Kis-Benedek Ágnes Dinamikus programozás a gráfelméletben

4.4 MINIMÁLIS HÁROMSZÖGEKRE BONTÁS 31
A feladat optimumát fn(b) adja.
f0(d) = 0, a további fk(d)-k értékét pedig az alábbi módon számíthatjuk ki:
fk(d) = fk−1(d), ha ak > d, mivel ekkor a k-adik tárgyat továbbra sem tudjuk
felhasználni, illetve fk(d) = max{fk−1(d), fk−1(d − ak) + ck}, ha ak ≤ d, mivel ekkor
vagy továbbra sem használjuk a k-adik tárgyat, vagy felhasználjuk, de akkor a többi
tárgy számára fennmaradó hely csökken a k-adik súlyával.
Az algoritmus O(nb) lépésszámú, mivel egy adott fk kiszámításához konstans
sok összeadás és összehasonlítás szükséges.
Egészértékû hátizsák feladat:
A fenti feladatot módosíthatjuk úgy, hogy egy tárgyat korlátlan darabszámban
felhasználhatunk, azaz most x ∈ N n .
Ekkor a feladatot meg lehetne önállóan is oldani (lásd: [6]), de most érdekesebb,
hogy visszavezethető súlyozott intervallum problémára is.
Az intervallumrendszerbe [0, b] intervallumba eső intervallumok kerülhetnek. Az
i-edik tárgynak feleljen meg egy ai hosszúságú, ci súlyú intervallum, amit minden
lehetséges végpontból felmérünk. Tehát először a v0 = 0-ból mérjünk fel az összes
tárgynak megfelelő intervallumokat, és vegyük hozzá a végpontok halmazához az
újonnan keletkezett vj-ket. A következő lépésben mérjünk fel v1-ből minden lehet-
séges intervallumot, stb, egészen addig, míg már nem mérhető fel több [0, b]-be eső
intervallum. Egy maximális diszjunkt részintervallum-rendszer keresése megfelel az
egészértékű hátizsákfeladat megoldásának, ugyanis a [0, b]-beliség és a diszjunktság
jelenti a kapacitás figyelembe vételét, a súlyozás és a részrendszer optimális volta
pedig az optimális tárgyak kiválasztását.
4.4. Minimális háromszögekre bontás
Feladat: Adott egy P = (v0, . . . , vn) poligon, és egy w súlyfüggvény az oldalak és
átlók által meghatározott háromszögeken. Ennek a poligonnak egy minimális összsú-
lyú háromszögekre bontását, vagyis triangulizációját keressük.