Kis-Benedek Ágnes Dinamikus programozás a gráfelméletben

2. fejezet
További útkeresési és részgráfokkal
kapcsolatos problémák
Ebben a fejezetben bonyolultabb útkeresési és részgráfokkal kapcsolatos prob-
lémákról lesz szó.
2.1. Steiner-fa
Feladat: Adott G = (V, E) irányítatlan gráf, élein egy c nemnegatív költ-
ségfüggvény, valamint csúcsainak egy T részhalmaza, melynek elemeit terminálok-
nak nevezzük. A cél olyan T -t tartalmazó összefüggő részgráf meghatározása, amely
minimális összsúlyú.
Világos, hogy ha ez a részgráf tartalmaz kört, az csak úgy képzelhető el, hogy
minden él költsége nulla. Ugyanis ha lenne pozitív költségű él, azt törölve kisebb
összsúlyú, ugyanolyan ponthalmazú, továbbra is összefüggő részgráfot kapnánk. Egy
csupa nulla élekből álló körből viszont valamely élt törölve a kapott részgráf továbbra
is megfelelő lesz. Tehát a minimum felvétetik egy részfán, és a cél ennek megtalálása.
Ezt a részfát Steiner-fának hívják.
Ha |T | = 2, a feladat tulajdonképp a minimális út meghatározása a két ter-
minálpont között, ha pedig T = V , akkor egy minimális költségű feszítőfa keresése.
11