Matlab Hogyan - Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék

4. FEJEZET. NEMLINEÁRIS FELADATOK 19
banan.eps
4.2. ábra. A banánfüggvény, az iteráció kiindulópontja (piros csillag) és a megtalált minimumhely (sárga
csillag).
eljárást ilyen célra. Legyen adva ugyanis az alábbi nemlineáris egyenletrendszer:
F 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0,
F 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0,
.
F n (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0.
Ha most valamilyen (x 0 1, x 0 2, . . . , x 0 n) értékeket behelyettesítünk a fenti egyenletbe, nyilván nem fog teljesülni,
hanem valamilyen nemnulla hiba lesz az eredmény: F i (x 0 1 , x0 2 , . . . , x0 n ) = r i. Ezek után a fenti egyenlet zérushelyének
koordinátáira igaz lesz, hogy
R(x 1 , x 2 , . . . , x n ) =
n∑
ri 2
i=1
= Min! = 0.
Példaként tekintsük az alábbi differenciálegyenlet rendszert (DER), mely egy sorbakapcsolt ventillátor, cső,
tartály és fojtás dinamikus viselkedését írja le:
d
dt Q
d
dt ∆p
= f(Q) − ∆p = F 1(Q, ∆p)
= Q − a√ ∆p = F 2 (Q, ∆p),
ahol a ventillátor jelleggörbéjét a
f(Q) = 0.27 + 0.18
(1 + 3 2 (4Q − 1) − 1 )
2 (4Q − 1)3
(4.1)
függvény írja le. Ki szeretnénk számolni a DER egyensúlyi helyzeteit, melyekben a rendszer nyugalomban van,
azaz minden változó idő szerinti deriváltja zérus. Tehát meg kell keresnünk az F 1 (Q, ∆p) = 0, F 2 (Q, ∆p) = 0
nemlineáris egyenletrendszer megoldásait. Grafikailag a megoldást a ventillátor jelleggörbe ∆p v = f(Q)
és a fojtás jelleggörbe ∆p f = 1
a
Q 2 metszéspontja adja. A kapcsolódó Matlab program ventillator.m
2
közvetlenül a nemlineáris egyenletrendszert oldja meg az előzőekben leírt séma szerint.