Formulario - Sezione di Matematica - Sapienza

Teorema del Rotore (o di Stokes) in due dimensioni:∫∫D( ∂Y∂x − ∂X ) ∫dxdy = (X dx + Y dy)∂y+∂DTeorema del Rotore (o di Stokes) in tre dimensioni:Data una superficie S, grafico della funzione regolare z = f(x, y), definita su un dominio regolare D, fissatoarbitrariamente l’orientamento positivo del bordo +BS e orientati coerentemente S e il versore normalepositivo −→ n , considerato il campo vettoriale −→ F = (X(x, y, z), Y (x, y, z), Z(x, y, z)) ∈ C 1 (A) , S ⊂ A ⊆ IR 3 ,Φ S ( −−−−→rot( −→ ∫−−−−→F )) := rot( −→ ∫∮F ) · −→ −→n dS = X dx + Y dy + Z dz =: F · −→ τ dsS+BS+BSEquazioni differenziali a variabili separabilidydx = f(x) · g(y) ; f ∈ C0 (I x ) , g ∈ C 0 (I y ) .Metodo della separazione delle variabili: ponendo g(y) ≢ 0, si risolve∫∫dyg(y) =f(x)dxEventuali soluzioni singolari: si ottengono risolvendo g(y) = 0.(integrale generale)Equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti continuiy ′ (x) = a(x) · y(x) + b(x) ; a, b ∈ C 0 (I)∫Metodo del fattore integrante: e − a(x)dx∫∫e − a(x)dx [y ′ (x) − a(x) · y(x)] = e − a(x)dx b(x)∫d] ∫[e − a(x)dx y(x) = e − a(x)dx b(x)dxda cui∫ [∫a(x)dxy(x) = ee − ∫]a(x)dx b(x)dx + Covvero, usando la funzione integrale,∫ x[∫ x∫a(t)dtxy(x) = e 0 e − t]a(τ)dτx 0 b(t)dt + y0x 0, x 0 ∈ I ,dove, assegnato un Problema di Cauchy, y 0 = y(x 0 ).Equazioni differenziali di Bernoulliy ′ (x) = a(x) · y(x) + b(x) · y α (x) ; a, b ∈ C 0 (I) ; α ∈ IR , α ∉ {0, 1} .Solo se α > 0, occorre tener conto anche della soluzione singolare y ≡ 0.7