Formulario - Sezione di Matematica - Sapienza

∫∫∫I P0 =T∫∫∫[dist(P 0 , P )] 2 dxdydz =T[(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + (z − z 0 ) 2 ] dxdydz .Momento d’inerzia di un dominio T tridimensionale rispetto all’asse delle z (analogamente per i momentid’inerzia rispetto agli altri due assi):∫∫∫I = (x 2 + y 2 ) dxdydz .TMomento d’inerzia di un dominio T tridimensionale rispetto al piano (x, y) (analogamente per i momentid’inerzia rispetto agli altri due piani coordinati):∫∫∫I = z 2 dxdydz .TDivergenza e rotoreDato il campo vettoriale −→ F = (X(x, y), Y (x, y)) ∈ C 1 (D) , D ⊆ IR 2 ,div( −→ F ) = −→ ∇ · −→ F := ∂X∂x + ∂Y∂y; rot( −→ F ) = −→ ∇ ∧ −→ F :=( ∂Y∂x − ∂X )−→k.∂yDato il campo vettoriale −→ F = (X(x, y, z), Y (x, y, z), Z(x, y, z)) ∈ C 1 (T ) , T ⊆ IR 3 ,div( −→ F ) = −→ ∇ · −→ F := ∂X∂x + ∂Y∂y + ∂Z∂z ;−→ −→ −→ i j k−−−−→rot( −→ F ) = −→ ∇ ∧ −→ F =∂∂∂∂x∂y∂z=∣ X(x, y, z) Y (x, y, z) Z(x, y, z) ∣=( ∂Z∂y − ∂Y ) (−→i ∂X+∂z ∂z − ∂Z ) (−→j ∂Y+∂x ∂x − ∂X )−→k∂yFormule di Gauss-Green in due dimensioni:Dato un dominio regolare e limitato D ⊂ IR 2 , considerate f, g ∈ C 1 (D),∫∫∫∫∂fD ∂x∫+∂Ddxdy = ∂gf dy ;D ∂y∫+∂Ddxdy = − g dx ;Applicazioni∫∫Area(D) = x dy = y dx = 1 ∫+∂D+∂D 2+∂D(x dy − y dx)Teorema della Divergenza in due dimensioni:∫∫div( −→ ∫∫ ( ∂XF )dxdy =DD ∂x + ∂Y ) ∫∫−→dxdy = (X dy − Y dx) = F · −→ ne ds∂y+∂D+∂D6