Kis-Benedek Ágnes Dinamikus programozás a gráfelméletben

3.3 MAXIMÁLIS KERESZTEZÉSMENTES PÁROSÍTÁS 23
A következő alfejezetekben olyan problémákról lesz szó, melyek nagyon hasonló
struktúrájúak, és visszavezethetők részbenrendezett halmazban maximális lánc ke-
resésére.
3.2. Maximális monoton növő részsorozat
Feladat: Adottak az a1, a2, . . . , an különböző számok. A feladat maximális mono-
ton növő részsorozat meghatározása.
Itt is érvényes egy hasonló összefüggés, mint amit az előbb láthattunk:
Ha M maximális monoton növő részsorozat és ai ∈ M, akkor az a1, . . . , ai számok
között az ai-t tartalmazó monoton növő részsorozatok közt maximális lesz M ai-ig
terjedő része.
Ezen megfigyelés alapján hasonlóképp megoldható a probléma, mint az előző
esetben, de megfelelő részbenrendezést és súlyozást definiálva közvetlenül is vissza-
vezethető rá.
Legyen P = {p1, ..., pn} részbenrendezett halmaz, pi jelöli ai-t, a részbenrendezés
pedig a következő: pi < pj, ha i < j és ai < aj. A költségfüggvény legyen azonosan
1.
A reláció jelenti a monoton növekedő tulajdonságot, a költségfüggvény pedig
azért lesz 1, mert csak a hosszúságra vagyunk kíváncsiak, nincsenek megkülön-
böztetett elemek. Ha bizonyos elemeket mindenképp be akarnánk választani a soro-
zatba, más súlyozást is lehetne definiálni.
Ez a rendezés jóldefiniált, mivel ha pi < pj < pk, akkor i < j < k és ai < aj < ak,
tehát i < k és ai < ak, így pi < pk is teljesül.
3.3. Maximális keresztezésmentes párosítás
Feladat: Adott G = (A, B; E) páros gráf, A = a1, . . . , ak, B = b1, . . . , bl.
Keresünk M maximális keresztezésmentes párosítást, tehát ha aibj, ai ′bj ′ ∈ M, és
i < i ′ , akkor j < j ′ .