Formulario - Sezione di Matematica - Sapienza

∫∫V ol(T ) = [β(x, y) − α(x, y)] dxdy .AVolume di un solido di rotazioneDato il solido T ottenuto ruotando attorno all’asse z il rettangoloideR = {(x, z) ∈ IR 2 | z ∈ [c, d] , 0 ≤ x ≤ f(z)} ,detta x B l’ascissa del baricentro di R,V ol(T ) = 2π∫ ddz∫ f(z)x dx = π∫ dc 0c[f(z)] 2 dz = 2π · x B · Area(R)Formule di DirichletData f ∈ C 0 (D) , D ⊆ IR 2 ,Caso I. Funzione pari nella variabile x (f(x, y) = f(−x, y)) e dominio D simmetrico rispetto all’asse y:detto D 1 = D ∩ {(x, y) ∈ IR 2 | x ≥ 0}∫∫D∫∫f(x, y) dxdy = 2 f(x, y) dxdy .D 1Caso II. Funzione dispari nella variabile x (f(x, y) = −f(−x, y)) e dominio D simmetrico rispetto all’assey: ∫∫f(x, y) dxdy = 0 .DCaso III. Funzione pari nella variabile y (f(x, y) = f(x, −y)) e dominio D simmetrico rispetto all’asse x:detto D 2 = D ∩ {(x, y) ∈ IR 2 | y ≥ 0}∫∫D∫∫f(x, y) dxdy = 2 f(x, y) dxdy .D 2Caso IV. Funzione dispari nella variabile y (f(x, y) = −f(x, −y)) e dominio D simmetrico rispetto all’assex: ∫∫f(x, y) dxdy = 0 .DForme differenziali lineariω(x, y) = X(x, y)dx + Y (x, y)dyforma differenziale−→ F = (X(x, y), Y (x, y))campo vettoriale associato alla formaIntegrale curvilineo di forma differenzialeSe X , Y ∈ C 0 (A) , A ⊆ IR 2 connesso, data la curva regolare del pianoγ :{x = x(t)y = y(t), t ∈ [t 1 , t 2 ] , P (t 1 ) = P 1 , P (t 2 ) = P 23