Kis-Benedek Ágnes Dinamikus programozás a gráfelméletben

24 3. FEJEZET. RÉSZBENRENDEZETT HALMAZ ÉS VISSZAVEZETÉSEK
Ha egy M-beli él mentén kettévágjuk a gráfot, az általa meghatározott két részen
külön-külön is maximális keresztezésmentes párosításokat kapunk. Tehát felépíthető
a rekurzió egy választott élig keresve maximális keresztezésmentes párosítást. Ez
megint az előzőhöz hasonló optimalitási tulajdonság, ismét vissza lehet vezetni a
problémát maximális lánc keresésére.
A részbenrendezést az éleken értelmezzük a következőképp: aibj < ai ′bj ′, ha i < i′
és j < j ′ . A költségfüggvény most is ≡ 1, ha az éleken nincs súlyozás, ha pedig van,
akkor c-t ennek megfelelően értelmezzük.
A reláció jelöli a keresztezésmentességet. A tranzitivitás is teljesül, ugyanis ha
aibj < akbl < ambn, akkor i < k < m és j < l < n, tehát i < m és j < n, így
aibj < ambn.
3.4. Maximális közös részsorozat
Definíció: X = {x1, . . . , xn} nem feltétlenül különböző betűk sorozatának Z =
{z1, . . . , zl}, k ≤ n sorozat részsorozata, ha ∃i1 < · · · < il : xi1 = z1, . . . , xil = zl.
Feladat: Adottak X = x1, . . . , xn és Y = y1, . . . , ym sorozatok, keressük ezek
maximális közös részsorozatát.
Ha Z = {z1, . . . , zl} egy maximális közös részsorozat, zk = xik
= yjk ∀1 ≤ k ≤ l,
akkor X ′ = {x1, . . . , xik } és Y ′ = {y1, . . . , yjk } sorozatok zk-t tartalmazó közös
részsorozatai között Z ′ = {z1, . . . , zk} maximális.
Tehát ismét felbukkant a maximális láncra jellemző tulajdonság. Mivel itt két
csoport kapcsolatát vizsgáljuk, kézenfekvőbb párosgráfos alakba átírni a feladatot,
mint közvetlenül részbenrendezett halmazra.
A := {a1, . . . , an}, B := {b1, . . . , bm}, legyen aibj ∈ E, ha xi = yj. A maximális
közös részhalmaz megkeresésének feladata megfelel a G := (A, B; E) páros gráfban
maximális keresztezésmentes párosítás keresésének.
A keresztezésmentesség a "részsorozat", az élek pedig a "közös" tulajdonságot
jelölik az X és Y sorozatok elemei közt.