Kis-Benedek Ágnes Dinamikus programozás a gráfelméletben

36 4. FEJEZET. KÜLÖNBÖZŐ PROBLÉMÁK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK
igaz. Ilyen módon kiszámíthatjuk opt(i, n/2), g(i, n/2), majd opt(i, n/2) + g(i, n/2
értékét ∀i ∈ {0, 1, . . . , m}-re. Kiválasztjuk ezek minimumát, ami tehát egy optimális
megoldásban szerepelni fog. Utána ugyanezt elvégezzük X = (x1, . . . , xi) és Y =
(y1, . . . , yn/2), illetve X = (xi, . . . , xn) és Y = (yn/2, . . . , ym) karaktersorozatokra.
Ilyen módon egy lineáris tárigényű rekurzív algoritmust kapunk.
(Bővebben, bizonyításokkal és pszeudokóddal lásd: [4].)
4.7. Tükörszó
Feladat: Adott egy karaktersorozat, és szeretnénk meghatározni karakterbeszúrá-
sokkal tükörszóvá alakításának minimális költségét.
Jelölje s(x) az x. karaktert, p(x, y) az x. karaktertől az y. karakterig a tükörszóvá
alakítás költségét.
s(x) = s(y) esetén érvényes a p(x, y) = p(x + 1, y − 1) összefüggés, mivel a
karaktersorozat két vége már egyezik, csak a közepét kell tükörszóvá alakítani.
s(x) �= s(y) esetén p(x, y) = min{p(x + 1, y) + 1, p(x, y − 1) + 1}, mivel az
utolsó karaktereknek az átalakítás után meg kell egyezniük, tehát valamelyik végére
be kell szúrnunk egy új karaktert, és a maradék közbülső részt is tükörszóvá kell
alakítanunk.
p(x, y)-t |x−y| szerint növekvő sorrendben tudjuk kiszámítani, mert mindig csak
a nála kisebb karakterrészletek optimumát használjuk fel.
A feladat visszavezetése karaktersorozatok hasonlóságára
A csere költségét válasszuk olyan magasnak, hogy semmiképp ne érje meg azt
használni, például ha a tükörszóvá alakítandó szó hossza n, akkor a csere költsége
legyen 5 ∗ n. A beszúrás költségét válasszuk 1-nek. Az X karaktersorozat legyen
a tükörszóvá alakítandó karakterláncunk, az Y karaktersorozat pedig a tükörszóvá
alakítandó karakterlánc fordított sorrendben felírva. Ezek optimális egymásba alakí-
tása megadja az eredeti feladat egy optimális megoldását. (Bár a karaktersorozatok