Kis-Benedek Ágnes Dinamikus programozás a gráfelméletben

4.6 KARAKTERSOROZATOK HASONLÓSÁGA 35
ben, hogy xi-t és yj-t cserével alakítjuk egyezővé, és ennek költségéhez hozzáadjuk
opt(i − 1, j − 1) értékét - ez esetleg 0 is lehet, ha xi = yj -, vagy utoljára egy
beszúrásműveletet alkalmazunk X(i) és Y (j) egymásba alakításához, ekkor opt(i −
1, j)-hez vagy opt(i, j − 1)-hez hozzáadódik egy karakter beszúrásának költsége.
opt(i, j) = min{α(xi, yj) + opt(i − 1, j − 1), δ + opt(i − 1, j), δ + opt(i, j − 1)},
i ≤ 1, j ≤ 1.
A futásidő O(mn), mivel egy adott opt(i, j) számításához csak konstans meny-
nyiségű összeadás és összehasonlítás szükséges.
A megoldásokat fölépíthetjük visszafelé haladva is, ekkor legyen g(n, m) = 0,
i < n, j < m esetén pedig az alábbi rekurziót használjuk: g(i, j) = min[α(x(i +
1), y(j + 1)) + g(i + 1, j + 1), g(i, j + 1) + δ, g(i + 1, j) + δ]. A g(i, j) függvény
tulajdonképpen az X = (xi, . . . , xn) és Y = (yj, . . . , ym) karaktersorozatokra oldja
meg az egyezőségvizsgálatot.
Ennek a problémának az érdekességét még az adja, hogy a két függvény kapc-
solatát felhasználva a kézenfekvő n-szer m-es tömböt használó kitöltés helyett más,
kisebb tárhelyigényű módon is megoldható a feladat.
Az első észrevétel, hogy opt+g-ben az (i, j)-edik elem azt adja meg, hogy mennyi
a megoldás költsége akkor, ha kikötjük (i, j)-edik elemet használatát, más szóval
az optimális döntéssorozat során valamikor használnunk kell opt(i, j)-t opt(n, m)
felépítéséhez.
A második észrevétel, hogy ha opt + g-ben tetszőleges k mellett q az az index,
ami minimalizálja opt(q, k) + g(q, k)-t, akkor (q, k)-n átmegy az optimális megoldás.
Mivel egy adott opt(i, j) kiszámításához csak az opt(i−1, j−1), opt(i−1, j), illetve
opt(i, j − 1) értékekre van szükségünk, ezért egy n-szer 2-es tömbben tárolhatjuk
az eredményeket, mindig felülírva a már nem használandó oszlopot. g-re hasonló