Formulario - Sezione di Matematica - Sapienza

Supposto y ≢ 0, si pone z(x) = y 1−α (x), da cuiz ′ (x) = (1 − α)a(x)z(x) + (1 − α)b(x) .Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costantiy ′′ (x) + ay ′ (x) + by(x) = f(x)y ′′ (x) + ay ′ (x) + by(x) = 0equazione non omogenea o completaequazione omogeneaIntegrale generale y 0 (x) dell’equazione omogenea: chiamiamo λ 1 e λ 2 le soluzioni dell’equazione caratteristica(o secolare)λ 2 + aλ + b = 0 .I caso (∆ > 0 , λ 1 , λ 2 ∈ IR , λ 1 ≠ λ 2 ) (radici reali e distinte):y 0 (x) = C 1 e λ1·x + C 2 e λ2·x , C 1 , C 2 ∈ IR .II caso (∆ = 0 , λ 1 = λ 2 = λ ∈ IR) (radici reali e coincidenti):y 0 (x) = C 1 e λ·x + C 2 · x · e λ·x , C 1 , C 2 ∈ IR .III caso (∆ < 0 , λ 1 = α + iβ , λ 2 = α − iβ = λ 1 ∈ IC) (radici complesse coniugate):y 0 (x) = e α·x [C 1 · cos(βx) + C 2 · sin(βx)] , C 1 , C 2 ∈ IR .Integrale generale y(x) dell’equazione non omogenea: detti y 0 (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) l’integrale generaledell’equazione omogenea associata e y(x) un integrale particolare dell’equazione non omogenea,y(x) = y 0 (x) + y(x)Metodo di Lagrange della variazione delle costantiy(x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) ,doveC ′ 1(x)y 1 (x) + C ′ 2(x)y 2 (x) = 0ovverodove W (x) =∣ y 1(x)y 1(x)′⎧⎨⎩C 1(x)y ′ 1(x) ′ + C 2(x)y ′ 2(x) ′ = f(x)∫ f(x)y2 (x)C 1 (x) = −dx ; C 2 (x) =W (x)y 2 (x)y 2(x)′ ∣ è il Wronskiano di y 1 e y 2 .∫ f(x)y1 (x)W (x)dxMetodo di somiglianzaSi vedano anche le due pagine in fondo al formulario.8