Matlab Hogyan - Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék

9. FEJEZET. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK (ODE) MEGOLDÁSA 33
function dydt = f(t,y,mu)
dydt = [ y(2)
-sqrt(y(1)*y(2))];
9.1.2. Egy merev feladat: a Van der Pol egyenlet
Balthazar van der Pool 1927-ben egy vákuumcsövet tartalmazó egyszerű áramkör vizsgálata közben időnként
zajokat figyelt meg. Az áramkört modellező egyenlet
ẍ + µ ( x 2 − 1 ) ẋ + x = 0
valóban öngerjesztett rezgéseket mutat bizonyos µ paramétertartományokban (ami meglepő volt, hiszen
explicit időfüggés nincs az egyenletekben, azaz senki sem ’rázza’ a rendszert). Hogy a numerikus megoldót
használni tudjuk, először Cauchy átírással elsőrendű rendszerré alakítjuk az y 1 = x és y 2 = ẋ új változók
segítségével, amivel az egyenlet az
) (
)
(ẏ1
y
=
2
ẏ 2 µ ( )
1 − y1
2 y2 − y 1
alakot ölti. A (van der Pol.m) példaprogramban átállítjuk a relatív hibát 10 −4 -re és az ode15s megoldót
használjuk, mert a feladat merev (gyors-lassú mozgást végez a rendszer).
van der Pol.m
function van_der_Pol(mu)
options = odeset(’RelTol’,1e-4);
[t,y] = ode15s(@vdp,[0 3000],[2; 0],options,mu);
plot(t,y(:,1));
xlabel(’t’); ylabel(’y_1’);
title([’van der Pol egyenlet, \mu=’,num2str(mu)]);
function dydt = vdp(t,y,mu)
dydt = [ y(2)
mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
9.1.3. Eseménykezelés: vízcsepp alakja
A csapból lassan kifolyó vízcsepp y(x) alakját a
y ′′
(1 + y ′2 ) + y ′
3/2 x (1 + y ′2 ) = 1/2 2y′′ (0) − ρg
σ y
egyenlet írja le, ahol σ a felületi feszültség, ρ a folyadék sűrűsége. Az egyenletet numerikus célokra átírva
kapjuk a