Kis-Benedek Ágnes Dinamikus programozás a gráfelméletben

1.3. MINIMÁLIS ST -ÚT MINDEN PONTPÁRRA 7
benne negatív kör, ekkor pedig éppen G-t kapjuk vissza.
Állítás: Ha létezik vt-séta, és tartalmaz egy C negatív kört, akkor ezen a körön
tetszőlegesen sokszor végigmenve folyamatosan csökken a célfüggvény értéke, vagyis
limi→∞ opt(i, v) = −∞.
Állítás: Ha nincs negatív kör a gráfban, opt(i, v) = opt(n − 1, v) ∀v ∀i ≥ n.
Állítás: A gráfban nem létezik C negatív összköltségű kör ⇔ opt(n, v) = opt(n−
1, v) ∀v ∈ V .
Bizonyítás: Ha nincs negatív kör a gráfban, minden minimális út maximum n−1
élből áll, így opt(n, v) = opt(n − 1, v) nyilvánvalóan teljesül. Ha pedig opt(n, v) =
opt(n−1, v), akkor opt(n+1, v) értéke is ugyanennyi lesz, ugyanis azt a rekurzió során
az opt(n, v)-k segítségével számoljuk, amik viszont megegyeznek az opt(n − 1, v)-
kel, s így a rekurzió ugyanazt adja opt(n + 1, v)-re, mint amit opt(n, v)-re is adott.
Ugyanígy opt(n − 1, v) = opt(n, v) = opt(n + 1, v) = opt(n + 2, v) = . . . . Ebből pedig
következik, hogy limi→∞ opt(i, v) �= −∞, vagyis a gráf nem tartalmaz negatív kört.
Tehát ha ki szeretnénk deríteni, hogy egy G gráf tartalmaz-e negatív kört, először
megkonstruáljuk a G ′ gráfot, majd erre alkalmazhatjuk a Bellman-Ford algoritmust
t-be vezető minimális utak meghatározására, de n − 1 helyett n-ig kiszámítva az
opt(i, v)-k értékét, és a végén ellenőrizve, hogy megfelelő eredményeket kaptunk-e.
1.3. Minimális st-út minden pontpárra
Feladat: Adott egy G = (V, E) irányított gráf, élein c konzervatív költségfügg-
vénnyel. A cél minimális költségű st-út meghatározása minden s, t ∈ V pontpárra.
A feladat megoldásához a Floyd-Warshall algoritmust fogjuk használni.
Jelölje dij(k) az olyan minimális ij-út költségét, ahol teljesül az a kikötés, hogy
minden belső pont az első k db pont közül kerül ki. k = 0 esetén nyilván teljesül