Kis-Benedek Ágnes Dinamikus programozás a gráfelméletben

20 2. FEJEZET. ÚTKERESÉS ÉS RÉSZGRÁFOK
Ez a probléma a pontpárok számát, vagyis k-t paraméternek tekintve NP-teljes,
visznt rögzített k-ra hatékonyan megoldható.
Mivel a gráf aciklikus, kereshetünk egy topológikus sorrendet, és ebben a sor-
rendben vizsgálhatjuk a pontokat.
Definiáljunk egy f(x1, . . . , xk) függvényt, amelynek értéke igen, ha létezik pont-
diszjunkt sixi-út ∀i ∈ {1, . . . , k}-ra.
f(x1, . . . , xk) = igen ⇔ ∃u1, . . . , uk ∈ V : u1x1, . . . , ukxk ∈ E, f(u1, . . . , uk) =
igen, és az xi-kra, valamint az f(u1, . . . , uk) során használt legalább az egyik út
pontjaira igaz az, hogy páronként nemegyenlők. Tehát az f(x1, . . . , xk) igazságértékei
mellett nyilván kell tartani az odajutáshoz használható lehetséges utak pontjait. (Ez
úgy történhet, hogy az f(x1, . . . , xk) értékének eldöntésekor használt és helyesnek
talált f(u1, . . . , uk)-kkal együtt tárolt utak pontjaihoz hozzávesszük az xi-ket.)
Ez � � n
pont k-ast jelent, rögzített k-ra a részproblémák száma polinomiális,
k
rögzítetlen k-ra viszont nem.
Minden f(x1, . . . , xk) számításakor a belépő él k-asokat kell megvizsgálni.
Ha pontdiszjunktság helyett éldiszjunktságot írunk elő, hasonló függvényt definiál-
hatunk, csak akkor nem a pontok, hanem a használt élek páronkénti különbözőségét
kell ellenőrizni.