réalisations
numériques se situent toujours autour du modèle moyen. Lorsque le niveau d’incertitude augmente
(δA > 25%), un déphasage se crée entre les enveloppes du domaine de confiance et la
réponse du modèle moyen (cf. figs 3.23 et 3.22). Dans les figures 3.24 et 3.25, nous comparons,
respectivement, les densités de probabilité et les fonctions de répartition de l’effort tranchant
maximal T max du poteau P 13. La figure 3.24 montre bien que les courbes ont une base plus large
P13
en augmentant le niveau d’incertitude, ce qui traduit l’augmentation de l’écart-type σT max de la
P13 variable aléatoire T max.
Les estimateurs de la moyenne de T max sont, au contraire, inversement
P13 P13
proportionnels au niveau d’incertitude.
La figure 3.25 renseigne sur les valeurs limites atteintes lors des réalisations pour un niveau de
confiance donné. Pour un niveau de confiance Pc = 95%, les valeurs limites correspondantes
96

Rotation (rd)
Effort tranchant (N)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
x 10−3
1
(a)
−1
3 3.5 4
Temps (s)
4.5 5
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
x 105
2
(b)
−2
3 3.5 4
Temps (s)
4.5 5
90
80
70
60
50
40
30
20
10
(c)
0
0 2 4 6 8 10
Fig. 3.17 – (a) Graphes de la région de confiance de la rotation en haut du poteau P 13 (b)
Graphes de la région de confiance de l’effort tranchant sur le poteau P 13 (zone jaune), de la
réponse du modèle moyen (trait rouge) pour δM = δD = δK = 5% - (c) Écart relatif entre le
modèle moyen et l’enveloppe supérieure de la région de confiance
97

Rotation (rd)
Effort tranchant (N)
0.5
0
−0.5
−1
x 10−3
1
(a)
−1.5
3 3.5 4
Temps (s)
4.5 5
x 105
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
(b)
−2.5
3 3.5 4
Temps (s)
4.5 5
Ecart relatif (%)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
(c)
0
0 2 4 6 8 10
Temps (s)
Fig. 3.18 – (a) Graphes de la région de confiance de la rotation en haut du poteau P 13 (b)
Graphes de la région de confiance de l’effort tranchant sur le poteau P 13 (zone bleue), de la
réponse du modèle moyen (trait rouge) pour δM = δD = δK = 15% - (c) Écart relatif entre le
modèle moyen et l’enveloppe supérieure de la région de confiance
98

Rotation (rd)
x 10−3
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
(a)
−1.5
3 3.5 4
Temps (s)
4.5 5
Effort tranchant (N)
Ecart relatif (%)
2
1
0
−1
−2
x 105
3
(b)
−3
3 3.5 4
Temps (s)
4.5 5
90
80
70
60
50
40
30
20
10
(c)
0
0 2 4 6 8 10
Temps (s)
Fig. 3.19 – (a) Graphes de la région de confiance de la rotation en haut du poteau P 13 (b)
Graphes de la région de confiance de l’effort tranchant sur le poteau P 13 (zone ciel), de la
réponse du modèle moyen (trait rouge) pour δM = δD = δK = 40% - (c) Écart relatif entre le
modèle moyen et l’enveloppe supérieure de la région de confiance
99

Ecart relatif maximal
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Valeurs des paramètres de dispersion (δ , δ , δ )
M D K
Fig. 3.20 – Variation de l’écart relatif maximal entre l’enveloppe supérieure de la zone de
confiance et la réponse du modèle moyen en fonction des paramètres de dispersion.
au niveau d’incertitude δA = 5%, δA = 15%, δA = 25% et δA = 40% sont respectivement
égales à 195KN, 211KN, 241KN et 303KN. L’augmentation des valeurs limites de T max
P13 suivant
l’augmentation du niveau d’incertitude est du même ordre que pour la largeur du domaine de
confiance de l’effort tranchant (cf. fig. 3.26).
100

Rotation (rd)
Rotation (rd)
x 10−3
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5 40%
15%
5%
−2
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
x 10−3
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5 40%
15%
5%
−2
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1
Temps (s)
Fig. 3.21 – Sensibilité de la réponse aux paramètres de dispersion δM, δD, δK : Graphes des
rotation dans l’élément supérieur du poteau P 13 pour : δM = δD = δK = 0.05 (jaune), δM =
δD = δK = 0.15 (bleu), δM = δD = δK = 0.25 (rouge) et δM = δD = δK = 0.4 (ciel).
101

Effort tranchant (N)
Effort tranchant (N)
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
x 105
2
−2
40%
15%
−2.5 5%
modèle moyen
−3
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
x 105
2
40%
15%
5%
modèle moyen
−3
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1
Temps (s)
Fig. 3.22 – Sensibilité de la réponse aux paramètres de dispersion δM, δD, δK : Graphes des
efforts tranchants dans un élément du poteau P 13 pour : δM = δD = δK = 0.05 (jaune),
δM = δD = δK = 0.15 (bleu), δM = δD = δK = 0.25 (rouge) et δM = δD = δK = 0.4 (ciel).
102

log10(S j (ω))
−0.6
−0.8
−1
−1.2
−1.4
−1.6
−1.8
−2
−2.2
−2.4
−2.6
10 0
10 1
Fréquence (Hz)
40%
15%
5%
modèle moyen
Fig. 3.23 – Sensibilité de la réponse aux paramètres de dispersion δM, δD, δK : Graphes des
spectres d’accélération (en g) pour δM = δD = δK = 0.05 (jaune), δM = δD = δK = 0.15 (bleu),
δM = δD = δK = 0.25 (rouge) et δM = δD = δK = 0.4 (ciel)
x 10−5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x 10 5
0
Fig. 3.24 – Graphes des fonctions densité de probabilité du maximum de l’effort tranchant
aléatoire pour δM = δD = δK = 0.05 (noir), δM = δD = δK = 0.15 (vert épais),
δM = δD = δK = 0.25 (gris interrompu) et δM = δD = δK = 0.4 (bleu).
103
10 2

1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
P c = 95%
195 KN
211 KN
241 KN
303 KN
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x 10 5
0.2
5%
15%
25%
0.1
40%
limite de confiance
0
Fig. 3.25 – Graphes des fonctions de répartition du maximum d’effort tranchant aléatoire sur
un poteau, pour δM = δD = δK = 0.05 (noir), δM = δD = δK = 0.15 (vert épais), δM = δD =
δK = 0.25 (gris interrompu) et δM = δD = δK = 0.4 (bleu)
Effort tranchant maximal limite (KN)
320
300
280
260
240
220
200
180
5 10 15 20 25 30 35 40
Niveau d’incertitude δ (%)
A
Fig. 3.26 – Variation de l’effort tranchant maximal limite pour un niveau de confiance Pc = 95%
en fonction des paramètres de dispersion
104

Variation distincte des niveaux d’incertitude
La variation distincte des niveaux d’incertitudes se traduit dans le cas du modèle probabiliste
non paramétrique par une variation de chaque paramètre de dispersion indépendamment des
deux autres. Cette deuxième approche permet d’observer l’influence de chaque paramètre sur
la propagation de l’incertitude dans le système et d’identifier les sources d’incertitude les plus
importantes. Pour ce cas, nous traitons les différents cas du tableau 3.5.3. Les trois premiers cas
cas 1 2 3 4 5 6
δM 0.15 0 0 0.15 0.15 0
δK 0 0.15 0 0.15 0 0.15
δD 0 0 0.15 0 0.15 0.15
Tab. 3.1 – Différents jeux de paramètres de dispersion considérés pour l’étude de sensibilité
correspondent à l’hypothèse qu’une seule matrice généralisée, parmi [M], [D] et [K], est supposée
aléatoire. Cela permet de quantifier l’importance de l’incertitude de chacune des matrices
dans l’incertitude de la réponse du système dynamique linéaire.
La figure 3.27 montre que les domaines de confiance du cas 1 (δM = 15%, δD = δK = 0)
et du cas 2 (δK = 15%, δM = δD = 0) se superposent presque en tous points. Le cas 3
(δD = 15%, δM = δK = 0) présente un domaine de confiance plus étroit, ce qui montre que
l’incertitude sur la matrice généralisée d’amortissement [D] influe moins sur l’incertitude de la
réponse que n’influent les incertitudes sur les matrices généralisées de masse [M] et de raideur
[K]. Ce constat est encore vérifié en étudiant les cas 4 à 6. En effet, nous remarquons qu’en
supposant la matrice généralisée d’amortissement déterministe (cas 4), nous obtenons, sensiblement,
les mêmes enveloppes des domaines de confiance que si toutes les matrices généralisées sont
supposées aléatoires (cf. fig. 3.28). L’incertitude dans la matrice d’amortissement généralisée intervient
donc, très peu dans la propagation de l’incertitude dans le système dynamique linéaire.
Ce sont les matrices généralisées de masse et de raideur qui produisent, dans des proportions
équivalentes, l’essentiel de l’incertitude dans le système.
3.6 Conclusions
La mise en oeuvre d’un modèle probabiliste non paramétrique basée sur le principe du maximum
d’entropie, en dynamique linéaire a permis de mettre au point un outil tenant compte des
différentes sources d’incertitude, aussi bien sur les erreurs de données, nombreuses dans le cas
des ouvrages existants, que sur les erreurs de modélisation. Le modèle non paramétrique se base
uniquement sur les informations objectives connues du système dynamique étudié.
En fixant un niveau d’incertitude, matérialisé par les paramètres de dispersion, dans chacune
des matrices généralisées aléatoires, nous avons pu construire la réponse stochastique du système
dynamique linéaire et estimer, pour un niveau de confiance donnée Pc, les domaines de confiance
des efforts tranchants, des rotations et des spectres d’accélération en différents noeuds des poteaux,
considérés comme les points faibles de la structure en portiques en béton armé.
L’étude de sensibilité du modèle aux paramètres de dispersion montre que la modélisation est
assez robuste aux incertitudes, puisque l’augmentation du niveau d’incertitude accroît progressivement
la largeur des domaines de confiance observés sans déphasage avec la réponse du modèle
moyen. Ceci peut être attribué au faible nombre de modes fondamentaux (3 modes) dans le cadre
de la structure étudiée. L’étude de sensibilité montre aussi que l’incertitude dans le système dynamique
linéaire est essentiellement due à la dispersion dans les matrices de masse et de raideur.
Afin de réduire les incertitudes dans le système, il convient donc de réduire au maximum la
dispersion afférente à ces deux matrices.
105

Effort tranchant (N)
log10(S j (ω))
x 105
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1
Temps (s)
−0.8
−1
−1.2
−1.4
−1.6
−1.8
−2
−2.2
10 1
(a)
Fréquence (Hz)
(b)
δ M =δ K =δ D =15%
δ M =15%;δ K =δ D =0
δ K =15%;δ M =δ D =0
δ D =15%;δ M =δ K =0
Fig. 3.27 – Sensibilité de la réponse aux paramètres de dispersion δM, δD, δK : Graphes des
domaines de confiance à 95% des efforts tranchants (a) et des spectres d’accélération (en g) (b)
en un noeud du poteau P13 pour : δM = δK = δD = 0.15 (bleu), δM = 0.15; δD = δK = 0
(jaune), δK = 0.15; δM = δD = 0 (rouge), δD = 0.15; δM = δK = 0 (gris clair).
106

Effort tranchant (N)
log10(S j (ω))
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−0.8
x 10 5
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1
Temps (s)
−1
−1.2
−1.4
−1.6
−1.8
−2
−2.2
10 1
(a)
Fréquence (Hz)
(b)
δ M =δ K =δ D =15%
δ M =δ K =15%;δ D =0
δ M =δ D =15%;δ K =0
δ K =δ D =15%;δ M =0
Fig. 3.28 – Sensibilité de la réponse aux paramètres de dispersion δM, δD, δK : Graphes des
domaines de confiance à 95% des efforts tranchants (a) et des spectres d’accélération (en g) (b)
en un noeud du poteau P13 pour : δM = δK = δD = 0.15 (bleu), δM = δK = 0.15; δD = 0 (vert),
δM = δD = 0.15; δK = 0 (noir), δK = δD = 0.15; δM = 0 (gris).
107
10 2

108

Chapitre 4
Modélisation probabiliste mixte non
linéaire
Sommaire
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2 Construction du modèle réduit moyen en dynamique non linéaire . 110
4.2.1 Construction par analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.2 Schéma d’intégration numérique du système dynamique non linéaire . . 112
4.2.3 Résolution numérique du système non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2.4 Algorithme de la résolution du système dynamique non linéaire . . . . . 115
4.3 Construction du modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.1 Variables aléatoires du modèle probabiliste paramétrique . . . . . . . . 116
4.3.2 Information disponible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.3 Construction des lois de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.4 Génération des réalisations des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . 123
4.3.5 Validation du générateur de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 125
4.3.6 Génération des réalisations aléatoires du modèle probabiliste mixte . . . 126
4.4 Application à la structure complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4.1 Modèle réduit moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4.2 Modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
109

4.1 Introduction
Le comportement non linéaire de la structure est dû à la plastification de certains éléments
de la structure, donc aux lois de comportement non linéaire des matériaux qui la composent.
Les modèles éléments finis réalisés dans le chapitre 2 montrent que la plastification des éléments
de structure restent localisée aux extrémités des poteaux. Le reste de la structure garde un
comportement élastique. Il convient donc d’exploiter le modèle probabiliste non paramétrique
appliqué plus haut au cas linéaire et de considérer le comportement non linéaire au moyen
d’une sollicitation dépendant du déplacement et des paramètres de la loi non linéaire. Le modèle
probabiliste comporte donc :
– Un modèle non paramétrique appliqué à la partie linéaire du système dynamique,
– Un modèle paramétrique pour tenir compte des incertitudes sur les paramètres des lois de
comportement nonlinéaires.
Le modèle non paramétrique ayant été défini dans le chapitre 3, seules les caractéristiques du
modèle paramétrique sont présentées par la suite. Le modèle probabiliste mixte étant en partie
construit par la modélisation non paramétrique, il se base comme pour le cas du système dynamique
linéaire sur un modèle matriciel réduit moyen. Ce modèle moyen diffère de celui présenté
au chapitre 3 par la présence des termes nonlinéaires dans les équations. Nous commencerons
donc par décrire la conception du modèle réduit moyen, puis nous présenterons la construction
du modèle probabiliste, pour conclure par une application du modèle probabiliste mixte à la
structure de référence sans mur de maçonnerie.
4.2 Construction du modèle réduit moyen en dynamique non
linéaire
4.2.1 Construction par analyse modale
Certains éléments de la structure peuvent dépasser leur limite élastique et subir une baisse
de rigidité ou une plastification. Le vecteur des efforts internes est alors donné par une relation
non linéaire et dépend notamment du déplacement u(t), de la vitesse ˙u(t) et des paramètres
d’écrouissage λ(t) de la loi de comportement non linéaire. Plus généralement, le vecteur des
efforts internes peut être perçu comme le résultat d’un opérateur intégro-différentiel appliqué au
processus {u(τ)}0≤τ≤t. Pour le cas de notre étude, nous avons choisi dans le paragraphe 2.3.2 du
chapitre 2 d’introduire la loi de Takeda pour décrire le comportement des éléments nonlinéaires.
Rappelons que la loi de comportement de Takeda est caractérisée par :
– La courbe tri-linéaire moment-courbure, qui représente la partie élastique (segment (0, 0) ;
(C fiss, M fiss)), la partie fissurée (segment (C fiss, M fiss) ; (C plas, M plas)) et la partie
plastique (segment (C plas, M plas) ; (C rup, M rup)) du comportement de l’élément (cf. fig.
4.5) ;
– Les paramètres hystérétiques η, β et γ, qui vérifient les conditions suivantes :
– η ∈ [0,1] : η = 1 : pas de dégradation de rigidité, η = 0 : rigidité nulle,
– β ∈ [0,1] : β = 0 : pas de baisse de résistance, β = 1 : détérioration maximale,
– γ ∈ [0,+∞[ : γ ≥ 1 : pas de pincement, γ < 1 : pincement.
.
L’ensemble des paramètres de la loi non linéaire de Takeda peut être rassemblé dans le vecteur
w défini par
w = (C fiss, C plas, C rup, M fiss, M plas, M rup, η, β, γ).
La structure est alors représentée par sa modélisation éléments finis à N DDLs. Le vecteur des
déplacements u(t) à un instant t ∈ [0, T ] est solution du système différentiel non linéaire suivant :
[M] ü(t) + [D] ˙u(t) + fNL({u(τ)}0≤τ≤t, t; w) = − [M] üs(t) t ∈ [0, T ] (4.1)
110
u(0) = 0 et ˙u(0) = 0

avec
Moment (N.m)
(C ,M
0 0 )
(C fiss ,M fiss )
E0
(Cplas,Mplas
)
Eplas
Efiss
(C ,M
rup rup )
Courbure(m−1)
Fig. 4.1 – Courbe Moment-courbure caractéristique de la loi Takeda
fNL({u(τ)}0≤τ≤t, t; w) = [K] u(t) + gNL({u(τ)}0≤τ≤t, t; w) (4.2)
où :
– [M], [D] et [K] sont, respectivement, les matrices de masse, d’amortissement et de raideur
du modèle éléments finis moyen (voir paragraphe §3.2).
– fNL({u(τ)}0≤τ≤t, t; w) est le vecteur des efforts internes appliqués aux DDLs du modèle
éléments finis, dus à un déplacement dont l’historique est {u(τ)}0≤τ≤t,
– üs(t) est le vecteur des accélérations induites aux différents noeuds du modèle éléments
finis moyen par le chargement sismique (voir paragraphe § 3.2).
Les nonlinéarités sont donc prises en compte par le terme fNL({u(τ)}0≤τ≤t, t; w) qui, d’après
l’Eq. (4.2), est la contribution de deux termes :
– un terme de raideur linéaire [K]u(t),
– un terme de raideur non linéaire gNL({u(τ)}0≤τ≤t, t; w).
En substituant l’Eq. (4.2) dans l’Eq. 4.1, on obtient :
[M] ü(t) + [D] ˙u(t) + [K] u(t) + gNL({u(τ)}0≤τ≤t, t; w) = − [M] üs(t) , t ∈ [0, T ] (4.3)
u(0) = 0 et ˙u(0) = 0
Dans le cas des structures en portiques en béton armé, le comportement non linéaire est essentiellement
observé aux extrémités des poteaux, où apparaissent des rotules plastiques. Les nonlinéarités
sont donc localisées et le nombre d’éléments finis aux quels s’applique une déformation
plastique reste assez réduit par rapport au nombre total d’éléments finis du modèle. La solution
u(t) peut toujours s’écrire :
N�
u(t) = qα(t)ϕ (4.4)
α
α=1
La solution approché un (t) par troncature modale de u(t) aux n premiers modes propres s’écrit
alors :
u n n�
(t) = qα(t)ϕ = [Φ
α n] q n (t), (4.5)
α=1
où [Φ n] est la matrice modale définie au paragraphe §3.2.1 par l’Eq. (3.7) et q n (t) ∈ R n est le
vecteur des coordonnées généralisées tel que {q n (t)}α = qα(t) pour tout α ≤ n.
111

En prémultipliant l’Eq. (4.3) par [Φ n] T et en utilisant l’Eq. (4.5), on montre que q n (t) est solution
de l’équation matricielle suivante :
[M] ¨q n (t) + [D] ˙q n (t) + [K] q n (t) = − [M] ¨q n s (t) − [Φ n] T gNL({u(τ)}0≤τ≤t, t; w) (4.6)
t ∈ [0, T ] et q(0) = 0 et ˙q(0) = 0
Où : [M] , [D] et [K] sont les matrices généralisées moyennes de masse, d’amortissement et de
raideur, définies au paragraphe §3.2.1 et où q n s (t) est le vecteur défini à l’Eq. (3.11). A ce niveau,
une approximation est faite en n’utilisant que les modes d’ordre inférieur à n dans le calcul de
gNL :
gNL({u(τ)}0≤τ≤t, t; w) � gNL({[Φ n]q n (τ)}0≤τ≤t, t; w) (4.7)
4.2.2 Schéma d’intégration numérique du système dynamique non linéaire
Pour la résolution de l’Eq. 4.6, le schéma numérique d’intégration de Newmark exposé au
paragraphe §3.2.2 est utilisé. Pour chaque instant (k + 1)∆t, l’équation d’équilibre du modèle
matriciel réduit moyen (Eq. 4.6) devient :
[M] ¨xk+1 + [D] ˙xk+1 + [K] xk+1 = F NL
k+1 ({[Φ n]xℓ}0≤ℓ≤k+1; w), (4.8)
où pour tout entier k ≥ 0 et pour un pas d’intégration ∆t :
F NL
k+1 ({[Φ n]xℓ}0≤ℓ≤k+1; w) = − [M] ¨q n s ((k + 1)∆t)
xk+1 = q n ((k + 1)∆t), (4.9)
˙xk+1 = ˙q n ((k + 1)∆t), (4.10)
¨xk+1 = ¨q n ((k + 1)∆t), (4.11)
· · · − [Φ n] T gNL({[Φ n]xℓ}0≤ℓ≤k+1, (k + 1)∆t; w) (4.12)
Rappelons que le schéma numérique d’intégration de Newmark se base sur les équations suivantes
:
˙xk+1 = ˙xk + [(1 − � δ)¨xk + � δ¨xk+1]∆t, (4.13)
xk+1 = xk+1 + ˙xk+1∆t + [(0.5 − �α)¨xk+1 + �α¨xk+1]∆t 2 . (4.14)
où �α et � δ sont les paramètres de la méthode de Newmark, que nous fixons, respectivement égaux
à 0.25 et 0.5.
Des Eqs. (4.13) et (4.14), il est possible d’exprimer ˙xk+1 et ¨xk+1 en fonction de xk, ˙xk, ¨xk et
xk+1. En substituant les expressions ainsi trouvées de ˙xk+1 et ¨xk+1 dans l’Eq. (4.8), on montre
que xk+1 est solution du système non linéaire :
où [ � K] est la raideur efficace définie par :
[ � K]xk+1 = � F NL
k+1 ({[Φ n]xℓ}0≤ℓ≤k+1; w) (4.15)
[ � K] = [K] + a0 [M] + a1 [D] (4.16)
et � FNL k+1 est le terme correspondant aux forces effectives à l’instant (k + 1)∆t, telle que :
�F NL
k+1 ({[Φ n]xℓ}0≤ℓ≤k+1; w) = F NL
k+1 ({[Φ n]xℓ}0≤ℓ≤k+1; w) +
· · · [M] (a0xk + a2 ˙xk + a3¨xk) + [D] (a1xk + a4 ˙xk + a5¨xk) (4.17)
112

où a0, ..., a7 sont les constantes du schéma d’intégration définies par :
a0 = 1
�α∆t 2
a1 = � δ
�α∆t
a2 = 1
�α∆t
(4.18)
(4.19)
(4.20)
a3 = 1
− 1
2�α
(4.21)
a4 = � δ
− 1
�α
(4.22)
a5 = ∆t
2 ( � δ
− 2);
�α
(4.23)
a6 = ∆t(1 − � δ) (4.24)
a7 = � δ∆t. (4.25)
Contrairement à l’Eq. (3.27) du système matriciel moyen linéaire, l’Eq. (4.15) n’est pas linéaire.
La résolution de cette équation non linéaire nécessite donc l’emploi d’une méthode numérique
pour approcher la solution. Nous choisissons dans le cadre de cette thèse d’employer la méthode
de Newton, présentée ci-après.
4.2.3 Résolution numérique du système non linéaire
On introduit l’application xk+1 ↦→ � � F NL
k+1(xk+1; w) définie par :
��F NL
k+1(xk+1; w) = � F NL
k+1 ({[Φ n]xℓ}0≤ℓ≤k+1; w) (4.26)
où { xℓ}0≤ℓ≤k sont considérés comme des paramètres de � NL
F� k+1 et xk+1 est l’argument de cette
fonction. Le système dynamique non linéaire à résoudre dans le schéma d’intégration de Newmark
(Eq. 4.8) requiert donc la détermination, à chaque instant (k +1)∆t, de la solution de l’équation
non linéaire suivante :
[ � K]xk+1 = � NL
F� k+1(xk+1; w) (4.27)
La méthode itérative de Newton-Raphson peut être utilisée pour résoudre ce système non
linéaire. Le principe de la méthode est de minimiser le résidu Re(xk+1) défini par :
Re(xk+1) = [ � K]xk+1 − � � F NL
k+1(xk+1; w) (4.28)
Le problème de minimisation est résolu en approchant la solution xk+1 par une méthode
itérative. A chaque instant (k + 1)∆t, le vecteur xk+1 est construit comme étant la limite de la
suite (x p
k+1 )p dont les éléments sont définies par :
Si p = 0 : x 0 k+1 = xk, (4.29)
Si p �= 0 : x p+1
k+1 = xp
k+1 + ∆xp k+1
où pout tout p ≥ 0 et k ≥ 0, le vecteur ∆x p
k+1 est tel que :
∆x p
k+1 = −[ � K p,k+1
T
113
(4.30)
] −1 Re(x p
k+1 ) (4.31)

F
NL
k+1
kF
F
NL
Re(x 1 k+1 )
x k
KT 1
k
x 1
k+1
Re(x 2 k+1 ) Re(x 3 k+1 ) Re(x 4 k+1 )
KT 2
KT 3
x 2
k+1 x 3
k+1
Fig. 4.2 – Méthode numérique de Newton-Raphson : La solution xk+1 est approchée en calculant
la tangente [ � K T ] à la courbe à chaque itération p
F
NL
Fk+1 k+1
kF
NL
K0
k
x k x
x k+1
3
k+1
Fig. 4.3 – Méthode numérique de Newton modifiée : La solution xk+1 est approchée en utilisant
la matrice tangente initiale [ � K 0]
114
x
k+1
k+1
x
x

[ � K p,k+1
T ] est définie par :
[ � K p,k+1
T
]αβ = ∂{Re}α
∂{x}β
�
�
�
� , (4.32)
p
xk+1 La méthode de Newton-Raphson nécessite peu d’itérations pour converger vers les solutions
des problèmes nonlinéaires. Son principal inconvénient est de construire la matrice tangente à
chaque itération, ce qui alourdit le coût du calcul et rend le schéma numérique parfois instable.
Une alternative à cette méthode est la méthode du Quasi-Newton ou Newton modifiée. Dans
ce cas, la matrice tangente est supposée égale à une matrice [ � K k+1
T ] constante pour toutes les
itérations p :
[ � K p,k+1
T ] ≈ [ � K k+1
T ], pour tout p ≥ 0, (4.33)
où la matrice [ � K k+1
T ] reste à définir. Plusieurs variantes de la méthode du Quasi-Newton sont
proposées, selon le choix retenu pour construire [ � K k+1
T ]. Un choix possible consiste à construire
la matrice telle que :
[ � K k+1
T ] = [ � K 1,k+1
T ] (4.34)
Dans une autre approximation, [ � K k+1
T ] peut être définie par une matrice indépendante des pas
de temps (k + 1)∆t (cf. fig. 4.3).
[ � K k+1
T ] = [ � K T] = [ � K 1,0
T ] (4.35)
La dernière option est retenue dans le cadre de ce travail. L’utilisation de la méthode du
Quasi-Newton permet d’avoir plus de stabilité au prix d’une convergence plus lente mais moins
coûteuse en temps de calcul, puisque la matrice de rigidité tangente n’est pas recalculée à chaque
itération ni à chaque pas de temps.
4.2.4 Algorithme de la résolution du système dynamique non linéaire
Initialisation du schéma numérique de Newmark
1. Initialisation de la suite {xk}k :
x0 = q n 0 = q n (0), (4.36)
˙x0 = ˙q n 0 = ˙q n (0), (4.37)
F NL
0 = − [M] ¨q n s (0) − [Φn] T gNL([Φn]x0, 0; w), (4.38)
¨x0 = ¨q n 0 = [M] −1 (F NL
0 − [D] ˙q n 0 − [K]q n 0 ). (4.39)
2. Choix du pas de temps d’échantillonnage ∆t,
3. Choix des paramètres � δ et �α,
4. Calcul des constantes d’intégration, en utilisant les Eqs. (4.18)-(4.25) :
5. Calcul de la raideur efficace [ � K] en utilisant l’Eq. (4.16),
6. Construction de la matrice tangente du Quasi-Newton [ � K T] (voir Eq.(4.35)),
Pour chaque instant (k + 1)∆t
(a) Initialisation du Quasi-Newton : x 0 k+1
= xk,
(b) Construction de la suite {xk+1}p :
– Calcul de la ”force efficace” non linéaire � NL
F� k+1(x p
k+1
(4.26),
– Calcul du résidu Re(x p
k+1 ) (voir Eq. (4.28)),
115
; w) par l’intermédiaire de l’Eq.

– Calcul de l’incrément de déplacement généralisé ∆x p
k+1 en utilisant l’Eq. (4.31),
– Construction du vecteur déplacement généralisé x p+1
k+1
(4.29)),
– Test de convergence :
Si : �xp+1
k+1 − xp
k+1� �x p
k+1� < ε3 et �Re(xp
k+1 )�
�[ � K]x p
k+1
alors : xk+1 = x p
k+1 � lim
q→+∞ (xq k+1 )q
à l’itération p + 1 (voir Eq.
� < ε4
où ε3 et ε4 sont les tolérances de la procédure du Quasi-Newton.
(c) Détermination de ¨xk+1 et ˙xk+1 par les Eqs. (4.13) et (4.13).
4.3 Construction du modèle probabiliste
Comme nous l’avons précisé en introduisant ce chapitre le modèle probabiliste mixte se
décompose en un modèle non paramétrique appliqué à la partie linéaire du système dynamique
et un modèle paramétrique pour tenir compte des incertitudes sur les paramètres des lois de
comportement nonlinéaires. Le modèle non paramétrique a comme variables aléatoires les matrices
généralisées de masse, de rigidité et d’amortissement [M], [K] et [C] dont les dispersions
sont contrôlées par les paramètres de dispersion respectifs δM, δK et δC.
Soit U le processus stochastique indexé sur [0, T ] correspondant à la solution du système dynamique
aléatoire non linéaire. De façon analogue au système matriciel réduit moyen défini par
l’Eq. (4.6), U peut être décomposé, comme dans le paragraphe §3.3, selon :
où Q n est un processus stochastique indexé sur [0, T ] tel que :
U(t) = [Φ n] Q n (t), (4.40)
[M] ¨Q n (t) + [D] ˙Q n (t) + [K] Q n (t) =
− [M] ¨q n s (t) − [Φ n] T GNL({[Φ n]Q n (τ)}0≤τ≤t, t, W) (4.41)
avec les conditions aux limites suivantes :
Q n (0) = 0 ; ˙ Q n (0) = 0, (4.42)
et où GNL({[Φ n]Q n (τ)}0≤τ≤t, ., W) est le processus stochastique définissant le terme de raideur
non linéaire aléatoire dépendant de l’historique du déplacement {[Φ n]Q n (τ)}0≤τ≤t et du vecteur
aléatoire W rassemblant les variables aléatoires des paramètres de la loi non linéaire de Takeda.
Le modèle non paramétrique a été détaillé dans le chapitre 3, c’est pourquoi nous nous contentons
de présenter par la suite le modèle probabiliste paramétrique.
4.3.1 Variables aléatoires du modèle probabiliste paramétrique
La loi globale de Takeda est définie par :
– La courbe trilinéaire moment-courbure caractéristique,
– Les paramètres hystérétiques η, β et γ.
Dans le cadre de ce travail, les sections sont supposées symétriques. Sur cette hypothèse, les
paramètres de la loi sont rassemblés dans le tableau 4.1.
Les points de la courbe moment-courbure doivent vérifier les inégalités 4.43 :
M0 < Mfiss < Mplas < Mrup
C0 < Cfiss < Cplas < Crup
116
(4.43)

Schéma d’intégration numérique de Newmark
pour chaque instant t
[M]
réduction
[M]
[D] [K]
modale
[D] [K]
Calcul de la raideur efficace
[ � K] = [K] + a0[M] + a1[D]
Calcul de la force efficace
��F NL
k+1(xk+1; w) = � NL
F� k+1 − [Φn] T gNL({[Φ ; w)
n]xk+1}0≤ℓ≤xk+1
Résolution de l’équation
[ � K]xk+1 = � � F NL
k+1(xk+1; w)
Réactualisation de
��F NL,p
k+1 (x p
k+1 ; w)
Initialisation:
Choix du temps d’échantillonnage
Choix des paramètres �α, � β
Calcul des constantes d’intégration:
Initialisation:
Calcul des forces nonlinéaires
; w)
g p
NL ({[Φ n]xk+1}0≤ℓ≤xk+1
x0 k+1 = xk
Calcul des déplacements réels
u p
k+1 = [Φn]x p
k+1
Calcul des forces linéaires
[K] x p
k+1
Calcul du résidu
Re(x p
k+1 ) = [ � K]x p
k+1 − � NL,p
F� k+1 (xk+1; w)
∆x p
k+1 = −([ � K] −1 )Re(x p
k+1 )
x p+1
k+1 = xp
k+1 + ∆xp k+1
OUI NON
Test de convergence
xk+1 = x p
k+1
∆t
Méthode numérique du Quasi-Newton
Fig. 4.4 – Algorithme de résolution numérique du système dynamique non linéaire
117
(a1, ..., a7)

Moment (N.m)
(C ,M
0 0 )
(C fiss ,M fiss )
E0
(Cplas,Mplas
)
Eplas
Efiss
(C ,M
rup rup )
Courbure(m−1)
Fig. 4.5 – Courbe Moment-courbure caractéristique de la loi Takeda
Dans le cas linéaire, la courbure de la poutre est exprimée en fonction du moment fléchissant,
de l’inertie et du module d’Young. On a la relation suivante :
Mfiss
E 0I y
= Cfiss
(4.44)
Les deux autres branches de la courbe moment-courbure, caractérisant la fissuration du béton
et la plastification des aciers, sont définies par les points (Cplas, Mplas) et (Crup, Mrup), respectivement.
Ces points permettent de déterminer E fiss, module fissuré de la section (Eq. 4.45) et
E plas son module plastique (Eq. 4.46) :
E fiss = (Mplas − Mfiss)
(Cplas − Cfiss)I y
E plas = (Mrup − Mplas)
(Crup − Cplas)I y
(4.45)
(4.46)
La géométrie de la structure est supposée assez bien connue pour considérer les caractéristiques
géométriques du modèle (hauteur et largeur de section, inerties) sans incertitudes. Le module
d’Young E 0 étant une donnée du problème dynamique linéaire, les incertitudes sur cette donnée
sont prise en compte par le modèle non paramétrique. Il est, de ce fait, inutile de considérer E 0
comme une variable aléatoire dans le modèle paramétrique. Il en est de même pour le coefficient
de Poisson ν, qui sera une variable déterministe. De plus, nous faisons l’hypothèse que les incertitudes
sur les modules des rigidité fissurée E fiss et plastique E plas introduisent une dispersion
des réalisations beaucoup moins importante que celle induite par les incertitudes concernant les
courbures. Cette hypothèse permet de considérer ces modules comme grandeurs déterministes
et non pas comme des variables aléatoires.
Les autres paramètres de la loi de Takeda sont modélisés par des variables aléatoires, à savoir :
Cfiss, Cplas, Crup, Mfiss, Mplas, Mrup, η , β et γ.
Les variables aléatoires de la loi de Takeda composent le vecteur aléatoire W défini au paragraphe
§4.3 :
W = (Cfiss, Cplas, Crup, Mfiss, Mplas, Mrup, η, β, γ)
L’ensemble des variables, aléatoires et paramètres déterministes, de la loi de comportement est
présenté dans le tableau 4.1 avec une détermination des valeurs moyennes. Les lois de probabilités
118

Paramètre Notation Valeur moyenne (Ex. 25x15)
Hauteur de section h 0.25 m
Largeur de section b 0.15 m
Inertie de flexion y I y 7e-005 m 4
Inertie de flexion z Iz 2e-004 m 4
Module d’Young E 0 30000 MPa
Coefficient de Poisson ν 0.25
Moment de fissuration Mfiss 10500 N
Courbure de fissuration Cfiss 0.0018 m −1
Moment de plastification Mplas 22000 N
Courbure de plastification Cplas 0.0123 m −1
Moment de rupture Mrup 24500 N
Courbure de rupture Crup 0.1225 m −1
Paramètre de dégradation de rigidité η 0.3
Paramètre de pincement γ 50
Paramètre de dégradation de résistance β 0.8
Tab. 4.1 – Paramètres de la loi non linéaire de Takeda
de ces variables aléatoires sont construites en utilisant le principe du maximum d’entropie. Pour
cela, on suppose qu’une base de données expérimentales construites à partie de l’expérimentation
est disponible et comporte suffisamment de mesures pour que les estimateurs statistiques des
moyennes et écart-type puissent converger. On suppose donc que par des mesures expérimentales,
les moyennes et les écart-type des variables aléatoires Cfiss, Cplas, Crup, η , β et γ sont connus.
Notons les moyennes et les écart-types de ces variables aléatoires :
On a donc :
C fiss = E{Cfiss}, (4.47)
C plas = E{Cplas}, (4.48)
C rup = E{Crup}, (4.49)
η = E{η}, (4.50)
β = E{β}, (4.51)
γ = E{γ}, (4.52)
E{W} = w = (C fiss, C plas, C rup, M fiss, M plas, M rup, η, β, γ) (4.53)
σCfiss = (E{C2 fiss } − C2 fiss )1/2 , (4.54)
σCplas = (E{C2 plas } − C2 plas )1/2 , (4.55)
σCrup = (E{C 2 rup} − C 2 rup) 1/2 , (4.56)
ση = (E{η 2 } − η 2 ) 1/2 , (4.57)
σβ = (E{β 2 } − β 2 ) 1/2 , (4.58)
σγ = (E{γ 2 } − γ 2 ) 1/2 , (4.59)
Les quantités C fiss, C plas, C rup, η, β, γ, σCfiss , σCplas , σCrup, ση, σβ, sont donc supposées connues
et identifiées expérimentalement.
4.3.2 Information disponible
Dans ce paragraphe, nous définissons l’ensemble des informations disponibles concernant
les variables aléatoires introduites dans la modélisation probabiliste des incertitudes sur les
119

paramètres de la loi de Takeda. Ces informations seront utilisées comme contraintes dans l’application
du principe du maximum d’entropie pour construire les lois de probabilités de telles
variables aléatoires.
Courbure de fissuration Cfiss
D’un point de vue mécanique et en tenant compte des mesures expérimentales introduites
dans le paragraphe 4.3.1 et en utilisant les Eqs. (4.48) et (4.55), on déduit que le modèle probabiliste
de la variable aléatoire Cfiss doit être construit de sorte que :
Courbure de plastification Cplas
Cfiss ∈ [0, +∞[, (4.60)
E{Cfiss} = Cfiss (4.61)
E{C 2 fiss } = C2fiss + σ2 Cfiss . (4.62)
D’après l’Eq. 4.43, le modèle probabiliste de Cplas doit être tel que :
Cplas > Cfiss. (4.63)
On introduit donc une nouvelle variable aléatoire A indépendante statistiquement de la variable
aléatoire Cfiss et telle que :
Cplas = A Cfiss. (4.64)
Afin que l’inégalité (4.63) soit vérifiée et afin de tenir compte des résultats expérimentaux supposés
introduits au paragraphe 4.3.1 et des Eqs (4.48) et (4.55), on montre que le modèle
probabiliste de A doit être tel que :
A ∈ [1, +∞[, (4.65)
E{A} = A = C plas/C fiss
L’écart-type de A est noté σA et est défini par
(4.66)
E{A 2 } = σ2 Cplas + C2plas σ2 Cfiss + C2 . (4.67)
fiss
σA = (E{A 2 − A 2 }) 1/2
(4.68)
De l’Eq. (4.68), il est clair que pour qu’un tel modèle probabiliste puisse être valable, il est
nécessaire que :
Courbure de rupture Crup
σCplas > Cplas σCfiss . (4.69)
Cfiss D’après l’Eq. 4.43, le modèle probabiliste de Crup doit être tel que :
Crup > Cplas. (4.70)
On introduit une nouvelle variable aléatoire B statistiquement indépendante des variables aléatoires
A et Cfiss, tel que Crup s’écrive sous la forme :
Crup = A B Cfiss
(4.71)
On a donc Crup = B Cplas.
Afin que l’inégalité (4.70) soit vérifiée et pour tenir compte des résultats expérimentaux supposés
120

permettant d’identifier les quantités statistiques des Eqs. (4.49) et (4.56), le modèle probabiliste
de B doit être construit de sorte que :
B ∈ [1, +∞[, (4.72)
E{B} = C rup/C plas
E{B 2 } = σ2 Crup + C2 rup
σ 2 Cplas + C2 plas
(4.73)
(4.74)
On montre que pour que ce modèle probabiliste reste valable, il est nécessaire que Crup vérifie
la condition suivante :
σCrup > Crup σCplas
Cplas (4.75)
où σCrup, C rup, σCplas et C plas sont identifiés à partir de mesures expérimentales (voir paragraphe
§4.3.1).
Moment de fissuration Mfiss
D’après l’Eq. (4.44), les variables aléatoires Mfiss et Cfiss sont statistiquement dépendantes
et sont telles que :
Mfiss = E 0I yCfiss
(4.76)
où E 0 et I y sont des réels fixés. Le modèle probabiliste de Mfiss se déduit donc directement de
celui de Cfiss. On en déduit que :
Mfiss ∈ [0, +∞[, (4.77)
M fiss = E{Mfiss} = E 0I yC fiss
σMfiss = E{(Mfiss − M fiss) 2 } 1/2 = E 0I yσCfiss
(4.78)
(4.79)
M fiss et σMfiss dépendent donc explicitement de Cfiss et σCfiss . Il n’est pas nécessaire de fournir
d’information supplémentaire sur le moment de fissuration Mfiss.
Moment de plastification Mplas
Le modèle probabiliste de la variable aléatoire Mplas doit être construit en tenant compte de
l’Eq. (4.45), ce qui donne :
Mplas = Mfiss + I yE fiss(Cplas − Cfiss) (4.80)
Mplas est donc statistiquement dépendante de Mfiss, Cplas et Cfiss. La moyenne et l’écart-type
de Mplas s’écrivent :
M plas = E{Mplas} = E 0I yC fiss + I yE fiss(C plas − C fiss), (4.81)
σMplas = E{(Mplas − M plas) 2 } 1/2 = I y(σ 2 Cfiss (E 0 − E fiss) 2 + σ 2 Cplas E2 fiss )1/2 . (4.82)
La moyenne et l’écart-type de Mplas se déduisent directement des moyennes et écart-type de
Cfiss et Cplas, il est donc inutile de fournir d’informations supplémentaires sur Mplas.
Moment de rupture Mrup
La variable aléatoire Mrup est générée en utilisant l’Eq. 4.46 :
Mrup = Mplas + I yE plas(Crup − Cplas) (4.83)
121

Mrup est donc statistiquement dépendant de Mplas, Cplas et Crup. On montre que la moyenne
et l’écart-type de Mrup s’écrivent :
M rup = E{Mrup} = M plas + I yE plas(C rup − C plas) (4.84)
σMrup = E{(Mrup − M rup) 2 } 1/2
σMrup = {σ 2 Mplus + M 2 plas + I2yE 0(σ 2 Crup + σ2 Cplas ) +
· · · + I 2 y(C rup − Cplas) 2 [E 2 0 + E 2 Cfiss p + 2E0E p
(C rup − C plas) ]}1/2
(4.85)
Tout comme pour Mplas, on a montré que la moyenne et l’écart-type de Mrup dépendent uniquement
des moyennes et écart-type des variables aléatoires Crup, Cplas et Cfiss. Il est donc inutile
de fournir un complément d’information pour Mrup.
Paramètres hystérétiques
D’après la définition des paramètres hystérétiques, on a :
η ∈ [0, 1], (4.86)
E{η} = η, (4.87)
E{η 2 } = η 2 + σ 2 η. (4.88)
β ∈ [0, 1], (4.89)
E{β} = β, (4.90)
E{β 2 } = β 2 + σ 2 β . (4.91)
γ ∈ [0, +∞[, (4.92)
E{γ} = γ, (4.93)
E{γ 2 } = γ 2 + σ 2 γ. (4.94)
Selon l’information disponible sur chaque variable aléatoire ( support, moyenne, moment d’ordre
deux ), le principe du maximum d’entropie est utilisé pour déterminer les lois de probabilité
générant ces variables.
On peut distinguer deux types de lois suivant la nature du support de la variable :
– Loi de type 1 : Support semi-borné, moyenne donnée et écart-type donné ;
– Loi de type 2 : support borné, moyenne donnée et écart-type donné.
Le paragraphe suivant s’attache à construire les densités de probabilité de chacune de ces lois.
4.3.3 Construction des lois de probabilités
Loi de type 1
Soit une variable aléatoire X définie sur un support semi-borné [a, +∞[, de moyenne mX,
d’écart-type σX. La densité de probabilité construite en utilisant le principe du maximum d’entropie
s’écrit ([91]) :
pX(x) = I [a,+∞[(x)e −λ0−xλ1−x 2 λ2 (4.95)
où λ0, λ1 et λ2 sont les constantes qui minimisent la fonction :
H1(λ0, λ1, λ2) = λ0 + λ1mX + λ2m2 +
122
� +∞
a
e −λ0−xλ1−x 2 λ2 dx (4.96)

�
π
H1(λ0, λ1, λ2) = λ0 + λ1mX + λ2m2 + e
4λ2
−λ2+ λ2 1
4λ2 [1 − erf( � λ2a + λ1
2 √ )] (4.97)
λ2
où m2 = σ2 X + m2 X est le moment d’ordre deux de la variable aléatoire X et où la fonction
x ↦→ erf(x) est définie, pour tout x ∈ R, par
Loi de type 2
erf(x) = 2
√ π
� x
0
e −t2
dt (4.98)
On suppose que la variable aléatoire X est définie sur un support borné [a, b], de moyenne
mX, d’écart-type σX. La densité de probabilité construite en utilisant le principe du maximum
d’entropie s’écrit [91] :
où λ0, λ1 et λ2 sont les constantes qui minimisent la fonction :
pX(x) = I [a,b](x)e −λ0−xλ1−x 2 λ2 (4.99)
H2(λ0, λ1, λ2) = λ0 + λ1mX + λ2m2 +
� b
a
e −λ0−xλ1−x 2 λ2 dx (4.100)
�
π
H2(λ0, λ1, λ2) = λ0 + λ1mX + λ2m2 + e
4λ2
−λ2+ λ2 1
4λ2 [erf( � λ2b + λ1
2 √ ) − erf(
λ2
� λ2a + λ1
2 √ )]
λ2
(4.101)
Ces deux lois ont des densités de probabilité qui ont des expressions presque similaires. Toutefois,
les supports et les constantes λ0, λ1 et λ2 dans les Eqs. (4.97) et (4.101) sont différents.
4.3.4 Génération des réalisations des variables aléatoires
Une fois les différentes lois de probabilité définies, il faut concevoir les générateurs des variables
aléatoires selon ces lois. Soit U une variable aléatoire de densité de probabilité u ↦→ pU(u).
Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité x ↦→ pX(x) définie par :
pX(x) = I [a,+∞[(x)e −λ0−xλ1−x 2 λ2 (4.102)
On cherche à construire une application g telle que X = g(U). Une réalisation X(θ) est alors
telle que :
X(θ) = g(U(θ)). (4.103)
Donc si nous disposons d’un générateur de variable aléatoire de densité de probabilité u ↦→
pU(u), nous pourrons construire un générateur de variables aléatoire de densité de probabilité
x ↦→ pX(x). On montre que :
FX(g(u)) = FU(u) (4.104)
où FX et FU sont les fonctions de répartition des variables aléatoires X et U définies par :
FX(x) =
� x
−∞
I [a,+∞[(t)e −λ0−tλ1−t 2 λ2 dt (4.105)
FU(u) =
� u
−∞
pU(v)dv (4.106)
Si X ∈ [a, +∞[ (cas de la loi de type 1) ou X ∈ [a, b] (cas de la loi de type 2), la fonction de
répartition s’écrit :
FX(x) =
� x
a
e −λ0−tλ1−t 2 λ2 dt (4.107)
123

qui peut aussi s’écrire :
FX(x) = −
−4λ √ 0λ2 +λ
πe
2 1
4λ 2 (−erf( 2xλ2+λ1
2 √ λ2
2 √ λ2
avec erf la fonction définie par l’Eq. (4.98). On a alors :
où :
Soit
FX(g(u)) = −
−4λ √ 0λ2 +λ
πe
2 1
4λ 2 (−erf( 2g(u)λ2+λ1
2 √ λ2
2 √ λ2
) + erf( 2aλ2+λ1
2 √ ))
λ2
) + erf( 2aλ2+λ1
2 √ ))
λ2
(4.108)
(4.109)
g(u) = D erf −1 (A FX(g(u)) + B) − C, (4.110)
A =
D’après l’Eq. 4.104, FX(g(u)) = FU(u) d’où :
2 √ λ2
√ πe − 4λ 0 λ 2 −λ2 1
4λ 2
(4.111)
B = erf( 2aλ2 + λ1
2 √ ) (4.112)
λ2
C = λ1
2λ2
D = 1
√
λ2
(4.113)
(4.114)
(4.115)
g(u) = D erf −1 (A FU(u) + B) − C. (4.116)
Donc si la loi de U est donnée et si on dispose d’un générateur de réalisations de U alors on
peut construire le générateur de X en utilisant l’Eq. (4.116).
Par exemple, si U est une variable aléatoire de loi uniforme alors
et donc :
⎧
⎨
FU(u) =
⎩
0 sur ] − ∞, 0[
u sur [0, 1],
1 sur ]1, +∞[
(4.117)
g(u) = D erf −1 (A u + B) − C. (4.118)
La variable aléatoire x peut donc être générée par l’intermédiaire d’un générateur de loi uniforme
sur [0, 1] et on a :
X(θ) = g(U(θ)) = D erf −1 (A U(θ) + B) − C (4.119)
où X(θ) et U(θ) sont deux réalisations des variables aléatoires X et U.
Pour résumer la procédure de génération des paramètres de la loi Takeda à chaque réalisation :
– Génération de la variable aléatoire Cfiss et détermination de Mfiss par l’Eq 4.76.
– Génération de la variable A et détermination de Cplas,
– Détermination de Mplas,
– Génération de la variable B et détermination de Crup,
– Détermination de Mrup,
– Génération des paramètres hystérétiques η, β et γ
124

Moment (N.m)
x Intervalle de confiance à 95% de la courbe de Takeda − 1e6 réalisations
104
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 0.02 0.04 0.06 0.08
Courbure
0.1 0.12 0.14 0.16
Fig. 4.6 – Intervalle de confiance pour un niveau de probabilité Pc = 95% - 10 6 réalisations -
En rouge : Courbe moment-courbure du modèle moyen
4.3.5 Validation du générateur de variables aléatoires
Le générateur de variables aléatoires suivant les lois de probabilité de types 1 et 2, définies
au paragraphe §4.3 est testé sur un exemple de jeu de données des paramètres du modèle non
linéaire de Takeda. Rappelons que les variables aléatoires retenues dans le modèle de Takeda
sont : les courbures (Cfiss, Cplas et Crup) de la courbe moment-courbure caractéristique de la
loi Takeda ainsi que les moments fléchissant associés (Mfiss, Mplas et Mrup). Les paramètres
hystérétiques η, β et γ complètent la liste des variables aléatoires du modèle. Le générateur est
alimenté par la donnée de la moyenne et de l’écart-type relatif de chaque variable. Les données
utilisées dans ce test de validation sont les suivantes :
– M fiss = 10500 N ; σMfiss = 0.05M fiss
– M plas = 22000 N ; σMplas = 0.1M plas
– M rup = 24500 N ; σMrup = 0.15M rup
– C fiss = 0.0018 m −1 ; σCfiss = 0.05C fiss ;
– C plas = 0.0123 m −1 ; σCplas = 0.1C plas ;
– C rup = 0.1225 m −1 ; σCrup = 0.15C rup ;
– η = 0.3 ; ση = 0.2η
– β = 0.8 ; σβ = 0.15β
– γ = 50 ; σγ = 0.1γ.
Afin de contrôler au mieux les valeurs extrêmes d’échantillons, pour des probabilités faibles, nous
effectuons 1 million de réalisations. L’étude des réalisations effectuées lors du test montre que
les valeurs générées restent bien dans le support de définition des variables aléatoires et que de
plus, ils restent dans les mêmes ordre de grandeurs que les valeurs moyennes, ce qui nous évite
d’obtenir des réalisations physiquement inacceptables de chaque variable. Les valeurs minimales
et maximales présentées dans le tableau 4.3.5 montrent que, bien que le support d’une loi puisse
être [0, +∞[, les valeurs générées restent dans le voisinage de la moyenne et que l’on n’observe
pas de valeurs trop éloignées, même pour un faible niveau de probabilité.
Ceci se traduit par une dispersion raisonnable des courbes par rapport à la courbe du modèle
moyen (cf. fig. 4.6). Les résultats montrent aussi que les inégalités de l’Eq. (4.43) entre les
courbures de fissuration, de plastification et de rupture restent toujours vérifiées.
125

Enfin, les estimateurs des moyennes des variables aléatoires considérées convergent bien vers les
moyennes de variables introduites comme données des lois de probabilité.
Les figures 4.7 montrent les densités de probabilité des variables aléatoires considérées pour
Variables aléatoires Valeur minimale Valeur moyenne Valeur maximale
Courbure de fissuration (m −1 ) 0.0013 0.0018 0.0022
Courbure plastique (m −1 ) 0.0084 0.0122 0.0166
Courbure de rupture (m −1 ) 0.0724 0.1225 0.1837
Moment de fissuration (N) 80800 10500 13000
Moment plastique (N) 16070 22000 28320
Moment de rupture (N) 17670 24500 31770
Paramètres η 0.0045 0.3002 0.598
hystérétiques β 0.139 0.8 1
γ 22.93 50 74.44
Tab. 4.2 – Tableau récapitulatif des résultats des 1 million de réalisations aléatoires des paramètres
de la loi Takeda
1 million de réalisations. Les fonctions densité de probabilité des variables étant déterminées
analytiquement dans le paragraphe § 4.3, nous comparons dans les graphes de la figure 4.8
les densités de probabilité obtenues analytiquement avec celles approchées numériquement par
la méthode numérique de Monte-Carlo. Les courbes se superposent bien ce qui montre que le
générateur mis en place permet de retrouver les densités de probabilités définies par les Eq.
(4.95)-(4.97) et (4.99)-(4.101), caractéristiques des lois de probabilités de type 1 et 2.
4.3.6 Génération des réalisations aléatoires du modèle probabiliste mixte
La convergence en modes du modèle matriciel réduit non linéaire n’est observée que pour
un nombre de modes beaucoup plus élevé que celui du cas linéaire. Cela montre que les modes
de fréquence élevée sont des modes locaux dont certains sont indispensables à la description
de la déformée des éléments où apparaissent les rotules plastiques. Toutefois, ces modes locaux
n’interviennent pas dans la réponse du système dynamique non linéaire, car seuls les modes
globaux contenus dans la bande de fréquence de l’accélérogramme sont excités. Il convient donc
d’appliquer le modèle non paramétrique des incertitudes sur la partie des matrices réduites
correspondant aux modes excités. La partie correspondant aux modes locaux reste déterministe.
Si [A] est une matrice aléatoire représentant une des matrices aléatoires réduites de masse, de
raideur ou d’amortissement, on peut l’écrire sous la forme :
où
[A pleine ] =
⎛
⎜
⎝
[A] =
A11 · · · A1 s
.
As 1 · · · Ass
.
⎞
� [A pleine ] 0
0 [A diag ]
⎛
⎟
⎠ et [A diag ⎜
] = ⎝
�
A (s+1)(s+1)
. ..
0
A 1400 1400
⎞
⎟
⎠
(4.120)
où s est l’ordre du mode le plus élevé à prendre en compte dans le modèle non paramétrique. La
méthode de Monte-Carlo est utilisée pour construire les statistiques sur le modèle mixte. Soit
Cfiss(θ), Cplas(θ), Crup(θ), η(θ), β(θ) et γ(θ) des réalisations des variables aléatoires Cfiss, Cplas,
Crup, η, β et γ, respectivement, pour un échantillon θ. Ces réalisations sont obtenues grâce aux
126

5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
Courbure de fissuration
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2
x 10 −3
0
0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017
35
30
25
20
15
10
5
Courbure de plastification
0
0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
7
6
5
4
3
2
1
Courbure de rupture
Paramètre de baisse de rigidité (η)
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
x Moment 10−4
8
7
6
5
4
3
2
1
de fissuration
0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
x 10 4
0
x Moment 10−4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
de plastification
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
x 10 4
0
2
1
x 10 −4 Moment de rupture
0
20 30 40 50 60 70 80
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
x 10 4
0
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Paramètre de pincement (γ)
0
Paramètre de dégradation de résistance (β)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fig. 4.7 – Graphes des densités de probabilité des variables aléatoires du modèle paramétrique
pour 1000000 réalisations
127

5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
Courbe analytique: Courbure de fissuration
1 1.5 2 2.5 3
x 10 −3
0
7
6
5
4
3
2
1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Courbe analytique: Paramètre baisse de rigidité (η)
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
Courbe analytique: Paramètre de dégradation de résistance (β)
Courbe analytique: Paramètre de pincement (γ)
0
0 50 100 150
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
Courbure de fissuration
Numérique
Analytique
1 1.5 2 2.5 3
x 10 −3
0
7
6
5
4
3
2
1
Paramètre de baisse de rigidité (α)
Numérique
Analytique
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Paramètre de dégradation de résistance (β)
Numérique
Analytique
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
Analytique
Numérique
Paramètre de pincement (γ)
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Fig. 4.8 – Comparaison des densités de probabilité analytiques et numériques des variables
aléatoires du modèle paramétrique pour 1000000 réalisations
128

générateurs de variables aléatoires de type 1 et 2 présentés au paragraphe §4.3.3. Cela permet
de construire une réalisation :
W(θ) = (Cfiss(θ), Cplas(θ), Crup(θ), Mfiss(θ), Mplas(θ), Mrup(θ), η(θ), β(θ), γ(θ)),
du vecteur aléatoire W = (Cfiss, Cplas, Crup, Mfiss, Mplas, Mrup, η, β, γ). D’autre part, pour le
même échantillon, les réalisations [Mpleine (θ)], [Dpleine (θ)] et [Kpleine (θ)] sont construites grâce
aux générateurs de matrices aléatoires présentées au paragraphe §3.4 avec les paramètres de
dispersion respectifs, δM, δD et δK et
⎛
⎞
E{[M pleine ]} =
E{[D pleine ]} =
E{[K pleine ]} =
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
M 11 · · · M 1 s
.
M s 1 · · · M ss
D 11 · · · D 1 s
.
D s 1 · · · D ss
K 11 · · · K 1 s
.
K s 1 · · · K ss
Les réalisations des matrices alétoires [M], [D] et [K] sont construites comme suit :
⎛
[M
⎜
[M(θ)] = ⎜
⎝
pleine (θ)]
0
.
0
µs+1
· · ·
. ..
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 µn
⎛
[D
⎜
[D(θ)] = ⎜
⎝
pleine (θ)]
0
.
0
2µs+1ωs+1ξs+1
· · ·
. ..
0
0
⎞
⎟
⎠
0
⎛
[K
⎜
[K(θ)] = ⎜
⎝
0 2µnωnξn
pleine (θ)]
0
0
µs+1ω
· · · 0
2 .
s+1
. ..
⎞
0 ⎟
⎠
.
.
.
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
0 0 µnω 2 n
(4.121)
(4.122)
(4.123)
Puis, pour la réalisation θ, le système dynamique matriciel non linéaire de l’Eq. (4.41) devient :
[M] ¨Q n (t; θ) + [D] ˙Q n (t; θ) + [K] Q n (t; θ) =
− [M] ¨q n s (t) − [Φ n] T GNL({[Φ n]Q n (τ; θ)}0≤τ≤t, t, W(θ)) (4.124)
t ∈ [0, T ] et Q(0) = 0 et ˙ Q(0) = 0
où Q n (., θ) est une réalisation du processus stochastique Q n , obtenue en résolvant ce système
par la méthode présentée au paragraphe §4.2.2. on construit alors la réalisation du processus
stochastique U(., θ) en utilisant l’Eq. 4.5 :
U(t; θ) = [Φ n]Qn(t; θ). (4.125)
Les réalisations des efforts internes sont aussi construites conformément à la description du
paragraphe §3.4.3 et de l’Eq. 3.82. Les observables statistiques sont celles du chapitre 3 à savoir :
les efforts tranchants dans les éléments finis constituant les poteaux et les rotations dans ces
éléments. Les grandeurs statistiques sont obtenues en utilisant les équations (3.84)-(3.89).
129

4.4 Application à la structure complète
4.4.1 Modèle réduit moyen
La résolution du système dynamique non linéaire de l’Eq. 4.6 par analyse modale, présentée
au paragraphe §4.2 est appliquée à la structure de référence sans mur en maçonnerie, représentée
par sa modélisation par éléments finis simplifiée du paragraphe §2.4.5 (cf. fig. 2.33). La structure
est soumise à la même sollicitation sismique que celle appliquée dans le cas linéaire (sens X)
et caractérisée par l’accélérogramme de la figure 2.27. La structure est caractérisée par un taux
d’amortissement de 5%.
Le pas d’échantillonnage du schéma d’intégration numérique de Newmark ∆t adopté pour le cas
linéaire s’avère insuffisant pour assurer la convergence du système. La résolution du système non
linéaire par la méthode de ”Quasi-Newton” nécessite, en effet, une discrétisation plus fine en
temps. L’analyse de convergence montre qu’un pas de temps égal à ∆t/5 assure la convergence
vers la solution non linéaire en chaque instant t pour l’accélération imposée. Le pas
d’échantillonnage de schéma de Newmark devient alors pour le système dynamique non linéaire :
∆tNL = 9.01ms
L’étude de convergence en modes du modèle réduit détermine le nombre de modes nécessaire
et suffisant à la description complète de la réponse du système dynamique non linéaire. Pour la
structure de référence, le nombre de modes nécessaire à la convergence du modèle réduit moyen
non linéaire est de 1400 modes. Nous remarquons que la réduction modale n’apporte pas un gain
important sur la dimension de la matrice modale (1400 modes pour un nombre total de modes
égal à 1897, soit 73% de l’ensemble des modes). Pour tenter une justification à ce nombre élevé
de modes, intéressons nous à l’expression des efforts nonlinéaires dans le modèle réduit moyen.
La figure 4.10 représente le graphe de la fonction α ↦→ T (α) où T (α) représente le graphe de la
norme L 2 par rapport à t des composantes du vecteur des forces appliquées à chaque DDL du
modèle éléments finis sur la base des vecteurs propres {ϕ α }0≤α≤N :
T (α) = 1
�ϕ �
α (
� T
� < gNL({[φ ]q
N
0
N (τ)}0≤τ≤t), ϕ > �
α 2 dt) 1/2 , (4.126)
�.� est la norme euclidienne de R N et < ., . > désigne le produit scalaire euclidien de R N .
D’après la figure 4.10, on peut remarquer que certains modes hautes fréquences, bien qu’en
dehors de la bande de fréquences de l’accélérogramme, qui rappelons-le est [0 ;50] Hz, ont une
contribution importante parmi l’ensemble des forces projetées sur la matrice modale [Φ n].
Les modes dont la contribution est la plus importante correspondent à des points particuliers
de la courbe de convergence stochastique (cf. fig. 4.9), ce qui montrent que ces modes apportent
au modèle réduit moyen une description plus fine des nonlinéarités localisées. En effet, pour
le cas de la structure étudiée, les rotations et déplacements des éléments nonlinéaires ne sont
décrites que par des modes de fréquences élevées. La prise en compte de ces modes locaux est
indispensable pour traduire fidèlement les déplacements réels de la structure et pour reproduire
le comportement non linéaire de la structure soumise à un chargement sismique. Dans le cas non
linéaire, le modèle matriciel réduit moyen est donc de dimension n = 1400 modes. La résolution
du système dynamique non linéaire par l’analyse modale décrite dans la paragraphe § 4.2 permet
d’obtenir des résultats très proches des résultats obtenus par la modélisation par éléments finis
réalisée avec CAST3M. La comparaison des graphes de l’évolution des déplacements, rotations,
efforts tranchants et moments en fonction du temps (cf. figures 4.11 - 4.12) en différents poteaux
de la structure montre une très bonne concordance entre les résultats des deux méthodes de
calcul. Ce résultat est aussi confirmé par la comparaison des courbes cycliques déplacementeffort
tranchant (cf. figures 4.15)
La figure 4.16 présente la comparaison du déplacement en tête du poteau P 13 entre un calcul
linéaire et un calcul non linéaire. Nous remarquons qu’à partir d’un temps t1, les deux courbes
130

0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
(a)
0
0 500 1000 1500 2000
x (c)
1010
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 500 1000 1500 2000
Fig. 4.9 – Courbes de convergence modale : Graphes des fonctions (n) ↦→ Conv2 (n) (a) et
(nS, n) ↦→ Conv2 T (n) (b)en abscisse, la dimension du modèle réduit ; en ordonnée, le norme de
convergence en déplacements généralisés (a) et en efforts tranchants (b). La convergence est
observée pour 1400 modes
131

2.5
2
1.5
1
0.5
x 1010
3
0
0 500 1000 1500 2000
Fig. 4.10 – Projection modale de la force excitatrice : Graphe de la fonction α ↦→ T (α) La
contribution des modes élevées dans les efforts nonlinéaires projetées sur la base modale est non
négligeable.
(a)
déplacement en tête (m)
6
4
2
0
−2
−4
−6
x 10−3
8
Calcul EF
Calcul modal
−8
0 2 4 6 8 10
temps (s)
(b)
déplacement en tête (m)
6
4
2
0
−2
−4
−6
x 10−3
8
Calcul EF
Calcul modal
−8
0 0.5 1 1.5
temps (s)
2 2.5 3
Fig. 4.11 – Comparaison entre le calcul EF et le calcul par analyse modale du déplacement Ux
dans l’extrémité du poteau P13, calcul complet (a) et détaillée (b)
132

(a)
rotation (rd)
x 10−3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
Calcul EF
Calcul modal
−2.5
0 2 4 6 8 10
temps (s)
(b)
x 10−3
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
Calcul EF
Calcul modal
−2.5
0 0.5 1 1.5
temps (s)
2 2.5 3
Fig. 4.12 – Comparaison entre le calcul EF et le calcul par analyse modale de la rotation Ry
dans l’extrémité du poteau P13, calcul complet (a) et détaillée (b)
(a)
effort tranchant (N)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
x 105
1
Calcul EF
Calcul modal
−1
0 2 4 6 8 10
temps (s)
(b)
effort tranchant (N)
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
x 104
8
Calcul EF
Calcul modal
−10
0 0.5 1 1.5
temps (s)
2 2.5 3
Fig. 4.13 – Comparaison entre le calcul EF et le calcul par analyse modale de l’effort tranchant
Tx dans l’extrémité du poteau P13, calcul complet (a) et détaillée (b)
133

(a)
moment fléchissant (N.m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
x 105
1
Calcul EF
Calcul modal
−1
0 2 4 6 8 10
temps (s)
(b)
moment fléchissant (N.m)
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
x 104
8
Calcul EF
Calcul modal
−10
0 0.5 1 1.5
temps (s)
2 2.5 3
Fig. 4.14 – Comparaison entre le calcul EF et le calcul par analyse modale du moment fléchissant
My dans l’extrémité du poteau P13, calcul complet (a) et détaillée (b)
effort tranchant (N)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
x 105
1
Calcul EF
Calcul modal
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
x 10 −3
−1
déplacement en tête (m)
Fig. 4.15 – Comparaison entre le calcul EF et le calcul par analyse modale - Courbes effort
tranchant-déplacement en tête du poteau P13
134

Déplacement en tête (m)
2
0
−2
−4
−6
x 10−3
4
Nonlinéaire
Linéaire
−8
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
Fig. 4.16 – Comparaison du déplacement en tête du poteau P 13 entre le cas linéaire (rouge
continu) et le cas non linéaire (gris interrompu)
ne coincident plus entre elles, ce qui montre que le poteau P 13 a dépassé sa limite élastique
et qu’il y a un écoulement plastique, traduit par des déplacements plus importants et par des
déformations irréversibles. Les spectres d’accélération aux noeuds du poteau P 13 sont présentés
dans la figure 4.17. Nous remarquons qu’à mesure que l’on s’approche de la base du poteau, le
spectre ”non linéaire” s’éloigne du spectre au même noeud dans le cas linéaire (cf. fig. 4.18).
La réduction sur la base des modes propres de la structure permet donc de résoudre correctement
le système non linéaire dynamique. L’analyse modale sera employée pour obtenir les matrices
réduites de masse, de raideur et d’amortissement. La modélisation probabiliste non paramétrique
peut alors être utilisée pour prendre en compte les incertitudes de modélisation et le modèle
probabiliste paramétrique sera utilisé pour prendre en compte les incertitudes sur les données
des paramètres de la loi non linéaire de Takeda.
135

7
6
5
4
3
2
1
log10(S j (ω))
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
10 0
10 1
Fréquence (Hz)
Fig. 4.17 – Spectres d’accélération (en g) aux noeuds du poteau P 13 dans le modèle moyen - cas
non linéaire.
7
6
5
4
3
2
1
log10(S j (ω))
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
10 0
10 1
Fréquence (Hz)
Fig. 4.18 – Comparaison entre les spectres d’accélération (en g) du modèle moyen aux noeuds
du poteau P 13 : cas linéaire (trait continu) - cas non linéaire (trait interrompu)
136
10 2
10 2

4.4.2 Modèle probabiliste
Temps d’échantillonnage
Nous avons remarqué dans le paragraphe §4.4.1 que le résolution du système dynamique non
linéaire déterministe dans le cas de la structure de référence nécessite un temps d’échantillonnage
5 fois plus faible que celui adopté pour le système dynamique linéaire. La division par 5 du pas
d’échantillonnage conduit à avoir 5 fois plus de pas de temps calculés pour la même durée
d’intégration qui est de 9.2 secondes et qui correspond à la durée du séisme choisi. La résolution
d’un tel système a été réalisé pour le cas du modèle moyen déterministe.
Cependant, pour le modèle probabiliste, la simulation numérique de Monte-Carlo requiert des
centaines de réalisations, ce qui rend le coût en temps et en capacité de calcul trop lourd. A
titre d’exemple, la résolution du système non linéaire déterministe nécessite, avec les capacités
d’un ordinateur de bureau, 90 min pour traiter plus de 10000 pas de temps formant la durée de
l’accélérogramme. Ce qui signifie que pour faire 500 réalisations, il faudrait environ 13 jours.
S’ajoute à cela le problème du volume des données à stocker et les ressources en mémoire
nécessaires pour traiter ces calculs. Afin de pouvoir utiliser le modèle probabiliste non linéaire
dans des conditions ”raisonnables” en temps et en ressources informatiques, nous avons choisi
de nous contenter de traiter une partie du signal sismique.
La partie choisie représente environ le tiers de l’ensemble de l’accélérogramme. Cette partie
présente l’avantage de contenir plusieurs pics d’accélérations dont l’accélération maximale du
séisme, ce qui permet de contenir dans la réponse déterminée une estimation correcte des
contraintes et des déformations maximales atteintes lors d’une excitation sismique complète.
La durée d’intégration est alors égale à 3.15 secondes pour ∆tNL = 9.01 ms, soit près de 3500
pas de temps calculés.
Analyse de convergence
La convergence stochastique du modèle probabiliste non linéaire est contrôlée par la fonction
(n, nS) ↦→ Conv 2 T (n, nS). La partie déterministe des matrices aléatoires rend la dimension n du
modèle matriciel réduit égale à 1400. La convergence dépend donc exclusivement du nombre de
réalisations nS.
La figure 4.19 montre le graphe de la fonction nS ↦→ Conv 2 T (n, nS). La convergence est observée
pour 300 réalisations, environ. La simulation numérique de Monte-Carlo dans le cas du système
dynamique non linéaire sera effectuée par la suite avec 300 réalisations.
Conv 2
T (n,n S )
x 1010
4.7
4.6
4.5
4.4
4.3
4.2
4.1
0 100 200 300 400 500 600 700
Nombre de réalisations − n
S
Fig. 4.19 – Courbes de convergence modale : Graphes de la fonction (n, nS) ↦→ Conv2 T (n, nS)).
La convergence est observée pour 300 réalisations
137

Résultats numériques pour le modèle probabiliste mixte
Dans ce paragraphe, nous présentons les résultats numériques obtenus par le modèle probabiliste
mixte, paramétrique-non paramétrique, pour résoudre le modèle matriciel réduit non linéaire
aléatoire. Compte tenu de l’analyse de convergence, les simulations numériques de Monte-Carlo
nécessitent 300 réalisations. Le traitement statistique des résultats obtenus permet de construire
les moyennes des réalisations et de tracer les domaines de confiance des observables statistiques
choisis. Pour cela, nous fixons le niveau de confiance Pc à 95%. Les figures 4.20, 4.21, 4.22
présentent les domaines de confiance pour un niveau de confiance Pc = 95%, respectivement, du
déplacement en tête du poteau P 13, des efforts tranchants et des rotations en haut du même
poteau. La comparaison des domaines de confiance du déplacement du système linéaire et du
système non linéaire au niveau du poteau P 13 (cf. fig. 4.23) montre que, pour un même niveau
d’incertitude, la largeur du domaine de confiance est plus importante dans le cas non linéaire.
Ceci indique une sensibilité plus importante aux incertitudes du modèle matriciel réduit non
linéaire par rapport au modèle matriciel réduit linéaire. Les graphes des figures 4.29 et 4.26
montrent que, pour les domaines de confiance des spectres d’accélération, contrairement au cas
linéaire où la propagation de l’incertitude est la même le long du poteau, les noeuds les plus
proches de la base du poteau présentent, dans le cas non linéaire, des domaines de confiance
plus larges. La sensibilité du modèle aux incertitudes est plus importante à la base qu’en tête
des poteaux. Cette sensibilité est plus marquée aussi pour les fréquences supérieures à 10 Hz.
Les nonlinéarités apportent donc une propagation d’incertitude plus forte dans les noeuds des
poteaux proches de l’encastrement et dans le domaine des fréquences [10-100]Hz. Dans le paragraphe
suivant, nous faisons une étude comparative entre les différentes modèles probabilistes
utilisées (paramétrique, non paramétrique et mixte) pour résoudre le système dynamique non
linéaire pour comprendre l’origine de de l’augmentation du niveau de l’incertitude dans les DDLs
observées, par rapport au cas linéaire.
Déplacement en tête (m)
4
2
0
−2
−4
−6
−8
x 10−3
6
−10
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
Fig. 4.20 – Modèle probabiliste mixte : Graphe de la zone de confiance pour Pc = 0.95% du
déplacement en tête du poteau P 13.
138

Rotation (rd)
x 10−3
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
Fig. 4.21 – Modèle probabiliste mixte : Graphe du domaine de confiance pour Pc = 0.95% de la
rotation en haut du poteau P 13.
Effort tranchant (N)
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
x 104
8
−12
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
Fig. 4.22 – Modèle probabiliste mixte : Graphe du domaine de confiance pour Pc = 0.95% de
l’effort tranchant en haut du poteau P 13.
déplacement en tête (m)
4
2
0
−2
−4
−6
−8
x 10
6
−3
−10
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
Fig. 4.23 – Modèle probabiliste mixte : Comparaison entre les zones de confiance pour Pc = 95%
des déplacements au niveau du plancher : cas non linéaire (bleu) - cas linéaire (jaune)
139

7
6
5
4
3
2
1
log10(S j (ω))
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
10 0
−2.5
10 1
Fréquence (Hz)
Fig. 4.24 – Modèle probabiliste mixte : Graphes des spectres d’accélération (en g) des moyennes
des réalisations aléatoires aux noeuds du poteau P13
7
6
5
4
3
2
1
log 10 (S j (ω))
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
10 0
−2.5
10 1
Fréquence (Hz)
Fig. 4.25 – Modèle probabiliste mixte : Graphes des intervalles de confiance pour Pc = 95% des
spectres d’accélération (en g) pour différents noeuds du poteau P13 avec le modèle mixte
7
6
5
4
3
2
1
log 10 (S j (ω)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
10 0
−2.5
10 1
Fréquence (Hz)
Fig. 4.26 – Modèle probabiliste mixte : Comparaison entre les domaines de confiance pour Pc =
95% des spectres des accélérations (en g) aux noeuds du poteau P13 : cas linéaire (couleurs
claires) - cas non linéaire (couleurs foncées)
140
10 2
10 2
10 2

Etude comparative des modèles probabilistes
Afin de déterminer l’apport de chacun des modèles probabilistes dans la réponse stochastique
du système, les 3 cas suivants ont été étudiés :
– Le modèle probabiliste se compose uniquement du modèle paramétrique des valeurs caractéristiques
de la loi non linéaire de Takeda. L’avantage de ce modèle est de mettre
en relief l’influence de l’aléa afférent aux paramètres de loi de Takeda sur la réponse du
système par une modélisation probabiliste paramétrique. La conception de ce modèle paramétrique
est détaillée dans le paragraphe §4.3.
– Le modèle probabiliste est composé uniquement d’un modèle non paramétrique, basé sur le
modèle réduit moyen non linéaire. Le modèle non paramétrique a été présenté au chapitre
3 et le modèle matriciel réduit moyen non linéaire est introduit en détails au paragraphe
§4.2.
– Le modèle probabiliste se compose de la combinaison des deux modèles paramétrique et
non paramétrique. C’est le modèle appelé modèle mixte.
La comparaison des résultats des différentes modélisations probabilistes sur la même structure de
référence permet de quantifier la contribution de chaque source d’incertitude (incertitude sur les
données dans le cas paramétrique et incertitude de modélisation dans le cas non paramétrique)
dans la réponse stochastique du modèle matriciel réduit aléatoire de l’Eq. (4.41). Les valeurs des
paramètres de dispersion utilisées dans le modèle non paramétrique sont :
δM = δD = δK = 15%.
Pour le modèle paramétrique, nous adoptons pour les paramètres de la loi non linéaire de Takeda
les valeurs moyennes correspondent au modèle éléments finis moyen. Pour les écart-types, les
valeurs suivantes sont adoptées :
– σCfiss = 0.12C fiss ;
– σCplas = 0.17C plas ;
– σCrup = 0.25C rup ;
– ση = 0.2η ;
– σβ = 0.15β ;
– σγ = 0.1γ.
Les variables aléatoires Mfiss, Mplas et Mrup étant statistiquement dépendantes de Cfiss, Cplas
et Crup, les écart-types σMfiss , σMplas et σMrup sont déduits des écart-types σCfiss , σCplas et
σCrup par l’intermédiaire des Eqs. (4.79), (4.82) et (4.85), respectivement. Les figures 4.27, 4.28
et 4.29 montrent les domaines de confiance au niveau de confiance Pc = 95% des spectres
d’accélération aux noeuds du poteau P 13, obtenus par les différents modèles probabilistes (paramétrique,
non paramétrique, mixte, respectivement). L’incertitude liée au modèle probabiliste
paramétrique semble moins importante que celle liée au modèle non paramétrique, surtout dans
le domaine des basses fréquences [0,15]Hz. Ceci peut être justifié par le fait que dans cet intervalle
de fréquences, les premiers modes intervenant dans la dynamique du système sont perturbés
par le modèle non paramétrique et la réponse stochastique du système aléatoire en est fortement
influencée. L’incertitude est donc en grande partie due au modèle non paramétrique pour
les basses fréquences. Au delà de 15 Hz, les largeurs des domaines de confiance des spectres
obtenus par les deux modèles paramétrique et non paramétrique deviennent comparables. La
modélisation est plus sensible aux incertitudes paramétriques pour les fréquences supérieures
à 15Hz. La figure 4.30 présente les domaines de confiance des spectres obtenus par le modèle
mixte, le modèle paramétrique et non paramétrique. Les spectres des modèles mixte et non paramétrique
se superposent pratiquement dans l’intervalle de fréquence [0-10] Hz, alors que pour
des fréquences supérieures, les domaines de confiance des spectres des modèles paramétrique et
non paramétrique deviennent de largeur équivalente et le domaine de confiance du modèle mixte
semble être la somme de la contribution des deux premiers domaines de confiance.
La figure 4.4.2 présente les graphes des domaines de confiance pour un niveau de confiance
Pc = 95% de l’effort tranchant en haut du poteau P 13, pour les différents modèles probabilistes.
141

7
6
5
4
3
2
1
log10(S j (ω))
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
10 0
−2.5
10 1
Fréquence (Hz)
Fig. 4.27 – Graphes des domaines de confiance au niveau de probabilité Pc = 95% des spectres
d’accélération (en g) pour différents noeuds du poteau P13 avec le modèle paramétrique
7
6
5
4
3
2
1
log10(S j (ω))
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
10 0
−2.5
10 1
Fréquence (Hz)
Fig. 4.28 – Graphes des domaines de confiance au niveau de probabilité Pc = 95% des spectres
d’accélération (en g) pour différents noeuds du poteau P13 avec le modèle non paramétrique
7
6
5
4
3
2
1
log 10 (S j (ω))
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
10 0
−2.5
10 1
Fréquence (Hz)
Fig. 4.29 – Graphes des intervalles de confiance au niveau de probabilité Pc = 95% des spectres
d’accélération (en g) pour différents noeuds du poteau P13 avec le modèle mixte
142
10 2
10 2
10 2

log10(S j (ω))
log10(S j (ω))
−0.6
−0.8
−1
−1.2
−1.4
−1.6
−1.8
−2
−2.2
−0.6
−0.8
10 0
−1
−1.2
−1.4
−1.6
−1.8
−2
−2.2
10 0
10 1
Fréquence (Hz)
10 1
Fréquence (Hz)
Fig. 4.30 – Graphes des domaines de confiance des spectres d’accélération (en g) au niveau de
probabilité Pc = 95% suivant les modèles probabilistes utilisés - modèle paramétrique (jaune),
modèle non paramétrique (rouge) et modèle mixte (bleue)
143
10 2
10 2

Sur la figure 4.4.2-a, correspondant au modèle paramétrique, nous remarquons que jusqu’à l’instant
t1 � 0.7 s, il n’y a pas d’incertitude sur la réponse. Ceci correspond à la partie du signal
sismique où la structure reste encore dans le domaine élastique. Au delà de t1, le éléments
nonlinéaires plastifient et la loi non linéaire de Takeda est sollicitée dans la loi de comportement
de la structure. L’incertitude introduite sur les paramètres de la loi de Takeda entraîne
alors une incertitude sur la réponse du système dynamique non linéaire. En comparant les domaines
de confiance obtenus (cf. fig. 4.34), nous notons que le domaine de confiance du modèle
paramétrique reste toujours centré autour du modèle moyen (trait pointillé). Le domaine de
confiance du modèle mixte englobe les deux autres domaines de confiance. Les parts des contributions
du modèle paramétrique et du modèle non paramétrique dans l’incertitude de la réponse
du système restent variables suivant le temps. Nous notons néanmoins que la largeur du domaine
de confiance du modèle paramétrique reste constante, alors que celles des modèles paramétrique
et mixte augmentent avec le temps. La contribution du modèle non paramétrique devient alors
prépondérante au fur et à mesure du déroulement du processus. La figure 4.35 représente les
graphes de la fonction t ↦→ ɛ(t) qui à chaque t associe l’écart relatif entre l’enveloppe supérieure
du domaine de confiance et la réponse du modèle moyen en effort tranchant :
ɛ(t) = �t+ s (t) − T P i(t)�
max �T P i�
(4.127)
Les 3 graphes correspondent aux 3 cas suivants :
– modèle non paramétrique du système dynamique linéaire (trait épais bleu),
– modèle non paramétrique du système dynamique non linéaire (trait pointillé noir),
– modèle mixte du système dynamique non linéaire (trait fin rouge).
Les écarts sont plus importants dans les deux cas nonlinéaires, ce qui montre une sensibilité plus
importante aux incertitudes à cause de la présence des nonlinéarités. Dans le système dynamique
non linéaire, la présence des nonlinéarités provoque une augmentation de l’aléa, due d’une part,
aux incertitudes de données sur les paramètres de la loi de Takeda, d’autre part, aux incertitudes
de modélisation, plus importantes que dans le cas linéaire.
144

Rotation (rd)
Rotation (rd)
Rotation (rd)
x 10−3
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
(a)
−2.5
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
x 10−3
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
(b)
−2.5
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
x 10−3
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
(c)
−3
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
Fig. 4.31 – Graphes des domaines de confiance des rotations en haut du poteau P 13 au niveau
de probabilité Pc = 95% : (a) modèle paramétrique - (b) modèle non paramétrique - (c) modèle
mixte
145

Rotation (rd)
Rotation (rd)
x 10−3
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
0.5
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
x 10−3
1.5
1
0
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1
Temps (s)
Fig. 4.32 – Graphes des domaines de confiance des rotations au niveau de probabilité Pc = 95%
suivant les modèles probabilistes utilisés - modèle paramétrique (jaune), modèle non paramétrique
(rouge) et modèle mixte (bleue)La partie inférieure de la figure correspond à un zoom entre 2.2
et 3.1 s.
146

Effort tranchant (N)
Effort tranchant (N)
Effort tranchant (N)
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
x 104
8
(a)
−10
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
x 104
8
(b)
−12
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
x 104
8
(c)
−12
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
Fig. 4.33 – Graphes des domaines de confiance des efforts tranchants au niveau de probabilité
Pc = 95% : (a) modèle paramétrique - (b) modèle non paramétrique - (c) modèle mixte
147

Effort tranchant (N)
Effort tranchant (N)
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
x 104
8
Mixte
NonParam
Param
−12
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−12
x 104
8
Mixte
NonParam
Param
Modèle moyen
2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1
Temps (s)
Fig. 4.34 – Graphes des domaines de confiance des efforts tranchants au niveau de probabilité
Pc = 95% suivant les modèles probabilistes utilisés - modèle paramétrique (jaune), modèle non
paramétrique (rouge) et modèle mixte (bleue)-La partie inférieure de la figure correspond à un
zoom entre 2.2 et 3.1 s.
148

Ecart relatif maximal
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 0.5 1 1.5
Temps (s)
2 2.5 3
Fig. 4.35 – Comparaison de la sensibilité des modèles aux incertitudes : Graphes des écarts
relatifs entre la réponse du modèle moyen et l’enveloppe supérieure du domaine de confiance au
niveau de probabilité Pc = 95% pour le cas linéaire (trait épais bleu), pour le cas non linéaire
avec le modèle probabiliste non paramétrique (trait pointillé noir) et avec le modèle probabiliste
mixte (trait fin rouge).
149

Probabilité de ruine de la structure
Dans la prévention du risque sismique, on cherche souvent à estimer la probabilité de ruine
d’une structure soumise à un séisme. Ce paramètre qui dépend de l’accélération sismique, de
la résistance de la structure et de son environnement est essentiel pour aider à décider de
l’avenir d’un bâtiment. En réalisant une étude probabiliste, nous pouvons déterminer une estimation
de la probabilité de ruine de la structure de référence en fonction de l’amplification
de l’accélérogramme sismique utilisé. Rappelons, que pour le cas des bâtiments en portiques en
béton armé, avec ou sans remplissage en maçonnerie, nous avons identifié au chapitre 2 les points
faibles de la structure comme étant les extrémités des poteaux et des poutres des portiques. La
ruine dans ces zones potentiellement fragiles peut se produire soit par rupture du poteau par
cisaillement soit par rupture de la rotule plastique en dépassant la rotation ultime. Nous avons
déterminé dans le tableau 2.4 au paragraphe §2.3.4 les valeurs limites d’effort tranchant et de rotation
correspondant aux différents poteaux de la structure de référence. En faisant l’hypothèse
que la ruine d’un seul poteau suffit à causer la ruine de la structure, alors la probabilité de ruine
peut-être déterminée par la simulation numérique de Monte-Carlo en écrivant :
Pr(%) =
� NS
i=1 pi
NS
× 100 (4.128)
où pour chaque réalisation 0 < i ≤ NS,
�
1, si une valeur limite est dépassée (rotation ou cisaillement)
pi =
0, sinon.
(4.129)
En faisant varier l’amplification du signal sismique imposée à la structure de référence, nous
déterminons l’évolution de la probabilité de ruine en fonction de l’accélération sismique maximale
imposée (cf. fig. 4.36). La détermination de la probabilité de ruine par la simulation numérique
de Monte Carlo nécessite un grand nombre de réalisations pour atteindre de faibles probabilités
de ruine, ce qui implique un coût de calcul élevé surtout pour le système dynamique
non linéaire. Toutefois, pour le cas des bâtiments existants, nous pouvons nous contenter d’une
précision moindre dans le cadre d’un outil d’aide à la décision d’une politique de réévaluation de
bâtiments existants. Les résultats obtenus sont comparés aux valeurs d’accélérations maximales
déjà calculées avec la modélisation non linéaire déterministe en pushover (amax = 0.41g) et en
dynamique (amax = 0, 64g). Nous remarquons que la probabilité de ruine devient significative
pour une accélération maximale imposée égale à 0, 58g. Cette valeur se situe entre les deux
valeurs précédentes, ce qui montre que, d’une part la méthode du pushover reste conservative
par rapport à la résistance de la structure à un chargement sismique et d’autre part, la prise en
compte de l’incertitude réduit l’accélération admissible et fournit donc une sécurité par rapport
à la solution déterministe en dynamique non linéaire, en fonction de la plus ou moins bonne
connaissance de la structure étudiée.
150

Probabilité de ruine (%)
60
50
40
30
20
10
Pushover: a max = 0,41g
Dynamique: a max = 0,64g
0
0 0.115 0.23 0.345 0.46 0.575 0.69 0.805 0.92 1.035 1.15
Accélération maximale imposée (g)
Fig. 4.36 – Graphe de la probabilité de ruine en fonction de l’amplification de l’accélérogramme
imposée. Les valeurs d’accélérations limites calculées sur le modèle moyen par la méthode pushover
ainsi que par la calcul dynamique non linéaire ont été reportées
151

4.5 Conclusions
Dans ce chapitre, nous avons commencé par construire le modèle réduit moyen en dynamique
non linéaire en projetant le modèle moyen sur la base des modes propres linéaires de la structure.
Les nonlinéarités ont été introduites au moyen de ”forces nonlinéaires” appliquées au système,
en plus de l’excitation sismique. Nous avons validé le modèle réduit en comparant les résultats
obtenus avec ceux du modèle par éléments finis de la structure. Nous avons constaté que, pour
aboutir à un modèle réduit fiable en dynamique non linéaire, il est nécessaire de faire appel à des
modes localisés, de fréquences propres élevés, permettant de décrire avec précision la déformée
des éléments nonlinéaires. Ceci implique l’utilisation d’un nombre élevée de modes, sauf si on
peut sélectionner les modes associées aux éléments nonlinéaires et s’affranchir des autres modes
supérieurs. Une telle sélection fait partie des perspectives de ce travail de thèse.
A la base du modèle réduit moyen développé, nous avons construit un modèle probabiliste composé
de deux ”sous-modèles” probabilistes : un modèle non paramétrique appliqué aux matrices
généralisées de masse, d’amortissement et de rigidité, et un modèle paramétrique appliqué aux
paramètres de la loi non linéaire de Takeda. L’association des deux types de modèles permet
de tenir compte, à la fois des incertitudes de modélisation et des incertitudes paramétriques
sur les données de la loi de comportement non linéaire. Les résultats obtenus montrent que la
présence des nonlinéarités modifie la sensibilité de la modélisation aux incertitudes : alors que
le modèle est assez robuste aux incertitudes dans le cas dynamique linéaire, il s’avère beaucoup
plus sensible dans le cas dynamique non linéaire. Nous remarquons aussi que les incertitudes de
modélisation sont prédominantes par rapport aux incertitudes de données, mais ne suffisent pas à
décrire toute l’incertitude dans le système. Il est donc utile pour ce type de structure de combiner
l’approche paramétrique et l’approche non paramétrique afin d’obtenir un modèle probabiliste
mixte pouvant estimer correctement la propagation de l’incertitude dans la modélisation.
152

Conclusions et perspectives
Nous avons tenté au travers de cette étude de proposer une méthodologie pour l’estimation
de la résistance des bâtiments existants aux séismes. Compte tenu de la dépendance du comportement
d’une structure aux matériaux et au type d’éléments structuraux, une telle méthodologie
est nécessairement liée à un typologie de bâtiments donnée. De ce fait, nous avons focalisé notre
étude sur les structures à portiques en béton armé avec remplissage en maçonnerie. Ce choix
est motivé par la proportion importante de ce genre de structure dans l’ensemble du parc immobilier
construit entre 1945 et 1970, c’est à dire avant la mise en place des premières règles
parasismiques.
La méthodologie proposée se devait de répondre à deux contraintes : la première est le souci de
déterminer une évaluation réaliste du comportement de la structure au séisme, ce qui conduit à
étudier des états proches de la ruine et à s’affranchir des coefficients de sécurité réglementaires
appliquées pour la conception de bâtiments neufs. La deuxième contrainte est la présence d’une
multitude de sources d’incertitude dans les bâtiments existants. L’évolution de la structure dans
le temps implique une modification plus au moins profonde des caractéristiques des matériaux,
de l’état de fatigue des éléments structuraux, de la répartition des efforts, etc... Cet état actuel
de la structure peut-être identifié au moyen de certains essais, destructifs ou pas, qui restent
néanmoins localisées, lourds à mettre en place et entachés d’erreurs.
Pour répondre à ces deux contraintes, nous présentons dans ce travail dans une première approche
une modélisation déterministe nonlinéaire d’une structure de référence de type ”portiques
en béton armé avec remplissage”. Dans cette modélisation, l’approche locale-globale employée
a permis de relier les caractéristiques mécaniques des matériaux constitutifs au comportement
global de la structure. Les lois de comportement globales caractérisant les éléments structuraux
permettent des modélisations numériques plus simples de la structure du bâtiment, donc une
exploitation plus accessible. La prise en compte de la nonlinéarité des lois de comportement
permet de suivre l’évolution de la structure de manière plus réaliste qu’en utilisant les modèles
réglementaires.
Enfin, en déterminant les critères de ruine de la structure étudiée, nous avons développé un
modèle de prévision de la ruine dans la structure. Un tel modèle, en plus d’estimer la résistance
maximale de la structure avant la ruine, nous renseigne sur le scénario de la ruine (zone de la
première ruine, ordre successif de la ruine des poteaux) et de la source de la ruine (ruine par
rupture de la rotule plastique, ruine par cisaillement d’un poteau, ruine du mur de maçonnerie).
Ainsi, nous pouvons déterminer les zones les plus fragiles dans la structure et concevoir un
plan de renforcement. En faisant varier les caractéristiques des éléments structuraux dans ce
modèle, nous pouvons mesurer l’impact d’un renforcement d’un poteau, de la présence d’un
mur de maçonnerie sur la résistance globale du bâtiment. Les résultats obtenus montrent que
la résistance obtenue par une modélisation nonlinéaire est beaucoup plus importante que la
résistance estimée par les règlements parasismiques avec l’hypothèse d’un comportement linéaire
de la structure. Ceci montre que la structure garde une marge importante de résistance après
plastification, qui peut être suffisante pour la bonne tenue du bâtiment après séisme. Les résultats
montrent aussi la contribution non négligeable des murs en maçonnerie dans la capacité résistante
du bâtiment, mêmes après fissuration de la maçonnerie. La maçonnerie peut donc être prise en
compte dans la résistance sous sollicitation sismique du bâtiment.
153

La modélisation nonlinéaire déterministe, si précise soit elle, n’est pas suffisante pour estimer la
résistance du bâtiment au séisme à cause des incertitudes sur les paramètres du modèle. Nous
avons donc développé dans le cadre de ce travail, un modèle probabiliste pour tenir compte de
ces incertitudes. Le modèle nonlinéaire déterministe compose le modèle moyen sur lequel se base
le modèle probabiliste.
Nous avons d’abord présenté la modélisation probabiliste des incertitudes en dynamique linéaire.
Une approche probabiliste non paramétrique des incertitudes est utilisée pour le modèle proposé.
La modélisation non paramétrique permet de prendre en compte les incertitudes de modélisation
et de données. Un tel modèle permet de déterminer la propagation de l’incertitude dans la structure
et de mesurer la robustesse d’une modélisation face aux incertitudes. La mise en oeuvre
du modèle probabiliste et l’utilisation de la méthode numérique de Monte-Carlo comme solveur
numérique ont permis d’identifier des domaines de confiance caractérisant les efforts et les rotations
dans la structure et qui correspondent à un niveau de confiance donné. Une étude de
sensibilité vis-à-vis de la dispersion dans les matrices aléatoires généralisées de masse, de raideur
et d’amortissement a montré que la modélisation reste assez robuste aux incertitudes en
dynamique linéaire.
Dans le deuxième volet de l’étude probabiliste, nous avons développé un modèle probabiliste
des incertitudes en dynamique nonlinéaire. Le fait que les éléments susceptibles de plastifier
soient d’extension limitée nous conduit à prendre en compte l’effet des nonlinéarités au travers
d’”efforts nonlinéaires” appliqués au système dynamique et concernant seulement les DDLs des
éléments ”nonlinéaires”.
Moyennant ce formalisme, nous avons développé un modèle non paramétrique des incertitudes
sur la partie linéaire de la structure. Sur la partie nonlinéaire, un modèle probabiliste
paramétrique a été développé pour prendre en compte les incertitudes sur les paramètres de la
loi de comportement nonlinéaire. Nous avons ainsi conçu une modélisation mixte paramétriquenon
paramétrique des incertitudes.
Une telle modélisation permet, comme pour le cas de la dynamique linéaire, de déterminer des
domaines de confiance majorant les efforts, rotations ou spectres induits par la sollicitation
sismique et d’avoir une marge de sécurité par rapport à la réponse déterministe de la structure.
Nous avons aussi déterminé les probabilité de ruine de la structure à différents niveaux
d’accélération sismique. La probabilité de ruine varie rapidement avec l’accélération maximale
au delà de 0.8g.
Nous avons aussi utilisé indépendamment le modèle paramétrique et le modèle non paramétrique
pour évaluer la contribution de chaque source d’incertitude à l’incertitude sur la réponse stochastique.
Les résultats montrent que, bien que l’incertitude due à la modélisation non-paramétrique
soit souvent prédominante, les deux modèles restent complémentaires pour représenter l’ensemble
de la propagation de l’incertitude ; ceci renforce l’intérêt d’une modélisation mixte des
incertitudes.
De plus, nous avons montré que la modélisation est plus sensible aux incertitudes dans le cas de
la dynamique nonlinéaire que dans le cas de la dynamique linéaire. La modélisation est dans ce
cas moins robuste.
Le présent travail pourra donner lieu à de nouveau développements pour l’améliorer, le
compléter et l’enrichir. Une des perspectives possibles serait d’appliquer les modèles développés
à une structure testée expérimentalement. Des tests sur tables vibrantes par exemple permettraient
de fournir une estimation de la réponse moyenne de la structure et de déterminer le
niveau de dispersion pour le quel la modélisation non paramétrique permet de contenir la dispersion
des résultats expérimentaux.
Une optimisation du nombre de modes nécessaire à la convergence du modèle moyen nonlinéaire
pourrait aussi être réalisée. En effet, les modes supérieurs nécessaires à la conver-
154

gence n’interviennent que pour bien décrire la déformée des éléments nonlinéaires. Il s’agirait
donc de sélectionner, parmi tous les modes de rang élevé, les quelques modes spécifiques aux
éléments nonlinéaires traités. Cette optimisation réduira considérablement le coût en calcul d’une
réalisation aléatoire et permettra donc des simulations de Monte-Carlo à plus grande échelle.
Dans la partie probabiliste de ce travail, nous nous sommes contentés de modéliser la structure
en portiques sans murs en maçonnerie. Le modèle de la maçonnerie étant un modèle nonlinéaire,
il requiert la conception d’un deuxième modèle paramétrique. Une autre perspective serait d’enrichir
le modèle avec un ou plusieurs modèles paramétriques représentant d’autres éléments
nonlinéaires de la structure. Le modèle probabiliste pourrait être ainsi étendu à la modélisation
d’autres structures plus complexes et à d’autres typologies. Enfin, il serait intéressant de relier
les incertitudes sur les caractéristiques mécaniques et physiques des matériaux, ou d’éléments
structuraux, aux incertitudes dans les matrices aléatoires généralisées, caractérisées par les paramètres
de dispersion de ces matrices.
155

156

Bibliographie
[1] Arede A. Seismic assessement of reinforced concrete frame structures with a new flexibility
based element. PhD thesis, Universidade do Porto, 1997.
[2] BAEL91. Régles techniques de conception et de calcul des ouvrages et constructions en
béton armé suivant la méthode des états ultimes, 1997.
[3] Bathe K.J. and Wilson L.E. Numerical methods in finite element analysis. Prentice Hall,
Inc, 1997.
[4] Bazzurro P., Cornell C.A., Shome N., and Carballo J.E. Three proposals for characterizing
mdof nonlinear seismic response. Journal of Structural Engineering, 124(11) :1281–1289,
1998.
[5] Bisch P. and Coin A. The CAMUS research. In Balkema, editor, Proceedings of the 11 th
European Conference on Earthquake Engineering XI-ECEE, page 150, Paris-La Défense,
France, 1998.
[6] Bouwkamp J., Gomez S., Pinto A.V., Molina J., Varum H., and Verzeletti G. Cyclic tests on
a reinforeced concrete frame retrofitted with k-bracing and shear-link dissipator, decembre
2001. Seismic assessment strengthening and repair of structures, Report N ◦ 2.
[7] Bracci J.M., Kunnath S.K., and Reinhorn A.M. Seismic performance and retrofit evaluation
of reinforced concrete strctures. ASCE Journal of Structural Engineering, pages 3–10,
janvier 1997.
[8] Buczkowski R. and Kleiber M. A stochastic model of rough surfaces for finite element
contact. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 169(1-2) :43–59, 1999.
[9] Capiez-Lernout E. Dynamique des structures tournantes à symétrie cyclique en présence
d’incertitudes aléatoires. Application au désaccordage des roues aubagées. PhD thesis, Université
de Marne-la-Vallée, Octobre 2004.
[10] Carvalho E.C. and Coelho E. Numerical investigations on the seismic response of R.C.
infilled frames designed in accordance with Eurocode 8, septembre 1997. Report N ◦ 6.
[11] Casciati F., Grigoriu M., Der Kiureghian A., Wen Y.K., and Vrouwenvelder T. Report of
the working group on dynamics. Structural Safety, 19 :271–282, 1997.
[12] Chen C., Duhamel H., and Soize C. Probabilistic approach for model and data uncertainties
and its experimental identification in structural dynamics : Case of composite sandwich
panels. Journal of Sound ans Vibration, 294(1-2) :64–81, 2006.
[13] Ching J. and Hsieh Y.H. Local estimation of failure probabilty function and its confidence
interval with maximum entropy principle. Probabilistic Engineering Mechanics, 22 :39–40,
2006.
[14] Clough R.W. and Penzien J. Dynamics of structures. McGRAW-HILL, Inc, 1993.
[15] Colangelo F., Giannini R., and Pinto P.E. Seismic reliability analysis of reinforced concrete
structures with stochastic properties. Structural Safety, 8(2-3) :151–168, 1996.
[16] Combescure D. Modélisation des structures de génie civil sous chargement sismique à l’aide
de CASTEM2000. Rapport DM2S SEMT/EMSI/RT/01-008/A.
157

[17] Combescure D. Modélisation du comportement sous chargement sismique des structures de
bâtiment comportant des murs de remplissage en maçonnerie. PhD thesis, Ecole Centrale
de Paris, 1996.
[18] Combescure D., Gueguen P., and Lebrun B. Vulnérabilité sismique du bâti existant :
Approche d’ensemble. Cahier Technique 25, AFPS, 2005.
[19] Combescure D. and Pegon P. Application of the local-to-global approach to the study of infilled
frames structures under seismic loading. Nuclear Engineering and Design, 196(1) :17–
40, 2000.
[20] Comité Euro-international du Béton. CEB-FIP : Reinforced concrete infilled frames.
[21] Comité Euro-international du Béton. CEB-FIP model code 1990, juillet 1991. Bulletin
d’information N ◦ 203 Final draft.
[22] Comité Européen de Normalisation (CEN). EUROCODE 8 : Design of structures for
earthquake resistance. part 3 : Strengthening and repair of buildings, 2003.
[23] Commission de Normalisation Parasismique (BNTB CN/PS). Régles de constructions parasismique,
régles PS applicables aux bâtiments - PS92, 1998.
[24] Cornell C.A., Jalayer F., Hamburger R.O., and Foutch D.A. Probabilistic basis for 2000
SAC/FEMA steel moment frame guidelines. ASCE Journal of Engineering Mechanics,
128(4) :526–533, 2002.
[25] Crisafulli F.J. Seismic behaviour of reinforced concrete structures with masonry infills. PhD
thesis, University of Canterbury, juillet 1997.
[26] Cruz Diaz J.I. Etude des murs de contreventement en maçonnerie d’éléments de terre cuite.
PhD thesis, Université de Marne-la-Vallée, juillet 2002.
[27] Cruz Diaz J.I., Sellier A., Capra B., Delmotte P., Rivillon P., and Mebarki A. Etude des
murs de contreventement en maçonnerie d’éléments de terre cuite à joints verticaux secs.
Les Cahiers du CSTB 3199, CSTB, Paris, 2000.
[28] Davenne L. Analysis of seismic response of reinforced concrete frames with macro-elements.
In Balkema, editor, Proceedings of the 11 th European Conference on Earthquake Engineering
XI-ECEE, page 247, Paris-La Défense, France, 1998.
[29] Delmotte P., Rivillon P., Wesierski V., and Hurez M. Etudes des murs de contreventement
en maçonnerie de blocs creux en béton. Les Cahiers du CSTB 3491, CSTB, Paris, 2003.
[30] Der Kiureghian A. Structural reliability methods for seismic safety assessment : a review.
Engineering Structures, 18(6) :412–424, 1996.
[31] Der Kiureghian A. The geometry of random vibrations and solutions by FORM and SORM.
Probabilistic Engineering Mechanics, 15(1) :81–90, 2000.
[32] Darkessian T. Der Kiureghian A. Multiple design points in first and second order reliability.
[33] Desceliers C. and Soize C. Modèle mixte non paramétrique-paramétrique des incertitudes en
dynamique non linéaire transitoire d’un circuit primaire principal. Contrat d’association :
EDF/laboratoire de mécanique, Laboratoire de Mécanique-Université de Marne-la-Vallée,
Décembre 2002.
[34] Desceliers C., Soize C., and Cambier S. Non-parametric model for random uncertainties in
non-linear structural dynamics : application to earthquake engineering. Earthquake Engineering
and Structural Dynamics, 33(3) :315–327, 2004.
[35] Doudoumi I.N. and Mitsopoulou E.N. Analytical modelling of infill panels inelastic macroelements
with contact conditions. In Balkema, editor, Proceedings of the 11 th European
Conference on Earthquake Engineering XI-ECEE, page 250, Paris-La Défense, France, 1998.
[36] Duchereau J. Modélisation non paramétrique des incertitudes en dynamique transitoire des
systèmes complexes avec incertitudes non homogènes. PhD thesis, Conservatoire National
d’Arts et Métiers, 2003.
158

[37] Durrani A.J. and Luo Y.H. Seismic retrofit of flat slab buildings wih masonry infill, NCEER
workshop on seismic response of masonry infills. San Francisco, 1994.
[38] Elachachi S.M. Sur l’élaboration d’une méthode simplifiée d’analyse des structures de génie
civil par macro-éléments adaptés aux constructions composites et endommageables. PhD
thesis, Université Paris VI, 1992.
[39] Fajfar P. and Drobnic D. Non-linear seismic analyses of the «ELSA» buildings. In Balkema,
editor, Proceedings of the 11 th European Conference on Earthquake Engineering XI-ECEE,
page 254, Paris-La Défense, France, 1998.
[40] Fardis M.N. Experimental and numerical investigations on the seismic response of RC
infilled frames and recommandations for code provisions, novembre 1996. Report N ◦ 6.
[41] Fardis M.N., Economu S.N., Antoniou A.N., Komodromos P.J., and Sfakianakis M.G. Damage
measures and failure criteria - part 1, contribution of the University of Patras, final
research on the seismic response of reinforced concrete structures - 2 nd , novembre 1994.
LNEC.
[42] Federal Emergency Management Agency. FEMA274 : NEHRP commentary on the guidelines
for the seismic rehabilitation of buildings, Octobre 1997.
[43] Federal Emergency Management Agency. FEMA356 : Prestandard and commentary for
the seismic rehabilitation of buildings, Novembre 2000.
[44] Fouré B. Résistance des recouvrements d’armatures tendues dans les poteaux en béton sous
sollicitations simiques, décembre 1998.
[45] Gancheva R., Mihalkov A., Nikolov A., and Andreev M. Hysteresis behaviour in tests of
masonry infilled frames. In Balkema, editor, Proceedings of the 11 th European Conference
on Earthquake Engineering XI-ECEE, page 171, Paris-La Défense, France, 1998.
[46] Gostic S. and Zarnic R. Small scale testing of two storey-two bay R/C frames with masonry.
In Balkema, editor, Proceedings of the 11 th European Conference on Earthquake Engineering
XI-ECEE, page 175, Paris-La Défense, France, 1998.
[47] Géradin C. and Rixen D. Théorie des vibrations. Masson, 1993.
[48] Guedes J., Pegon P., and Pinto A.V. A fibre timoshenko beam element in CASTEM2000,
juillet 1994. Special Publication N ◦ I.94.31.
[49] Gupsta S. and Manohar C.S. An improved response surface method for the determination
of failure probability and importance measures. Structural Safety, 26 :123–139, 2004.
[50] Hamza S., Bonnet G., and Delmotte P. Deterministic and stochastic approach in estimating
the reliability of civil-engineering structures submitted to earthquakes. In Proceedings of
the 6 T h European Conference on Structural Dynamics, volume 2, pages 791–796. Univertity
of Marne-la-Vallée, september 2005.
[51] Jayne E. Information theory and statistical mechanics. Physical Review, 106(4) :620–630,
1957.
[52] Jayne E. Information theory and statistical mechanics. Physical Review, 108(2) :171–190,
1957.
[53] Kapur J.N. and Kesavan H.K. Entropy optimization principles with applications. Academic
Press, Inc, 1992.
[54] Khuri A.I. and Cornell J.A. Response surface methodology : design and analysis. Marcel
ans Dekker, 1997.
[55] King G.J.W and Pandey P.C. The analysis of infilled frames using finite elements. In
Proceedings of the Institution of Civil Engineers, number 65, pages 749–760, 1978.
[56] Klinger R.E. and Bertero V.V. Earthquake resistance of infilled frames. ASCE Journal of
the Structural Division, 6(104) :973–989, 1978.
159

[57] Laborderie C. Phénomènes unilatéraux dans un matériau endommageable : modélisation et
application à l’analyse de structures en béton. PhD thesis, Université de Paris 6, 1991.
[58] Litton R.W. A contribution to the analysis of concrete structures under cyclic loading. PhD
thesis, University of California, Berkley, 1975.
[59] Lotfi H.R. and Shing P.B. An appraisal of smeared crack for masonry shear wall analysis.
Computer and Structures, 3(41) :413–425, 1991.
[60] Lupoi G., Franchin P., Lupoi A., and Pinto P.E. Seismic fragility analysis of structural
systems. ASCE Journal of Engineering Mechanics, 132, 2006.
[61] Madelaigue C. Renforcement du bâti existant en zone sismique. PhD thesis, Université
Paris VI, 1987.
[62] Mainstone R.J. On the stiffness and strength of infilled frames. pages 57–90. Proceedings
of the Institution of Civil Engineers, 1971. Suppl. IV paper 7360S.
[63] Mallick D.V. and Severn R.T. Dynamic characteristics of infilled frames. Proceedings of
the Institution of Civil Engineers, (39) :261–287, 1968.
[64] Mazars J. Application de la mécanique de l’endommagement au comportement nonlinéaire
et à la rupture du Béton de structure. PhD thesis, Université de Paris 6, 1984.
[65] Menegotto M. and Pinto P. Method of analysis for cyclically loaded reinforced concrete
plane frames including changes in geometry and non-elastic behaviour of elements under
combined normal force and bending. In Symposium on resistance and ultimate deformability
of structures acted on by well-defined repeated loads, Lisbon, 1973. IABSE.
[66] Mochio T., Samaras E.,, and Shinozuka M. Stochastic equivalent linearization for finiteelement.
In 4th International Conference on Structural Safety and Reliability, volume 1,
1985.
[67] Otani A. Inelastic analysis of R/C frame structures. ASCE Journal of the Structural
Division, 7(100) :1433–1449, 1971.
[68] Ottosen N.S. Constitutive model for short-time loading of concrete. ASCE Journal of
Engineering Mechanics, 105, 1979.
[69] Park Y.J. and Ang A.M.S. Mechanistic seismic damage model of reinforced concrete. ASCE
Journal of Structural Engineering, (111) :722–739, 1985.
[70] Pauley T. and Priestley M.J.N. Seismic design of concrete and masonry buildings. John
Wiley & Sons, Inc, 1992.
[71] Pegon P. A Timoshenko simple beam element in CASTEM2000, janvier 1993. Technical
Note N ◦ I.93.05.
[72] Pinto, A.V., Molina J., Varum H., Verzeletti G., Coelho E., and Carvallo E.C. Tests on a fullscale
model of existing reinforced concrete frames (infilled and strengthened with shotcrete),
decembre 2001. Seismic assessment strengthening and repair of structures, Report N ◦ 2.
[73] Pinto P.E. Reliability methods in earthquake engineering. Progress in Structural Engineering
and Materials, 3(1) :76–85, 2001.
[74] RGCU. Programme Réseau Génie Civil et Urbain sur le renforcement parasismique du bâti
existant. Technical report, 2004.
[75] Ridell R. and Newmark N.M. Force-deformation models for nonlinear analysis. ASCE
Journal of the Structural Divison, ST12(105) :2773–2778, 1979.
[76] Risk-UE. An advanced approach to earthquake risk scenarios with applications to different
european towns - WP4 : Vulnerability of current buildings. Technical report, septembre
2003.
[77] Roberts J.B. and Spanos P.D. Random vibrations and statistical linearization. John Wiley
and sons, 1990.
160

[78] Saatcioglou M. In Steel frames with brickwork and concrete infilling, 1961.
[79] Sakji S., Soize C., and Heck J.V. Thermo-mechanical modelling of plasterboard lined
partition submitted to fire load. In 17th Analysis and Computation Specialty Conference,
2006.
[80] Schotanus M.I.J., Franchin P., Lupoi A., and Pinto P.E. Seismic fragility analysis of 3D
structures. Structural Safety, 26(4) :421–441, 2004.
[81] Schueller G.I. Computational stochastic mechanics - recent advances. Computers and
Structures, 79(22-25) :2225–2234, 2001.
[82] Sellier A. Modélisations probabilistes du comportement de matériaux et de structures en
génie civil. PhD thesis, Ecole Normale Supérieure de Cachan, 1995.
[83] Shannon C. A mathematical theory of communication. Bell System Technology Journal,
pages 379–423 and 623–659, 1948.
[84] Smith B.S. A method of analysis for infilled frame. ICE, 1969.
[85] Soize C. Méthodes mathématiques en analyse du signal. Masson, 1993.
[86] Soize C. Dynamique des structures. Prentice Hall, Inc, 1997.
[87] Soize C. A nonparametric model of random uncertainties for reduced matrix models in
structural dynamics. Probabilistic Engineering Mechanics, 15(3) :277–294, 2000.
[88] Soize C. Maximum entropy approach for modeling random uncertainties in transient elastodynamics.
Journal of the Acoustical Society of America, 109(5) :1979–1996, 2001.
[89] Soize C. Nonlinear dynamical systems with nonparametric model of random uncertainties.
e-journal from Resonance Publications (http ://www.resonancepub.com), 1(1) :1–38, 2001.
[90] Soize C. Uncertain dynamical systems in the medium-frequency range. ASCE Journal of
Engineering Mechanics, 9(129) :1017–1027, 2003.
[91] Soize C. Random matrix theory for modeling uncertainties in computational mechanics.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 12-16(194) :1333–1366, 2005.
[92] Soize C. and Chebli H. Random uncertainties model in dynamic substructuring using a nonparametric
probabilistic model. ASCE Journal of Engineering Mechanics, 129 :449–457,
2003.
[93] Syrmakezis C.A. and Vratsanou V.Y. Influence of infill walls to RC frames response. In
Proceedings of the 8 th European Conference on Earthquake Engineering, volume 3, pages
6.5/47–53, Lisbon, 1986.
[94] Takeda T., Sozen M.A., and Nielsen N.N. Reinforced concrete response to simulated earthquakes.
ASCE Journal of the Structural Division, 96(12), 1970.
[95] Timothy H.J. and Wen Y.K. Response surface method for time-variant reliability analysis.
Journal of Structural Engineering, 122(2) :193–198, 1996.
[96] Vita F. Seismic behaviour of infilled RC frames using non linear modelling - identification
of the equivalent strut and interactions with the RC frame, 2001. Rapport
SEMT/EMSI/RT/01-062/A.
[97] Wang M.L. and Shah S.P. Reinforced concrete hysteresis model on the damage concept.
Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 8(15) :993–1003, 1987.
[98] Wen Y.K. and Kwei Y. Method for random vibration of hysteretic systems. ASCE Journal
of Engineering Mechanics Division, 102(2) :249–263, 1976.
[99] Zienkiewicz O.C. and Taylor R.L. The finite element method, volume 2. McGRAW-HILL
Book Company, 1991.
161

162

Annexe A
Définition de l’élément fini de type
Timoshenko
A.1 Représentation de l’élément Timo en calcul linéaire
L’élément de référence choisi pour représenter les éléments nonlinéaires dans le modèle
déterministe de la structure complète, est l’élément de poutre de Timoshenko implanté dans
Cast3m. L’élément vérifie les hypothèses de Timoshenko, à savoir : les sections planes restent
planes mais pas obligatoirement perpendiculaires à la fibre moyenne. Les déformations au cisaillement
sont donc prises en compte d’où l’utilité de cet élément pour représenter les éléments
soumis à un effort tranchant important.
L’élément Timo de Cast3m est un élément linéaire à 2 noeuds avec un seul point de Gauss placé
au centre. Les fonctions de forme de l’élément sont de degré 1 pour les rotations, les déplacements
transverses et le déplacement axial ; et constantes pour les rotations, les déformations de cisaillement
et l’allongement axial. L’élément est ”sous-intégré” pour éviter le blocage en cisaillement.
En représentation linéaire, le déplacement dans l’élément U(x) = (Ux, Uy, Uz) peut s’écrire sous
la forme :
U(x) = N 1 (x)U 1 + N 2 (x)U 2
où U 1 et U 2 sont les déplacement nodaux de l’élément de longueur L et N 1 et N 2 les fonctions
de forme telles que :
N 1 (x) = x2 − x
L ;
N 2 (x) =
De même pour les rotations qu’on peut écrire :
x − x1
L .
Θ(x) = N 1 (x)Θ 1 + N 2 (x)Θ 2
; où Θ 1 et Θ 2 sont les rotations nodales.
En écrivant le principe des travaux virtuels pour l’élément, nous pouvons déduire la matrice
de raideur de l’élément, liant les rotations et les déplacements nodaux aux forces et moment
nodaux :e :
K e .U = F e
163

K e 2
EA
0 0 0 0 0 − L
6
= 6
4
EA
0 0 0 0 0
L
GAy
GAy
0
0 0 0
0 − L 2 GAy
GAy
0 0 0
L 2
GAz
0 0
0 − L GAz
0 0 0 − 2 GAz 0 − L GAz
0
2
GJx
0 0 0
0 0 0 0 0 − L GJx 0 0
L
0 0 − GAz
0 − 2 EIy LGAz
GAz
+ 0 0 0
0 − L 4 2 EIy GAz
+ L 0
L 4
GAy
EIz LGAy
0
0 0 0
+ 0 − 2 L 4 GAy
0 0 0 − 2 EIz GAy
+ L L 4
− EA
EA
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
L L
0 − GAy
0 0 0 − L GAy
GAy
0
0 0 0 − 2
L GAy
2
0 0 − GAz
GAz
GAz
GAz
0
0 0 0
0
0
L
2 L
2
0 0 0 − GJx
GJx
0 0 0 0 0
0 0
L L
0 0 − GAz
0 − 2 EIy LGAz
GAz
EIy GAz
+ 0 0 0
0 + L 0
L 4 2
L 4
GAy
0
0 0 0 − 2 EIz LGAy
+ 0 − L 4 GAy
EIz GAy
0 0 0
+ L 2 L 4
A.2 Représentation de l’élément Timo en calcul nonlinéaire
La procédure nonlinéaire qui traduit la loi de comportement de l’élément ”Timo” suivant la
loi de Takeda permet de calculer les ”forces nonlinéaires” aux points de Gauss de la structure
en fonction des déformations de l’élément (εx, εy, εz, γxy, γxz et γyz). Les forces nodales sont
ensuite calculées à partir de ces forces internes en utilisant les transformations suivantes :
M 1 x = Mx(G)
M 1 y = My(G) − H/2.Tz(G)
M 1 z = Mz(G) + H/2.Ty(G)
F 1 x = Nx(G)
F 1 y,z = Ty,z(G)
M 2 x = −Mx(G)
M 2 y = −(My(G) − H/2.Tz(G))
M 2 z = −(Mz(G) + H/2.Ty(G))
F 2 x = −Nx(G)
F 2 y,z = −Ty,z(G)
En implémentant la procédure Takeda et en reliant les forces internes aux forces modales, il
est possible d’observer un comportement nonlinéaire sur l’élément TIMO.
A.3 Validation de l’élément Timo
La vérification et la validation de l’élément Timo implémenté a été faite en considérant deux
cas :
– 1 seul élément : différents cas de chargement ont été testés : noeud encastré et noeud
soumis à un déplacement, puis à une rotation ; force appliquée aux noeuds. Les résultats
obtenus sont proches de ceux obtenus en utilisant Cast3m.
– une poutre discrétisée en plusieurs éléments : ceci nous permet les assemblages des matrices
et des vecteurs forces et déplacements. La figure A.1 montre une correspondance parfaite
entre le calcul Castem et le calcul matlab dans le cas d’un chargement dynamique imposé.
164
3
7
5

T
x 104
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Fig. A.1 – Courbes effort tranchant-déplacement en tête sous chargement cyclique : comparaison
entre les résultats du calcul Castem et du calcul du modèle programmé dans Matlab.
165

Résumé : Les codes parasismiques actuels sont élaborés essentiellement pour prévenir le risque
sismique dans les constructions neuves. Ces codes étant assez récents, une grande part du parc
immobilier n’est donc pas conforme aux règles parasismiques. De plus, la méconnaissance des
caractéristiques mécaniques des bâtiments existants rend ces données entachées d’incertitudes
plus ou moins grandes. Le présent travail propose une méthodologie d’étude des bâtiments existants
pour estimer leur résistance aux séismes jusqu’à la ruine. La méthodologie est appliquée
au cas particulier des bâtiments à portiques en béton armé. Elle tient compte d’une part du
comportement non linéaire de certains éléments structuraux et de leurs états de ruine, d’autre
part, des incertitudes liées aux caractéristiques du bâtiment par un modèle probabiliste. L’étude
est menée sur une structure de référence discrétisée par éléments finis. Ses propriétés physiques
sont définies par une approche d’ingénierie standard. Le comportement sous chargement monotone
puis sismique est étudié ainsi que la ruine de la structure. Le modèle discrétisé sert ensuite
de modèle moyen pour le modèle probabiliste développé par la suite. La modélisation non paramétrique
des incertitudes est utilisée pour construire ce modèle dans le cas de la dynamique
linéaire. Le modèle est étendu à la dynamique non-linéaire par une approche mixte, paramétrique
- non paramétrique. Les différents modèles sont mis en oeuvre numériquement et appliqués à
la structure de référence pour évaluer l’incidence des incertitudes sur la réponse de la structure
aux séismes. Une étude de sensibilité aux incertitudes et à leurs sources (paramétrique ou non
paramétrique) permet de caractériser la robustesse de la modélisation.
Title : Probabilistic analysis of the seismic reliability of existing building : application to reinforced
concrete frame structure
Abstract : The civil engineering structures contain many sources of uncertainties, specially for
the ageing ones, for which there is lake of data about the initial conditions and the evolution
of the material properties in time. Earthquake regulations propose for that kind of buildings
to proceed either with linear and nonlinear analysis to evaluate their resistance. This research
aims to propose a methodology to estimate the reliability of a R/C frame structure under
earthquake, taking into account the non linear behavior of the materials and the uncertainties
in the dynamic system. The mean model is based on a a nonlinear finite element modelling
of the structure. This FEM modelling allows to completely identify the failure mode into the
structure : kind, cause, order... A stochastic linear analysis is made using the non parametric
model applied to the reduced matrices of mass, stiffness and damping of the mean model and a
Monte Carlo procedure. The random nonlinear behavior is then, treated by developing a mixed
probabilistic model, combining a non parametric model applied on the reduced dynamic system
and representing the linear part of the structure ; and a parametric model applied on the plastic
localised parts of the structural element, representing the nonlinear part. Taking into account the
effects of randomness in the nonlinearities allows us, on the one hand, to estimate the sensitivity
of the structure to linear uncertainties in the case of a nonlinear behavior ; and on another hand,
to compare this sensitivity to the linear and nonlinear uncertainties.
Discipline : Mécanique
Mots-clés : dynamique des structures, lois de comportement nonlinéaire, génie parasismique,
incertitudes aléatoires, approche locale-globale, modèle probabiliste paramétrique-non
paramétrique
Laboratoire : Laboratoire de Mécanique (LaM EA2545), Université de Marne-la-Vallée
5 boulevard Descartes, 77454 Marne-la-Vallée Cedex 04
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