Kis-Benedek Ágnes Dinamikus programozás a gráfelméletben

30 4. FEJEZET. KÜLÖNBÖZŐ PROBLÉMÁK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK
vallumon vett maximális diszjunkt részrendszert. f(v0) = 0, és ha már tudjuk f(vi)
értékét ∀i < k-ra, f(vk)-ra a következő rekurziót írhatjuk föl:
f(vk) = max{f(vk−1), max
[vi,vk]∈I {c([vi, vk]) + f(vi)}}
Ugyanis már számításba kell venni a v[k] végpontú intervallumokat is, és vagy
nem választunk ki ezek közül egyet sem, ekkor f(vk) = f(vk−1), vagy beválasztunk
a részintervallum-rendszerbe egy [vi, vk] intervallumot, és ehhez még hozzáveszünk
egy [v0, vi]-n optimális részrendszert.
A súlyozott intervallum probléma visszavezetése részbenrendezett hal-
mazban maximális lánc keresésére:
Definiáljunk egy részbenrendezést a következőképpen: jelentse ai az i. interval-
lumot, és legyen ai < aj, ha ai végpontja ≤ aj kezdőpontjánál. Az ai elem súlya
egyezzen meg az i. intervallum súlyával. Ez valóban helyes részbenrendezés, és a
reláció a diszjunkt tulajdonságot, pontosabban az intervallumok diszjunkt egymás-
utániságát fejezi ki. Ebben a részbenrendezett halmazban a maximális lánc keresése
ekvivalens probléma az optimális részintervallum-rendszer meghatározásával.
4.3. Bináris hátizsák feladat
Feladat: Adott n darab tárgy, c a tárgyakon értelmezett nemnegatív értékfügg-
vény, a szintén a tárgyakon értelmezett nemnegatív súlyfüggvény, és egy b > 0
kapacitású hátizsák. A kérdés, hogy hogyan lehet ebbe a hátizsákba a lehető leg-
nagyobb összértékben tárgyakat elhelyezni a kapacitás figyelembevétele mellett, azaz
a következő értéket szeretnénk meghatározni: max{ � n
i=1 cixi : � n
i=1 aixi ≤ b, x ∈
{0, 1} n }.
A feladatot bővítsük olyan módon alfeladatokkal, hogy a tárgyak közül csak az
első k darab használatát engedélyezzük, a hátizsák kapacitását pedig d-nek választjuk.
Ennek a részfeladatnak az optimumát jelöljük fk(d)-vel: fk(d) := max{ � k
i=1 cixi :
� k
i=1 aixi ≤ d, x ∈ {0, 1} k }, k ∈ {1, . . . , n}, d ∈ {0, . . . , b}.