Matlab Hogyan - Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék

9. FEJEZET. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK (ODE) MEGOLDÁSA 36
de pl. ilyenre vezet periodikus megoldások keresése is, de ekkor a peremfeltétel egy ismeretlen x = T helyen
van. Ilyenkor a T ismeretlen periódussal átskálázzuk az x változót és így már jól definiált a feladat:
y ′ (x) = T F (x, y) ahol y(0) = y(1),
és még egy peremfeltételt elő kell írni T szabad paraméter miatt, ami általában a fázisra vonatkozik.
9.2.1. Couette áramlás sebességgradienssel
Két síklap közötti lamináris, stacioner áramlást leírja az
∂p
∂x = µ ∂2 v
∂y 2 ,
egyenlet, ahol a x a hosszirányú, y a keresztirányú koordináta. Ha a ∂p
∂x
nyomásgradiens konstans, a fenti
egyenlet zárt alakban megoldható. Két speciális eset a Poiseuille-áramlás (mindkét lap áll és a nyomásgradiens
nemzérus, ekkor a sebességeloszlás parabolikus) és a Couette-áramlás (ekkor az egyik lap mozog, nincs
nyomásgradiens, a sebességprofil pedig lineáris). Ha van nyomásgradiens és a felső lap is mozog, akkor is
megoldható a feladat zárt alakban, a sebességprofil egy ’ferde tengelyű’ parabola. Ha a két lap távolsága
h = 1m, az mozgó fal sebessége v 0 = 2m/s és az áramló közeg víz, akkor mivel Re = vh/ν ≈ 10 3 , az áramlás
még a lamináris tartományban van. A probléma peremértékfeladatként megfogalmazva:
y ′ 1 = y 2
y ′ 2 = 1
ρ ν
a tapadás törvénye miatt a peremfeltételek pedig az y(0) = 0 és y(1) = v 0 alakot öltik. A Matlab program
így néz ki :
∂p
∂x ,
function couette
couette.m
global P v0 nu
P = -0.01; v0 = 2; nu = 0.001;
% Megoldas inicializalasa:
solinit=bvpinit(linspace(0,1,10),@mat4init);
% Megoldo hivasa:
sol=bvp4c(@mat4ode,@mat4bc,solinit);
% Eredmenyek interpolalasa:
xint = linspace(0,1,100);
Sxint = deval(sol,xint);
% Szinezes csusztatofeszultseg szerint:
tau_max=max(Sxint(2,:));
tau_min=min(Sxint(2,:));
for i=1:length(Sxint(1,:))
szin=(Sxint(2,i)-tau_min)/(tau_max-tau_min);
plot(Sxint(1,i),xint(i),’+’,’MarkerEdgeColor’,[szin 0.5*szin 0.75-0.5*szin]);