Kis-Benedek Ágnes Dinamikus programozás a gráfelméletben

16 2. FEJEZET. ÚTKERESÉS ÉS RÉSZGRÁFOK
Tehát létezik α2 értékénél nem nagyobb összsúlyú, K-t és v-t is tartal-
mazó fa.
Tehát az sb(K +u)-re felírt rekurzió bár téves eredményt adhat abban az esetben,
ha sb(K +u) értékének végtelennek kellene lennie, ez nem befolyásolja egyik s(K +v)
értékét sem, vagyis a végeredményt sem.
Az algoritmus tehát jó.
Abban az érdekes esetben, ha a gráf síkbarajzolható, és a terminálpontok a végte-
len tartomány határán vannak, a fenti algoritmus nem csak |V |-ben, de |T |-ben is
polinomiális lesz.
Vegyünk egy tetszőleges F Steiner-fát. Ha egy élt elhagyunk F -ből, a fa két
komponensre esik szét. A komponensek a terminálpontokat egymást követően tar-
talmazzák, tehát ha t1, . . . , t4 ∈ T ebben a sorrendben következnek a külső ablakon,
nem tartozhat t1 és t3 az egyik, míg t2 és t4 a másik komponenshez. Ugyanis ha
ez volna a helyzet, a fában lévő t1t3- és t2t4-utak diszjunkt komponensekhez tar-
toznának, holott a síkbarajzolhatóság miatt ezen utaknak van közös pontja, ami
ellentmondásra vezet.
Emiatt elég az algoritmus során a terminálhalmaznak csak azon K részhal-
mazaira kiszámítani sb(K + v)-t és s(K + v)-t, melyek a külső ablakon folytonosak.
(Azaz K = {ti, . . . , tj}) valamely 1 ≤ i ≤ j ≤ k-ra, ahol a T = {t1, t2, . . . , tk} ter-
minálpontok ebben a sorrendben következnek a külső ablakon.) Ilyen K kevesebb,
mint |T | 2 van, így az algoritmus polinom időben megtalálja az optimumot.