Matlab Hogyan - Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék

9. fejezet
Közönséges differenciálegyenletek
(ODE) megoldása
Amennyiben közönséges differenciálegyenleteket szeretnénk numerikusan megoldani, az első lépés mindenképpen
az, hogy elsőrendű alakra kell átírni az ún. Cauchy-átírással. Ez általánosan úgy történik, hogy ha adva van
a
d (n) z
(
)
dx n = G x; z (n−1) , z (n−2) , . . . , z
függvény, akkor új változókat vezetünk be: y 1 = z, y 2 = z ′ = z (1) , y 3 = z ′′ = z (2) ,...,, y n−1 = z (n−1) . Így
megoldandó a
⎛ ⎞ ⎛
⎞
y 1 F 1 (x; y 1 , y 2 , . . . , y n )
d
y 2
⎜ ⎟
dx ⎝ . ⎠ = F 2 (x; y 1 , y 2 , . . . , y n )
⎜
⎟
⎝ . ⎠
y n F n (x; y 1 , y 2 , . . . , y n )
közönséges differenciálegyenlet rendszer (a Cauchy-átírás a példákon keresztül könyebben megérthető). Kezdeti
érték feladatról beszélünk, ha az y(x 0 ) = ( y 0 1 , y0 2 , . . . , y0 n)
kezdeti értékből kiindulva kíváncsiak vagyunk
y(x 1 ) értékére. Peremérték feladatról beszélünk, ha y(x 0 ) mellett elő van írva y(x 1 ) is, ekkor azonban a megoldás
létezéséhez általában meg kell adni a DE-ben egy szabad paramétert is. A DE jobb oldalához tartozó
Jacobi mátrix elemeit következőképpen számíthatjuk:
J ij = ∂F i(x; y 1 , y 2 , . . . , y n )
∂y j
ahol i, j = 1 . . . n.
9.1. Kezdeti érték feladatok (IVP)
A megoldó szintaktikája a következő:
[t,y] = megoldó(odefun,tspan,y0,options)
ahol megoldó a numerikus módszert jelöli, odefun a DE jobb oldalát meghatározó függvényt, tspan vektor
a megoldás intervallumát ([x_eleje x_vége]), y0 a kezdeti feltételek vektora és options a nem kötelező,
esetleges további beállításokat tartalmazza.
A numerikus megoldók az alábbiak lehetnek:
30