Kis-Benedek Ágnes Dinamikus programozás a gráfelméletben

4.2 SÚLYOZOTT INTERVALLUM PROBLÉMA 29
Bizonyítás: Egy él egy olyan ponthármast ír le, amelynek középső pontja a
szélsők által meghatározott szakasz fölé esik. Tekintsük az (a, b) → (b, c) élt. Az ab-
szakasz függőlegessel bezárt szöge legyen α, a bc-szakasz függőlegessel bezárt szöge
pedig legyen β. Ha α = β, az jelenti azt, hogy a három pont egy egyenesre esik,
ha α < β, akkor a középső pont a szélsők által meghatározott szakasz alá, ha pedig
α > β, akkor a szakasz fölé esik. Ez viszont azt jelenti, hogy a három pont által
meghatározott abc-szög β + 180 ◦ − α < 180 ◦ (mivel β-hoz α kiegészítő szögének
váltószöge adódik hozzá). Ezt azt jelenti, hogy a kapott sokszögvonal minden szöge
hegyesszög.
A gráf aciklikus, mert ha lenne benne kör, az azt jelentené, hogy eljutottunk
x-ből x-be egy xx-szakasz fölötti konvex sokszögvonallal.
Tehát a gráfban kereshetünk minden pontpárra minimális utat, ha az élek költ-
ségét ≡ −1-nek választjuk, s ennek segítségével minden pontpárra meghatározhatunk
egy fölöttük lévő, őket tartalmazó maximális konvex részhalmazt, majd ugyanezt ha-
sonlóan megtehetjük az alattuk lévő maximális konvex részhalmazzal, s a két ered-
mény összegének kereshetjük a maximumát, ez adja a keresett maximális konvex
részhalmazt.
4.2. Súlyozott intervallum probléma
Feladat: Adott egy I intervallumrendszer, valamint az intervallumokon értelme-
zett c költségfüggvény. A cél egy maximális diszjunkt részrendszer meghatározása.
(A végpontok egyezését most megengedjük, de teljesen hasonlóan megoldható a fe-
ladat akkor is, ha nem.)
Az osztópontok sorrendben a következők: v0, . . . , vn. Jelölje f(vk) a [v0, vk] inter-