Formulario - Sezione di Matematica - Sapienza

∫∫Tf(x, y) dxdy =∫ ddy∫ δ(y)c γ(y)f(x, y)dx .Area di un dominio normaleSe T è un dominio normale rispetto all’asse x (o y-semplice):T = {(x, y) ∈ IR 2 | a ≤ x ≤ b ; α(x) ≤ y ≤ β(x)} , α, β ∈ C 0 ([a, b])Area(T ) =∫ ba[β(x) − α(x)]dx .Se T è un dominio normale rispetto all’asse y (o x-semplice):T = {(x, y) ∈ IR 2 | c ≤ y ≤ d ; γ(y) ≤ x ≤ δ(y)} , γ, δ ∈ C 0 ([c, d])Area(T ) =∫ dc[δ(y) − γ(y)]dy .Formule di trasformazione di coordinate nel pianoData la trasformazione invertibile di coordinate{ x = x(u, v)Φ :, Φ ∈ C 1 (A) , A ⊆ IR 2 , J(u, v) =y = y(u, v)∣ x uy u∣x v ∣∣∣≠ 0y vin A ,A = Φ(T ) , T = Φ −1 (A) ,cioè tale cheCoordinate polari:Φ −1 :{u = u(x, y)v = v(x, y)∫∫T{x = ρ cos(θ)y = ρ sin(θ)∫∫∫∫f(x, y) dxdy =T (x,y), J(x, y) =∣ u ∣x u y ∣∣∣ 1≠ 0 , J(x, y) =v x v y J(u, v) ,Af(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)| dudv ., ρ ∈ (0, +∞) , θ ∈ [0, 2π) , J(ρ, θ) = ρ :∫∫f(x, y) dxdy =A(ρ,θ)f(x(ρ, θ), y(ρ, θ))ρ dρdθ .N.B.: in base a noti teoremi, la validità della formula di trasformazione in coordinate polaripuò essere estesa a (ρ, θ) ∈ [0, +∞) × [0, 2π].Volume di un dominio normale rispetto al piano (x, y)Dato il dominioT = {(x, y, z) ∈ IR 3 | (x, y) ∈ A ⊆ IR 2 , α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y) , α, β ∈ C 0 (A)}2